名师原创高考数学专题卷：《直线与圆的方程》.pdf

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1、名师原创数学专题卷专题直线与圆的方程考点：直线方程与两直线的的位置关系（1-5题，13 题）考点：圆的方程及点，线，圆的位置关系（6-12题，14-16 题，17-22 题）考试时间：120 分钟满分：150 分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第 I 卷（选择题）一、选择题1.直线320 xy的倾斜角为()A.6B.3C.56D.232.斜率为3,在x轴上截距为2的直线方程的一般式为()A.360 xyB.320 xyC.360 xyD.320 xy3.已知直线10axby与直线4350 xy平行,且在y轴上的截距为13,则ab的值为()A.7B.-1C.1D.-74

2、.已知直线过点且与点,等距离,则直线的方程为()A.B.C.或D.或5.在等腰直角三角形ABC中,4ABAC,点P是边AB上异于,A B的一点.光线从点P出发,经,BC CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于()A.2B.1C.83D.436.过原点且倾斜角为60的直线被圆2240 xyy截得的弦长为()A.3B.2C.6D.2 37.已知圆22:(2)(2)10Cxy,若直线:2lykx与圆交于,P Q两点,求弦长PQ的最小值是()A.5B.4C.2 5D.2 38.若圆224xy与圆222600 xyaya的公共弦的长为2 3,则a()A.2B.1C.1D.2

3、9.点4,2P与圆224xy上任一点连结的线段的中点的轨迹方程()A.22211xyB.22214xyC.22424xyD.22211xy10.若实数,x y满足222210 xyxy则42yx的取值范围为()A.40,3B.4,3C.4,3D.4,0311已知过点引直线 与曲线相交于两点,为坐标原点,当的面积取最大值时,直线的倾斜角为()A.150B.135C.120D.10512.如图,已知直线334yx与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以0,1C为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB,则PAB面积的最大值是()A.8B.12C.212D.172二、填空题13.设点1,0A,2,1

4、B,若直线10axby与线段AB有一个公共点,则22ab的最小值为 _.14.曲线lnyx上的点到直线230 xy的最短距离是 _ _.15.过原点O作圆2268200 xyxy的两条切线,设切点分别为,PQ,则线段PQ、的长为_16.直线1:10laxya与x,y轴的交点分别为A、B,直线l与圆22:1O xy的交点为C,D.给出下面三个结论:1a,12AOBS;1|a,ABCD;1|a,12CODS,则所有正确结论的序号是 _.三、解答题17.从点引圆1C:的切线PQ、,切点为Q.1.当m变化时,求切点Q的轨迹C的方程2.已知直线:(12)(1)540lk xk yk()kR,求证:直线l

5、与轨迹C恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.18.在平面直角坐标系xOy中,直线10 xy截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6.1.求圆O的方程;2.若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于点D,E,当DE长最小时,求直线l的方程;3.设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP?,NP分别交x轴于点,0m和(,0)n,问mn、是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.19.已知圆M与圆N:2225533xyr关于直线yx对称,且点1 5,3 3D在圆M上.1.判断圆M与圆N的位置关系;2.设P为 圆M上任意一点,51,3A,51,3B,PA与PB不共线,P

6、G为APB的平分线,且交AB于G,求证PBG与APG的面积之比为定值.20.已知圆22:2430.C xyxy1.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.2.从圆C外一点11,P x y向该圆引一条切线,切点为,M O为坐标原点,且有,PMPO求使得PM取得最小值的点P的坐标.21.已知点00,Mxy在圆22:4Oxy上运动,且存在一定点6,0N,点,P x y为线段MN的中点.1.求点P的轨迹C的方程;2.过0,1A且斜率为k的直线l与点P的轨迹C交于不同的两点,E F,是否存在实数k使得12OE OF,并说明理由.22.已知直线1l:220mxym,2l:220 xmym,1

7、l与y轴交于A点,2l与x轴交于B点,1l与2l交于D点,圆C是ABD的外接圆.1.判断ABD的形状并求圆C面积的最小值.2.若D,E是抛物线22xpy与圆C的公共点,问:在抛物线上是否存在点P使得PDE是等腰三角形?若存在,求点P的个数;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题1.答案：C解析：2.答案：A解析：3.答案：D解析：4.D设所求直线的方程为,即,由已知及点到直线的距离公式可得,解得或,即所求直线方程为或.5.答案：D解析：以AB为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知4,0,0,4,0,0BCA,则直线BC方程为40 xy,设(,0)(04)P tt,由对称知识

