(最新资料)山东省青岛市2020届高三4月统一质量检测(一模)试题数学【含解析】.pdf

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1、山东省青岛市2020 届高三 4 月统一质量检测（一模）试题数学一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知i是虚数单位，复数12izi，则z的共轭复数z的虚部为（）A.iB.1 C.iD.1【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出【详解】解：12(12)2iiiziii i，则 z 的共轭复数2zi的虚部为1故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.已知集合2|log2AxRx，集合|12BxRx，则AB（）A.(0,3)B.

2、(1,3)C.(0,4)D.(,3)【答案】A【解析】分析】先求出集合A，集合B，由此能求出AB【详解】解：集合2|log2|04AxRxxx，集合|1|2|13BxRxxx，|03(0,3)ABxx故选：A【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题3.已知某市居民在2019 年用于手机支付的个人消费额（单位：元）服从正态分布2(2000,100)N，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为（）附：随机变量服从正态分布2(,)N，则()0.6826Pu，(22)0.9544P，(33)0.9974PA.0.9759 B.0.84 C.

3、0.8185 D.0.4772【答案】C【解析】【分析】由已知可得2000，100，然后结合与 2原则求解【详解】解：服从正态分布(2000N，2100)，2000，100，则1(19002200)()(22)()2PPPP10.6826(0.95440.6826)0.81852故选：C【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的运用、与 2原则的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.设0.22a，sin 2b，2log 0.2c，则a，b，c的大小关系正确的是（）A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】把它们和0，1 比较，可得出结果【详解】解：0.22

4、1a，0sin21b，2log 0.20c，则 abc，故选：A【点睛】本题考查指数，对数比较大小，属于基础题5.已知函数39,0(),0 xxxf xxe x（2.718e为自然对数的底数），若()f x的零点为，极值点为，则（）A.1B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】令()0f x可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案【详解】解：39,0(),0 xxxf xxex，当0 x时，()0fx，即390 x，解得2x；当0 x时，()0 xf xxe恒成立，()f x的零点为2又当0 x时，()39xf x为增函数，故在0，)上无极值点；当0 x时，

5、()xf xxe，()(1)xfxx e，当1x时，()0fx，当1x时，()0fx，1x时，()f x 取到极小值，即()f x 的极值点1，211故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题6.已知四棱锥PABCD的所有棱长均相等，点E，F分别在线段PA，PC上，且/EF底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为（）A.30B.45C.60D.90【答案】D【解析】【分析】连接AC，BD，设ACBDO，由线面平行的性质定理推得/EFAC，运用线面垂直的判定定理可得AC平面 PBD，再由线面垂直的性质定理和平行线

6、的性质，即可得到所求角【详解】解：连接AC，BD，设ACBDO，则EF平面PAC，平面PAC平面ABCDAC，由/EF底面ABCD，可得/EFAC，由四边形ABCD为菱形，可得ACBD，由O为AC的中点，PAPC，可得POAC，又BDOPO，BD平面 PBD，PO平面 PBD，可得AC平面 PBD，又PB平面 PBD，则ACPB，又/EF AC，可得EFPB，即异面直线EF与PB所成角的大小为90故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题7.在同一直角坐标系下，已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab的离

7、心率为2，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数sin 26yx的图象向右平移3单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段AB长度的最小值为（）A.2 B.3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数a，b再画出曲线D的图象和双曲线的图象，观察图象可得解【详解】解：因为离心率为2，所以该双曲线是等轴双曲线，可设C方程为22221(0)yxaaa所以2ca，故焦点(0,2)a，渐近线yx，取(0,2)a到0 xy的距离为 2，得222211a，解得2ab所以双曲线方程为22144yx函数sin(2)6yx的图象向右平

8、移3单位后得到曲线D的方程为：sin2()sin(2)cos2362yxxx同一坐标系做出曲线C、D的图象：由图可知，当B点为cos2xy与y轴的交点(0,1)，A点为双曲线的下顶点(0,2)时，|AB最小为 1故选：D【点睛】本题考查了双曲线方程的求法和三角函数的图象变换同时考查了利用数形结合解决问题的能力属于中档题8.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”?“升级题型”?“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）A.112125B.80125C.1131

9、25D.124125【答案】A【解析】【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：3223441112()()()555125PC故选：A【点睛】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5

