【数学】山东省烟台市2020届高三上学期期末考试试题(20200816084508).pdf

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1、山东省烟台市2020 届高三上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8 小題，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的。1.己知集合A=X|X2-X-2 0,B=x|y=?,则 AB=（）A.x|-1 x 2 B.x|0 x 2 C.x|x-1 D.x|x 02.“?xR,x2-x+10”的否定是（）A.?xR,x2-x+10B.?x R,x2-x+10C.?xR,x2-x+10,b0)的离心率为 52，则其渐近线方程为（）A.2x3 y=0B.3x2 y=0C.x2 y=0D.2x y=04.设 a=log0.53,b=0.53,c=(13)-0.5

2、,则 a,b,c 的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca5.为 弘 扬 我 国 古 代 的“六 艺 文 化”，某 夏 令 营 主 办 单 位 计 划 利 用 暑 期 开 设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（）A.216B.480C.504D.6246.函数 y=|x|+sinx 的部分图象可能是（）7.若 x=时，函数f(x)=3sinx+4cosx 取得最小值，则sin=（）A.35B.-35C.45D.-458.函数?(?)=2log2?,?1?(?+1),

3、?1,若方程 f(x)=-2x+m 有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A.(-,4)B.(-,4 C.(-2,4)D.(-2,4二、多项选择题：本題共4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得5 分，部分选对得3分，有选错的得0 分.9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50 名男生和50 名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算K2的观测值k 4.762，则可以推断出（）A.学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C.有

4、 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D.有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异10.已知函数f(x)=sin(3x+?)(-2?2)的图象关于直线x=4对称，则（）A.函数 f(x+?4)为奇函数B.函数 f(x)在 12，3上单调递増C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2的最小值为3D.函数 f(x)的图象向右平移4个单位长度得到函数y=-cos3x 的图象11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则（）A.直线 BD1丄平面 A1C1DB.三棱锥 P-A1C1D 的体积为定值C.异面直线AP 与 A1D 所成

5、角的取值范用是45 ,90 D.直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 6312.已知抛物线C:y2=4x 的焦点为F、准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),G(x2,y2)，点 P 在 l 上的射影为P1，则（）A.若X1+X2=6.则|PQ|=8B.以 PQ为直径的圆与准线l 相切C.设 M（O,1）,则|PM|+|PP1|2D.过点 M（0,1）与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2 条三、填空題：本題共4 小題，每小题5 分，共 20 分。13.己知向量a,b 满足|a|=l,|b|=2,a（a+b）,则 a 与 b 夹角为.14.已知

6、随机变量X N（1,?2）,P（-1X1）=0.4,则 P（X3）=.15.设点 P 是曲线 y=ex+x2上任一点，则点P 到直线 x-y-1=O 的最小距离为.16.已 知 三 棱 锥P-ABC的 四 个 顶 点 都 在 球O的 表 面 上，PA丄 平 面ABC，PA=6,AB=2 3,AC=2,BC=4，则：（1）球 O 的表面积为；（2）若 D 是 BC 的中点，过点 D 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是。（本题第一空2 分，第二空3 分）四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。17.（10 分）在条件(a+b)(sinA-sinB）=（c

7、-b）sinC,asinB=bcos(A+?6),bsin?+?2=asinB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.（1）在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,b+c=6,a=2 6,（2）求 ABC的面积.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12 分）已知数列 an 的前 n 项和 Sn満足 2Sn=(n+1)an（nN）且 a1=2.（1）求数列 an的通项公式;（2）设 bn=（an-1）2an.求数列 bn的前 n 项和 Tn.19.(12 分)如图，在四棱锥S-ABCD 中，ABCD 为直角梯形，ADBC,BCCD，平面SCD 丄平面ABC

8、D.SCD 是以CD 为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4,E为BS上一点，且BE=2ES.（1）证明：直线SD平面 ACE；（2）求二面角S-AC-E 的余弦值。20.(12 分)已知椭圆的?2?2+?2?2=1的离心率为 32，F 是其右焦点，直线y=kx 与椭圆交于A,B 两点，|AF|+|BF|=8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设 Q(3,0),若AQB 为锐角,求实数 k 的取值范围.21.(12 分)某企业拥有3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13.（1）求该企业每月有且只有1 条生产线出现故障的概率

9、；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行修.已知每名维修工人每月只有及时维修1 条生产线的能力，且每月固定工资为1 万元.此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 n=1 与 n=2 之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润一维修工人工资)22.(12 分)已知函数?(?)=(12?2-?)ln?+2?-34?2,其中 Oae.求函数 f(x)的单调区间；（1）讨论函数f

10、(x)零点的个数；（2）若 f(x)存在两个不同的零点x1,x2,求证：x1x2e2.【参考答案】一、单项选择题1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.A 二、多项选择题9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC三、填空题13.3414.0.115.216.52，4四、解答题17.解：若选：由正弦定理得()()()ab abcb c，2分即222bcabc，所以2221cos222bcabcAbcbc，4分因为(0,)A，所以3A.6分又2222()3abcbcbcbc，2 6a，6bc，所以4bc，8分所以11sin4sin3223ABCSbcA.10 分若选：由正

11、弦定理得sinsinsincos()6ABBA.2分因为0B，所以sin0B，sincos()6AA，化简得31sincossin22AAA，4分即3tan3A，因为0A，所以6A.6分又因为2222cos6abcbc，所以2222()6(2 6)=2323bcabc，即2412 3bc，8 分所以111sin(2412 3)63 3222ABCSbcA.10 分若选：由正弦定理得sinsinsinsin2BCBAB，2分因为0B，所以sin0B，所以sinsin2BCA，又因为BCA，所以cos2sincos222AAA，4分因为0A，022A，所以cos02A，1sin22A，26A，所以