8、可得点P关于直线BC的对称点1P的坐标为4,4t,点P关于y轴的对称点2P的坐标为(,0)t,根据反射定理可知12PP就是光线RQ所在直线.由1P、2P两点坐标可得直线12PP的方程为4()4tyxtt,设ABC的重心为G,易知4 4,3 3G.因为重心4 4,3 3G在光线RQ上,所以有444343ttt,即2340tt.所以0t或43t,因为04t,所以43t,即43AP,故选 D.6.答案：D解析：由已知得直线的方程为3yx圆心为0,2,半径2r.由点到直线的距离公式得弦心距等于1,从而所求弦长等于222 212 3故选 D.7.答案：C解析：8.答案：B解析：9.答案：A解析：设中点坐

9、标为,A x y,那么圆上一点设为,B xy,满足4222xxyy,2422xxyy,根据条件224xy,代入后得到2224224xy,化简为:22211xy,故选 A.10.答案：B解析：原方程配方得22111xy,42yx表示的是圆上的点和点2,4之间的连线的斜率,画出图象如下图所示,结合选项和图象可知,斜率的最小值为43,没有最大值.答案：A解析：由题意知直线的斜率必然存在,设直线的斜率为且,则直线方程为,设圆心到直线的距离为,则,可用二次函数,也可根据基本不等式,(当且仅当即时,等号成立),此时三角形的面积最大,且,解得,则倾斜角为150,选 A.12.答案：C解析：因为直线334yx

10、与x轴、y轴分别交于A、B两点两点,所以(4,0)A,(0,3)B,即4OA,3OB,所以5AB.根据题意分析可得要PAB面积的最大则点P到直线AB的距离最远,所以点P在过点C的AB的垂线上,过点C作CDAB于点D,易证BCDBAO,所以BCCDBAAO,所以454CD,所以165CD,所以点P到直线AB的距离为1621155,所以PAB面积的最大值为121215252,故选 C.二、填空题13.答案：15解析：因为直线10axby与线段AB有一个公共点,所以点1,0A,2,1B在直线10axby的两侧,所 以1210aab,即10210aab或10210aab,画出它们表示的平面区域,如图所

11、示,22ab表示原点到区域的点距离的平方,由图可知,当原点O到直线210 xy的距离到区域内的点的距离的最小值,114 15d,所以22ab的最小值215d.14.答案：5 4ln 25解析：设点00,P xy到直线230 xy的距离最短,所以曲线在点00,P xy处的切线斜率为2,而1yx,所以012x0011,ln22xy根据点到直线的距离公式可知曲线上的点到直线的最短距离为5 4ln25考点:本小题主要考查曲线上的点到直线的距离的最值,导数的计算等.点评:解决本小题的关键是找出曲线在所求的点处的切线与已知直线平行,所以斜率相等,进而利用导数计算.15.答案：4解析：16.答案：解析：当1

12、a时,分别可得直线的截距,由三角形的面积公式易得结论正确;当1a时,反证法可得结论错误;由三角形的面积公式可得11sin22CODSAOC,可得结论正确.当1a时,把0 x代入直线方程可得ya,把0y代入直线方程可得1xa,11122AOBSaa,故结论正确;当1a时,221ABaa,2221ABaa,直线l可化为20a xya,圆心O到l的距离44221111aadaaaa,222214 14 11CDdaa,假设ABCD,则22ABCD,即2222114 11aaaa,2222211440aaaa,222120aa,显然矛 盾,故结论错误;111sinsin222CODSOD OCCODC

13、OD,1a,12CODS,所以结论正确.三、解答题17.答案：1.22(2)8xy2.直线l的方程可化为(24)50kxyxy,l可看作是过直线240 xy和50 xy的交点(3,2)的直线系,即l恒过定点(3,2)Q,由22(32)258知点Q在圆P内,所以l与圆P恒相交,设l与圆P的交点为,M N,则22 8MNd(d为P到l的距离),设PQ、与l的夹角为,则sin5 sindPQ,当90时,d最大,MN最短,此时l的斜率为PQ、的斜率的负倒数12,故l的方程为12(3)2yx,270 xy解析：18.答案：1.圆心0,0O到直线10 xy的距离001222d,又半弦长62,则该圆的半径1