10、 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分9.已知向量(1,1)ab，(3,1)ab，(1,1)c，设,a b的夹角为，则（）A|abB.acC./bcD.135【答案】BD【解析】【分析】根据题意，求出,a b的坐标，据此分析选项，综合即可得答案【详解】根据题意，(1,1)ab，(3,1)ab，则(1,1)a，(2,0)b，依次分析选项：对于A，2a|=，|2b，则|ab 不成立，A错误；对于B，(1,1)a，(1,1)c，则0a c，即ac，B正确；对于C，(2,0)b，(1,1)c，/bc不成立，C错误；对于D，

11、(1,1)a，(2,0)b，则2a b，2a|=，|2b，则22cos22 2，则135，D正确；故选：BD【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题10.已知函数22()sin2 3sincoscosfxxxxx，xR，则（）A.2()2f xB.()f x 在区间(0,)上只有 1 个零点C.()f x 的最小正周期为D.3x为()f x 图象的一条对称轴【答案】ACD【解析】【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可【详解】解：已知函数22()sin2 3sincoscos3sin 2cos22sin(2)6f xxxxxxxx，xR，则A、2(

12、)2f x正确，B、当26xk，kZ，即212kx，kZ，()f x在区间(0,)上只有 2 个零点，则()f x在区间(0,)上只有 1 个零点错误，C、()f x的最小正周期为，正确D、当3x时，函数()2sin(2)6f xx，xR，2sin22336f所以3x为()f x 图象的一条对称轴，正确故选：ACD【点睛】本题考查二倍角公式和三角函数的性质，属于中档题11.已知数列na的前n项和为S，11a，121nnnSSa，数列12nnnaa的前n项和为nT，*nN，则下列选项正确的为（）A.数列1na是等差数列B.数列1na是等比数列C.数列na的通项公式为21nnaD.1nT【答案】B

13、CD【解析】【分析】由数列的递推式可得1121nnnnaSSa，两边加1 后，运用等比数列的定义和通项公式可得na，1112211(21)(21)2121nnnnnnnna a，由数列的裂项相消求和可得nT【详解】解：由121nnnSSa即1121nnnnaSSa，可化为112(1)nnaa，由111Sa，可得数列1na是首项为2，公比为2 的等比数列，则12nna，即21nna，又1112211(21)(21)2121nnnnnnnna a，可得22311111111111212121212121nnnnT，故A错误，B，C，D正确故选：BCD【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通

14、项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题12.已知四棱台1111ABCDA B C D的上下底面均为正方形，其中2 2AB，112AB，1112AABBCC，则下述正确的是（）A.该四棱台的高为3B.11AACCC.该四棱台的表面积为26 D.该四棱台外接球的表面积为16【答案】AD【解析】【分析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断【详解】解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于2 2AB，112A B，可知11SAB与SAB相似比为1:2；则124SAAA，2AO，则2 3SO，则13OO，该四棱台的高为3，A对；因为4SASCAC，则

15、1AA与1CC夹角为60，不垂直，B错；该四棱台的表面积为22 214844126 722SSSS侧上底下底，C错；由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO上，在平面11B BOO上中，由于13OO，111BO，则12OBOB，即点O到点B与点1B的距离相等，则2rOB，该四棱台外接球的表面积为16，D对，故选：AD【点睛】本题考查立体几何中垂直，表面积，外接球的问题，属于难题三、填空题：本题共4 个小题，每小题5分，共 20 分13.若(0,)x，14xxa恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】,4【解析】【分析】直接根据基本不等式求解最值即可求得结论【详解】解：因为(0,)x，111

16、442 44xxxxxx，当且仅当14xx，即12x时取等号，又(0,)x，14xxa恒成立；4a；故答案为：,4【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题14.已知函数()f x 的定义域为R，1fx为奇函数，01f，则2f_【答案】1【解析】【分析】根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于点(1,0)对称，据此可得20ff，即可得答案【详解】解：根据题意，函数(1)f x为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(1,0)对称，则有()(2)fxfx，又由(0)1f，则201ff；故答案为：1【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析()f x 的对称性，属于基础

17、题15.已知aN，二项式61axx展开式中含有2x项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有_个【答案】18【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，根据题意求得r的值，可得A，再利用排列组合的知识求出结果【详解】解：二项式61()axx展开式的通项公式为6 216(1)rrrrTCax，令622r，求得2r，可得展开式中含有2x项的系数为2226(1)15(1)Caa再根据含有2x项的系数不大于240，可得215(1)240a，求得4141a再根据aN，可得0a，1，2，3，即0A，1，2，3，则由集合A中元素构成的无重复数字的

