(最新资料)吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试(4月)试题数学(理)【含答案】.pdf

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1、吉林省吉林市2020 届高三第三次调研测试（4 月）试题数学（理）一、选择题：本大题共12 题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1.已知集合-1,0,1,2A,|lg(1)Bxyx，则ABA.2B.1,0C.1D.1,0,12.已知复数z满足iz11，则z=A.i1122B.i1122C.i1122D.i11223.已知向量ab(3,1),(3,3)，则向量b在向量a方向上的投影为A.3B.3C.1D.14.已知m n,为两条不重合直线，,为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是A.mn mn,B.mn mn,C.mn m,n,D.mn m,n,

2、5.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为2221正视图俯视图侧视图A.103B.3C.83D.736.函数f xx2()cos(2)3的对称轴不可能为A.x56B.x3C.x6D.x37.已知fx()为定义在R上的奇函数，且满足f xf x(4)(),当x(0,2)时，fxx2()2,则f(3)A.18B.18C.2D.28.已知数列na为等比数列，若aaa76826，且aa5936，则aaa768111A.1318B.1318或1936C.139D.1369.椭圆xy22192的焦点为FF12,，点P在椭圆上，若PF2|2，则F PF12的大小为A.150B.135C.120D.

3、9010.已知babca0.2121()2,log 0.2,，则a b c,的大小关系是A.abcB.cabC.acbD.bca11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A FF A2,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为ABCDEFABCDEF图1图2A.2 1313B.413C.2

4、77D.4712.已知FF12,分别为双曲线xyCab2222:1的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F F12为直径的圆经过点P，若PF F12的面积为b22 33，则双曲线的离心率为A.3B.2C.5D.3二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13.二项式x5(2)的展开式中x3的系数为（用数字作答）.14.已知两圆相交于两点A aB(,3),(1,1)，若两圆圆心都在直线xyb0上，则ab的值是 .15.若点P(cos,sin)在直线yx2上，则cos(2)2的值等于 .16.已知数列na的前n项和nnSa14且114a，设xxfxee

5、2()1，则fafafa721222(log)(log)(log)的值等于 .三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分17.（12 分）在ABC中，角A B C,的对边分别为a b c,，若abCC3(sin3cos).（1）求角B的大小；（2）若A3，D为ABC外一点，DBCD2,1,求四边形ABDC面积的最大值.18.（12 分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学

6、成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5 小时的有19 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120 分的占813，统计成绩后得到如下2 2列联表：分数不少于120 分分数不足120 分合计线上学习时间不少于5 小时4 19 线上学习时间不足5 小时合计45（1）请完成上面2 2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120 分和分数不足120 分的两组学生中抽取 9 名学生，设抽到不足120 分且每周线上学习时间不足5 小

7、时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120 分的学生中随机抽取 20 人，求这些人中每周线上学习时间不少于5 小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）20()P Kk0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式n adbcKab cdacbd22()()()()()其中nabcd）19.（12 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD,ADABCDDAB1,602，点E F,分别为CD AP,的中点.（1

8、）证明：PC面BEF；（2）若PAPD，且PAPD，面PAD面ABCD,求 二 面 角FBEA的 余 弦 值.ABCDEFP20.（12 分）已知倾斜角为4的直线经过抛物线2:2(0)Cxpy p的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点,且|8AB.（1）求抛物线C的方程；（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线1l、2l，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为，直线CD的倾斜角为，求证：与互补.21.（12 分）已知函数2()ln(1)1(,).fxxaxabxba bR（1）若0a，试讨论()f x的单调性；（2）若02,1ab，实数12,x

9、x为方程2()fxmax的两不等实根，求证：121142axx.（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()26.（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）设,A B为曲线1C上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB,射线,OA OB交曲线2C分别于,D C，求AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积.23.（10 分）已知,a b c均为正实数，

10、函数222111()|4f xxxcab的最小值为1.证明：（1）22249abc；（2）111122abbcac.一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A D A D C A C B D B 二、填空题13.-40；14.-1;15.45；16.7 三、解答题17.解：（1）3(sin3 cos)abCC,由正弦定理得:3 sinsin(sin3cos)ABCC3 sin()sinsin3 sincosBCBCBC，即3 cossinsinsinBCBC -3分sin0,3 cossinCBB即tan3B(0,),3BB -6分（2）在BCD中，2,1BDC

11、D222122 12cosBCD54cosD又3A，则ABC为等边三角形，21sin23ABCSBC5 33 cos4D-8分又1sinsin2BDCSBDDCDD，5 3sin3 cos4ABCDSDD5 32sin()43D -10分当56D时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为5 324.-12分18.解：（1）分数不少于120 分分数不足120 分合计线上学习时间不少于5 小时15 4 19 线上学习时间不足5 小时10 16 26 合计25 20 45 -3分2245(15 16104)7.296.6352520 1926K有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时