12、3A.6分又2222()3abcbcbcbc，2 6a，6bc，所以4bc，8分所以11sin4sin3223ABCSbcA.10 分18.解：（1）因为2(1)nnSna，*nN，所以112(2)nnSna，*nN.两式相减得112(2)(1)nnnanana，整理得1(1)nnnana，.2分即11nnaann，*nN，所以nan为常数列.所以121naan，4分所以2nan.5分（2）(1)2=(21)4nannnban.6分所以1231 4+34+54+(21)4nnTn23141 4+34+(23)4(21)4nnnTnn.7 分两式相减得：23134+2(4+4+4)(21)4nn

13、nTn，9分2+114434+2(21)414nnnTn，11 分化简得120(65)4+99nnnT.12分19.解：（1）连接BD交AC于点F,连接EF.因为/ADBC，所以AFD与BCF相似.所以2BFBCFDAD.1分又=2BEBFESFD，所以/EFSD.2分因为EF平面ACE，SD平面ACE，所以直线/SD平面ACE.4分（2）平面SCD平面ABCD，平面SCD平面ABCDCD，BC平面ABCD，BCCD，所以BC平面SCD.5分以C为坐标原点，,CD CB所在的方向分别为y轴、z轴的正方向，与,CD CB均垂直的方向作为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.6 分则

14、(0,0,0)C，(1,1,0)S，(0,2,2)A，2 2 4(,)3 3 3E，(0,2,2)CA，(1,1,0)CS，2 2 4(,)3 3 3CE.7分zyxFCD SABE设平面SAC的一个法向量为(,)x y zm，则00CACSmm，即00yzxy,不妨令1z，得1x，1y，于是(1,1,1)m.9分设平面EAC的一个法向量为(,)x y zn，则00CACEnn，即020yzxyz,不妨令1z，得1x，1y，于是(1,1,1)m.11 分设二面角SACE的平面角的大小为，则1cos3m nm n.所以二面角SACE的余弦值为13.12分20.解：（1）设1F为椭圆的左焦点，连接

15、1F B，由椭圆的对称性可知，1AFF B，所以128AFBFBFBFa，所以4a，2分又32cea，222abc，解得2b，2 3c.4分所以椭圆的标准方程为221164xy.5分（2）设点1122(,),(,)A xyB xy，则11(3,)QAxy，22(3,)QBxy，6 分联立221164xykxy，得22(41)160kx，所以120 xx，1221641x xk，8分因为AQB为锐角，所以0QA QB.9分所以1212(3)(3)QA QBxxy y12121293()xxx xy y2121293()(1)xxkx x10 分2216(1)9041kk，解得3510k或3510

16、k.12分21解：（1）设 3 条生产线中出现故障的条数为X，则1(3,)3XB.2分因此112312124(1)()()=33279P XC.4分（2）当1n时，设该企业每月的实际获利为1Y万元.若0X，则112 3135Y；若1X，则1122+81 131Y；若2X，则112 1+8 1+0 1119Y；若3X，则1120+81+02 17Y；6分又0033128(0)()()3327P XC，2213126(2)()()3327P XC，3303121(3)()()3327P XC，8 分此时，实际获利1Y的均值1812617733531197=2727272727EY9分当2n时，设该

17、企业每月的实际获利为2Y万元.若0X，则2123234Y；若1X，则2122+81230Y；若2X，则212 1+82226Y；若3X，则2120+82+01214Y；11 分28126180234302614=2727272727EY因为12EYEY.于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用2n.12分22.解：（1）函数()f x的定义域为|0 x x.2113()ln()222fxxaxxaxaxx，1分()(ln1)xax令()0fx，得xa或ex.2分因为0ea，当0 xa或ex时，0fx，()fx单调递增；当eax时，0fx，()f x单 调 递 减.所

18、以fx的 增 区 间 为0,a，e,，减 区 间 为e,a.4分（2）取=min1,2a，则当(0,)x时，102xa，ln0 x，3204ax，13()()ln(2)024f xxxaxxax；又因为0ea，由（1）可知fx在(0,)a上单增，因此,当(0,xa，恒()0f x，即()f x在(0,a上无零点.5分下面讨论xa的情况：当e04a时，因 为()f x在(,e)a单 减，(e,)单 增，且()0f a，e(e)e()04fa，241(e)=e04f，根据零点存在定理，()f x有两个不同的零点.6分当e=4a时，由()f x在(,e)a单减，(e,)单增，且(e)0f，1n2n此

19、时()f x有唯一零点e.7分若ee4a，由()fx在(,e)a单减，(e,)单增，e()(e)e()04f xfa，此时()f x无零点.8分综上，若e04a，()f x有两个不同的零点；若e=4a，()fx有唯一零点e；若ee4a，()f x无零点.（3）证明：由（2）知，e04a，且12eaxx.构造函数2e()()()F xf xfx，(,e)xa.9分则()Fx4232ee()(ln1)()(ln1)xaxaxxx43243ee(ln1)xaxaxxx.10分令4324()eeg xxaxax，(,e)xa.因为当(,e)xa时，22e0 xax,22e0 x，所以43242222()ee=(e)(e)0g xxaxaxxax x又ln1lne10 x，所以()0Fx恒成立，即()F x在(,)a e单增.于是当eax时，()(e)0F xF，即2e()()f xfx.11 分因为1(,e)xa，所211e()()f xfx，又12()()f xf x，所以221e()()f xfx，因为2ex，221eeeex，且()f x在(e,)单增，所以由221e()()f xfx，可得221exx，即212ex x.12 分