18、三位数共123333218A A，故答案为：18【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，排列组合的应用，属于中档题16.2020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S?圆L均与圆Q外切已知直线l过点O（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为 _；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则 d_【答案】(1).3 (2).125【解析】【分析】（1）设出公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可

19、；（2）设出方程，分别表示出圆心到直线的距离12|4|1kmdk，22|4|1kmdk，32|3|1mdk，结合弦长公式求得k，m即可【详解】解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(4,0)，(4,0)，设公切线方程为(0)ykxm k且k存在，则22421421kmkkmk，解得33k，0m，故公切线方程为33yx，则Q到直线l的距离3 32d，故l截圆Q的弦长223 32 3()32；（2）设方程为(0)ykxm k且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：12|4|1kmdk，22|4|1kmdk，32|3|1mdk，则22221234(4)4(4)4(9)dddd，即有2222|4

20、|4|()()11kmkmkk，2222|4|3|4()9()11kmmkk，解得0m，代入得2421k，则2416144214(4)425121d，即125d，故答案为：3；125【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，公切线方程，方程思想，数形结合思想，属于中档题四、解答题：本题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.设等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前n项和为nT已知1 12a b，26S，312S，243T，*nN（1）求na，nb的通项公式；（2）是否存在正整数k，使得6kSk且139kT？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【

21、答案】（1）2nan；113nnb；（2）存在4k满足题意【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，在等差数列na中，由已知求解公差d，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由1 12a b求得1b，结合已知求得2b，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由（1）知，1()(1)2kkk aaSk k，由6kSk解得k范围，再由131132239kkT，解得k范围，即可判断出结论【详解】解：（1）设数列na的为d，在数列na中，3236SSa又因为2123321236Saaadadd，所以2d从而1322aad，所以2(1)22nann由1 12a b得：111bT因为2

22、2141133bTT，设数列nb的公比为q所以2113bqb，所以1111133nnnb（2）由（1）知：1(1)2kkk aaSk k所以(1)6kSk kk，整理得250kk，解得05k又因为111131313112322313kkkkT所以131132239kkT，即11139k，解得3k所以4k【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，22222()(1tan)bbcaA（1）求角C；（2）若2 10c，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度条件：

23、ABC的面积4S且BA；条件：2 5cos5B【答案】（1）34C；（2）选择条件，26AD【解析】【分析】（1）22222()(1tan)bbcaA 利 用 余 弦 定 理 可 得；222cos(1tan)bbcAA 化 为(cossin)bcAA，再利用正弦定理、和差公式即可得出（2）选择条件，2 5cos5B，可得5sin5B利用诱导公式可得sinsin()ABC，由正弦定理可得：sinsincAaC在ABD中，由余弦定理可得AD【详解】解：（1）在ABC中，由余弦定理知：2222cosbcabcA，所以222cos(1tan)bbcAA，所以(cossin)bcAA又由正弦定理知：si

24、nsinbBcC，得sinsin(cossin)BCAA所以sin()sin(cossin)ACCAA即：sincoscossinsincossinsinACACCACA所以sincossinsinACCA因为sin0A，所以cossinCC，所以tan1C又因为0C，所以34C（2）选择条件：2 5cos5B因为2 5cos5B，所以5sin5B因为10sinsin()sincossincos10ABCBCCB由正弦定理知：sinsincaCA，所以sin22sincAaC在ABD中，由余弦定理知：2222cosADABBDAB BDB解得：26AD【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差

25、公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.在如图所示的四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BCE为边长为2 的等边三角形，ABAE，点F，O分别为AB，BE的中点，OF 是异面直线AB和OC的公垂线（1）证明：平面ABE平面BCE；（2）记OCDE的重心为G，求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）10535【解析】【分析】（1）O为BE的中点，利用等边三角形的性质可得OCBE，根据 OF 是异面直线AB与OC的公垂线，可得OCOF可得OC平面ABE进而得出：平面ABE平面BCE（2）根据F，O为中点，可得/OFAE，又 OF 是异面直线AB与OC