12、间有关”-5分（2）（I）由分层抽样知，需要从不足120 分的学生中抽取209445人 -6分X的可能取值为0，1,2,3,4.44420(0)CP XC,31416420(1)C CP XC,22416420(2)C CP XC13416420(3)C CP XC,416420(4)CP XC -8分（II）从全校不少于120 分的学生中随机抽取1 人此人每周上线时间不少于5 小时的概率为150.625 -10分设从全校不少于120分的学生中随机抽取20 人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则(20,0.6)YB，故()200.612E Y,()200.6(10.6)4.8D

13、 Y -12分19解“（1）证明：连接AC交BE于H，连接FH,ABCEHABHCEBHACHAABHCEHAHCHFHPC -2分FH面,FBEPC面FBEPC面FBE -4分（2）取AD中点O，连PO，OB.由PAPD，POAD面PAD面ABCDPO面ABCD，又由60DAB，ADABOBADABCDEFPxyzHO以,OA OB OP分别为,X Y Z轴建立如图所示空间直角坐标系 -6分设2AD，则(1,0,0)A，(0,3,0)B,(1,0,0)D,11(0,0,1),(,0,)22PF(2,0,0)EBDA，11(,3,)22BF -8分1(0,0,1)n为面BEA的一个法向量 -9

14、分设面FBE的法向量为2000(,)nxy z，依题意，2200EB nBF n即000020113022xxyz令03y，解得026.(0,3,6)zn -10分121212,62 39cos,1339n nn nnn因为二面角为锐角，故其余弦值为2 3913 -20.解：（1）由题意设直线AB的方程为2pyx令11(,)A xy、22(,)B xy，联立222pyxxpy得22304pypy-3分123yyp，根据抛物线的定义得124AByypp，又8AB，48,2pp故所求抛物线方程为24xy -5分（2）依题意，设200(,)4xP x，2(,)4CCxC x，2(,)4DDxD x设

15、1l的方程为200()4xyk xx，与24xy联立消去y得2200440 xkxkxx -7分04Cxxk，同理04Dxxk -8分02CDxxx，直线CD的斜率2221214()CDxxKxx=1()4CDxx012x-10分切线l的斜率0012lxxKyx。由0lCDKK，得与互补 -12分21.解：（1）依题意0 x，当0a时，1()(1)fxbx -1分当1b时，()0fx恒成立，此时()f x在定义域上单调递增；-3分当1b时，若10,1xb，()0fx；若1,1xb，()0fx故此时()f x的单调增、减区间分别为10,1b、1,1b -5分（2）方法 1：由2()fxmax得l

16、n(2)20 xaxm令()ln(2)2g xxax，则12()()g xg xm -7分依题意有1122ln(2)ln(2)xaxxax，2112ln2xxaxx -8分要证121142axx，只需证212112122ln2(2)xxxxax xxx（不妨设12xx），即证1222112lnxxxxxx -10分令21(1)xt tx，1()2ln,g tttt22211()1(1)0g tttt，()g t在(1,)单调递减，()(1)0g tg，从而有121142axx -12分方法 2：由2()f xmax得ln(2)20 xaxm令()ln(2)2g xxax，则12()()g xg

17、 xm，1()(2)g xax -7分当1(0,)2xa时()0g x，1(,)2xa时()0g x，故()g x在1(0,)2a上单调递增，在1(,)2a上单调递减，-8分不妨设12xx，则12102xxa，要证121142axx，只需证212(42)1xxa x，易知221(0,)(42)12xa xa，故只需证212()()(42)1xg xga x，即证222()()(42)1xg xga x -10分令()()()(42)1xh xg xga x，（12xa），则21()()()(42)1421xh xg xga xa x=21(2)1(2)1421a xa xxxa x=224(2

18、)210421aa xa x -11分（也可代入后再求导）()h x在1,2a上单调递减，1()()02h xha，故对于12xa时，总有()()(42)1xg xga x。由此得121142axx -12分22.解：（1）由曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数）消去参数得2213xy-2分曲线2C的极坐标方程为sin()26即sincoscossin266340 xy -4分（2）依题意得1C的极坐标方程为2222cossin13 -5分设1(,)A,2(,)2B,3(,)D,4(,)2C则222211cossin13，222222sincos13，故22121143 -7分221

19、21221143，当且仅当12（即4）时取“=”-8分故121324AOBS，即AOB面积的最小值为34 -9分此时34112222sin()cos()4646CODS48cos3故所求四边形的面积为329844 -10分23.证明（1）,0a b c，222111()4f xxxabc222111()4xxabc2221114abc2221114abc1 -3分由柯西不等式得222(4)abc222111()4abc2(11 1)9当且仅当23abc时取“=”。22249abc -5分（2）22112,abab22111,4bcbc221114acac（以上三式当且仅当23abc时同时取“=”）-7分将以上三式相加得211abbcac2221112()24abc即111122abbcac -10分