14、6224r,所以圆O的方程为222xy.2.设直线:10,0 xylabab,即0bxayab,则,0D a,0,Eb,由题设可得222abab,即2222 abab,又因22222abab,故2222222abab,即228ab,故222 2DEab(当且仅当2ab时取等号),此时所求直线l的方程为20 xy.3.设11,Mx y,00,P xy,由题意得11,N xy,则0101MPyykxx,直线010001:yyMPyyxxxx,令0y,解之得001001yxxxxyy0001100010010101x yx yx yx yx yx yyyyy,100101x yx ymyy;又因为则

15、0101NPyykxx,直线010001:yyNPyyxxxx,令0y可得001001yxxxxyy0001001001100101x yx yx yx yx yx yyyyy,011001x yx ynyy,100101100101x yx yx yx ymnyyyy222210012201x yx yyy,由于22112xy,22002xy,故22221001220122yyyymnyy222222010101220122yy yyy yyy22012201222yyyy,mm为定值2.解析：19.答案：1.圆N的圆心55,33N关于直线yx的对称点为5 5,3 3M,22241639rM

16、D.圆M的方程为225516339xy,22101010 2823333MNr已知圆M与圆N相离.2.设00,P xy,则22200513PAxy2200016541933xxx,22200513PBxy22000165161933xxx,224PBPA,2PBPA,G为APB的角平分线上一点,G到PA与PB的距离相等,2PBGPAGPBSSPA为定值.解析：20.答案：1.圆22:2430Cxyxy的标准方程为22(1)(2)2xy所以圆心(1,2)C,半径2r设圆的切线在x轴和y轴上的截距分别为,a b当0ab时,切线方程可设为,ykx由点到直线的距离公式得:2212211a解得:1a或3

17、a所以切线方程为:10,30.xyxy总之,所求方程为(26),10yx xy或30 xy2.连接MC,则222|PMPCMC因为:PCPO所以222|PCMCPO即:2222(1)(2)2xyxy整理得:322xy22PMPOxy22239(2)5624yyyy当63105y时,PM最小此时:33325210 x所以33(,)10 5P解析：21.答案：1.由中点坐标公式,得00622xxyy即026xx,02yy.点00,Mxy在圆224xy上运动,22004xy,即222624xy,整理,得2231xy.点P的轨迹C的方程为2231xy.2.设11,E x y,22,F xy,直线l的方

18、程是1ykx,代入圆2231xy.可得2212 390kxk x,由232240kk,得304k,且1222 31kxxk,12291x xk,212121212111y ykxkxk x xk xx222222398611111kkkkkkkk2121228610121kkOE OFx xy yk.解得12k或1,不满足0.不存在实数k使得12OE OF.解析：22.答案：1.由题得12ll,所以ABD是直角三角形,且0,22Am,2 2,0Bm,2,2D,则ABD外接圆直径是AB,2281ABm.要使圆C的面积最小,则2min8AB,当且仅当0m时成立,所以圆C面积的最小值为2.2.由2,

19、2D点在抛物线22xpy上,得22xy.由1知圆C过原点,则抛物线与圆C的公共点是2,2D,0,0E,假设存在点00,P xy满足条件,则2002xy.当DE是底时,DE的中点为1,1Q,DE的中垂线方程为2yx,代入抛物线22xy,得2240 xx,20 0,所以存在两个满足条件的P点.当PE是底时,PE中点为00,22xyM,则DMPE,即000022022xyxy,300416 0 xx.设3416f xxx,234fxx,则f x在2 3,3,2 3,3上递增,在2 3 2 3,33上递减.因为2 303f,0160f,310f,4320f,所以f x在3,4内有唯一零点,存在一个满足条件的P点.当PD是底时,PD中点为001,122xyN,则ENPD,001,122xyEN,002,2DPxy,0ENDP,即00002222022xyxy,所以2220004440242xxx,即22004808xx,则2040 x或2080 x,此时只有一个解02x.综上所述,以上零点不重复,所以共有4个满足条件的P点.