26、的公垂线，可得OFAB，AEAB可得：OA平面BCE建立如图所示的空间直角坐标系设平面ABCD的一个法向量为,nx y z，可得0n BAn BC，由C，E，D的坐标可得CED的重心G 设直线AG与平面ABCD所成角为，则 sin|cosAG，|n AGnnAG【详解】解：（1）证明：因为O为BE的中点，所以在等边BCE中，OCBE又因为 OF 是异面直线AB和OC的公垂线，所以OCOF又因为OFBEO，OFBE、平面ABE，所以OC平面ABE因为OC平面BCE，所以平面ABE平面BCE（2）因为F、O为中点，所以/OF AE，又因为 OF 是异面直线AB和OC的公垂线，所以OFAB，AEAB

27、，所以ABE为等腰直角三角形连接AO，2ABAE，1OA因为OABE，OA平面ABE，平面ABE平面BCE且平面ABE平面BCEBE所以OA平面BCE因此，以O为原点，分别以OE、OC、OA所在的直线为x、y、z 轴建系如图所示：则(0,0,1)A，(1,0,0)B，(0,3,0)C，(1,0,0)E因为四边形ABCD为平行四边形，设000,D xyz因为BCAD，所以000(1,3,0),1xy z所以(1,3,1)D设面ABCD的一个法向量为(,)nx y z(1,0,1)BA，(1,3,0)BC由00030 xzn BAn BCxy令1y，则3x，3z，所以(3,1,3)n因为(0,3,

28、0)C，(1,0,0)E，(1,3,1)D，所以CDE的重心为G的坐标为2 2 3 1,333，2 2 32,333AG设直线AG与平面ABCD所成角为，则2 31053sin|cos,|35|2 573AGAGAGnnn【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形与等腰直角三角形的性质、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.某网络购物平台每年11 月 11 日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱?（1）已知该网络购物平台近5 年“双十”购物节当天成交额如下表：年份2015 2016 2017 2018 2019 成交额（百亿

29、元）9 12 17 21 27 求成交额y（百亿元）与时间变量x（记 2015 年为1x，2016 年为2x，依次类推）的线性回归方程，并预测2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；（2）在 2020 年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A、两店订单“秒杀”成功的概率分别为p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X（i）求X的分布列及()E X；（ii）已知每个订单由*2,()k kkN件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W总数量为Y，假设27sin4kpkk，sin

30、4kqk，求()E Y取最大值时正整数k的值附：回归方程?ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()?()nniiiiiinniiiix ynxyxx yybxnxxx，?aybx【答案】（1）?4.53.7yx；30.7 百亿元；（2）（i）分布列详见解析，()E Xpq；（ii）3【解析】【分析】（1）计算x、y，求出系数b和a，写出线性回归方程，利用方程计算6x时y的值即可；（2）()i 由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；()ii根据题意求出()E Y的解析式，利用换元法和求导法计算()E Y取最大值时正整数k的值【详解】解

31、：（1）由已知可得：1234535x，91217212717.25y511 92123 17421527303iiix y522222211234555iix所以515222153035317.245?4.55553105iiiiix yx ybxx所以?17.24.533.7aybx所以?4.53.7ybxax当6x时，4.563.730.7y（百亿元）所以估计2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7（百亿元）（2）（）由题知，X的可能取值为：0，1，2(0)(1)(1)P Xpq(1)(1)(1)P Xp qq p(2)P Xpq所以X的分布列为：X0 1 2 P1pqpq

32、2pqpqpq()0(1)(1)(2)2E Xpqpqpqpqpq（）因为YkX所以27sinsin()()()2sin44kkE YkE Xk pqkkkkk k令110,2tk，设()2sinf ttt，则()()E Yf t因为1()2cos2cos2fttt，且0,2t所以，当10,3t时，()0ft，所以()f t在区间10,3上单调递增；当1 1,3 2t时，()0ft，所以()f t在区间1 1,3 2上单调递减；所以，当13t即3k时，1()333f tf（百亿元）所以()E Y取最大值时k的值为 3【点睛】本题主要考查了概率与随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运用

33、概率统计知识解决简单实际问题的能力，属于中档题21.已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右焦点分别为1F，2F，2F点又恰为抛物线2:4Dyx的焦点，以12F F为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线1x的距离分别为1d，2d，12|ABdd 直线l与C相交于E，F两点，记OAB，OEF的面积分别为1S，2S（）证明：1EFF的周长为定值；（）求21SS的最大值【答案】（1）2212xy；（2）（i）详见解析；（ii）24【解析】【分析】（1）由已知求得2(1,0)F，可得1c，又以12F F为直径

34、的圆与椭圆C仅有两个公共点，知bc，从而求得a与b的值，则答案可求；（2）()i 由题意，1x为抛物线D的准线，由抛物线的定义知，1222|ABddAFBF，结合22|ABAFBF，可知等号当且仅当A，B，2F三点共线时成立可得直线l过定点2F，根据椭圆定义即可证明11|EFEFFF为定值；()ii若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1x，求出|AB与|EF可得21|2|4SEFSAB；若直线l的斜率存在，可设直线方程为(1)yk x，1(A x，1)y，2(B x，2)y，3(E x，3)y，4(F x，4)y，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得|AB，|E

35、F，可得22212|212()(0,)1|242(12)2SEFkSABkk，由此可求21SS的最大值【详解】解：（1）因为2F为抛物线2:4Dyx的焦点，故2(1,0)F所以1c又因为以12F F为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点知：bc所以2a，1b所以椭圆C的标准方程为：2212xy（2）（）由题知，因为1x为抛物线D的准线由抛物线的定义知：1222|ABddAFBF又因为22|ABAFBF，等号当仅当A，B，2F三点共线时成立所以直线l过定点2F根据椭圆定义得：112112|44 2EFEFFFEFEFFFFFa（）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1x因为|4AB，|2EF，所以2

36、1|2|4SEFSAB若直线l的斜率存在，则可设直线:(1)(0)lyk xk，设11,A xy，22,B xy由24(1)yxyk x得，2222240k xkxk所以212224kxxk，212244|2kABxxk设33,E x y，44,F xy，由2212(1)xyyk x得，2222124220kxk xk则2342412kxxk，23422212kx xk所以222234343422 2 1|11412kEFkxxkxxx xk则22212|2120,1|242 122SEFkSABkk综上知：21SS的最大值等于24【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位

37、置关系的应用，考查计算能力，属于中档题22.已知函数2()ln2fxaxxx的图象在点(1,1)处的切线方程为1y（1）当0,2x时，证明：0()2 f x；（2）设函数()()g xxfx，当(0,1)x时，证明：0()1g x；（3）若数列na满足：1()nnaf a，101a，*nN证明：1ln0niia【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】【分析】（1）由已知结合导数的几何意义可求a，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求()f x 的范围；（2）先对()g x求导，结合导数及（1）的结论可求函数()g x的范围，即可证；（3）结合（1）（2）的结论，结合对数的

38、运算性质可证【详解】解：（1）由题知：()(ln1)2fxaxx，(1)20fa所以2a，2()2 ln2f xxxx所以()2(ln1)fxxx，令()ln1h xxx，则11()1xh xxx，当(0,1)x时，()0h x，()h x在区间(0,1)上单调递增；当(1,2)x时，()0h x，()h x在区间(1,2)上单调递减；所以()(1)0h xh，即()0fx所以()f x 在区间(0,2)上单调递减，所以2()(2)4ln 22ln16ln0fxfe又因为()ln10h xxx，所以ln1xx，所以2222()2 ln22(1)222(1)12fxxxxx xxxxx综上知：当

39、(0,2)x时，0()2f x（2）由题意，因为2()()()4 ln322g xf xxfxxxxx所以222()2 2 ln2222()22g xxxxxxf xxx由（1）知：()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()(1)1fxf，又因为当(0,1)x时，222(2,1)xx所以()0g x，()g x在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g xg由（1）可知：()0f x，又(0,1)x，()()0g xxfx综上可知：0()1g x（3）由（1）（2）知：若(0,1)x，1(1)()2ffx，若(1,2)x，0(2)()(1)1ff xf因为1(0,1)a，21(1,2)afa，32(0,1)afa，43(1,2)af a所以21(0,1)ka，2(1,2)ka，*kN当2nk时，12312342213211nkkkaaaaa aa aaag ag ag a当21nk时，12312342322211323211nkkkkkaaaaa aa aaaag ag ag aa所以1231naaaa，从而121lnln0niniaaaa【点睛】本题综合考查了导数及函数的性质在证明不等式中的应用，考查了考试的逻辑推理与运算的能力，属于难题