1981年-2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：三角函数(含解析).pdf

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1、1981年-2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编：三角函数（含解析）2019A 6、对任意闭区间 I，用IM表示函数sinyx在 I 上的最大值若正数a满足0,22aaaMM，则a的值为答案：56或1312解析：若 02a，0,20sin2aaaMaM,与条件不符，所以2a，此时0,1aM，,212aaM，于是存在非负整数k，使得51322266kaak，且处至少有一处取到等号。当0k时，得56a或1326a，经检验得56a或1312a均满足条件；当1k时，由于13522 266kk，故不存在满足的a。综上56a或1312a。2018B 5、设,满足3)3tan(，5)6tan(，则)ta

2、n(的值为答案：47解 析:由 两 角 差 的 正 切 公 式 可 知7463tan，即 可 得47)tan(2017A 2、若实数yx,满足1cos22yx，则yxcos 的取值范围为答案：13,1解析：由1cos22yx得3,1cos212yx，得3,3x，21cos2xy，所以1121cos2xyx，3,3x可求得其范围为13,1。2016A 6、设函数10cos10sin)(44kxkxkf，其中k是一个正整数。若对任意实数a，均有Rxxfaxaxf|)(1|)(，则k的最小值为答案：16解析：由条件知，10cos10sin2)10cos10(sin)(22222kxkxkxkxxf4

3、352cos415sin12kxkx其中当且仅当)(5Zmkmx时，)(xf取到最大值根据条件知，任意一个长为1 的开区间)1,(aa至少包含一个最大值点，从而15k，即5k反 之，当5k时，任意 一 个 开区 间 均 包 含)(xf的 一个 完 整 周 期，此 时|)(1|)(Rxxfaxaxf成 立 综 上 可 知，正 整 数 的 最 小 值 为16152015A 2、若实数满足tancos，则4cossin1的值为答案：2解析：由条件知，sincos2，反复利用此结论，并注意到1sincos22，得)cos1)(sin1(sinsinsincoscossin1222242cossin22

4、2015A 7、设w是正实数，若存在ba,)2(ba，使得2sinsinwbwa，则w的取值范围是答案：9 513,),)4 24wU解析：由2sinsinba知，1sinsinba，而2,wwbasi，故题目条件等价于：存在整数,()k l kl，使得wlkw22222 当4w时，区间2,ww的长度不小于 4，故必存在,k l满足式当 04w时，注意到)8,0(2,ww，故仅需考虑如下几种情况：(i)ww2252，此时21w且45w无解；(ii)ww22925，此时2549w;(iii)ww221329，此时29413w,得4413w综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4w亦满足条件，

5、可知9 513,)4 24wU2015B 3、某房间的室温 T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：),0(,cossinttbtaT，其中ba,为正实数，如果该房间的最大温差为10 摄氏度，则ba的最大值为答案：5 2解析：由辅助角公式：22sincossin()Tatbtabt，其中满足条件2222sin,cosbaabab，则函数 T 的值域是2222,abab，室内最大温差为22210ab，得225ab故222()5 2abab,等号成立当且仅当522ab2014A 10、（本题满分 20 分）数列na满足61a，)arctan(sec1nnaa，（Nn）求正整数m，使得

6、1001sinsinsin21maaa。解析：由已知条件可知，对任意正整数n，)2,2(1na，且nnaasectan1由于0secna，故)2,0(1na。由得，nnnaaa2212tan1sectan，故323311tan1tan122nnanan即323tannan。10 分因此，?21sinsinaa?2211sectansectansinaaaaammmaasectan?3221tantantantanaaaa1tantan?mmaa（利用）131tantan11maam由1001131m，得3333m。20分2014B 10、（本题满分 20 分）设321,xxx是多项式方程011

7、103xx的三个根.已知321,xxx都落在区间5,5之中，求这三个根的整数部分；（5 分）证明：4arctanarctanarctan321xxx。（15 分）解 析：设1110)(3xxxp，则它 至多 有三 个实 根。由 于64)5(p，13)4(p，14)3(p，23)2(p，20)1(p，11)0(p，2)1(p，1)2(p，8)3(p，我们可以看到三个区间3,4，2,1，3,2的端点函数)(xp的值改变符号，所有三个根分别落在这三个区间的内部，这样2,1,4便可以作为满足条件的三个根的近似值。（4 也可以写成3）假定321xxx，由于11x，所以24,2arctan1x，同理1,3

8、2xx，得2,4arctan,arctan32xx，从而21arctanarctanxx和3arctan4x都落在区间4,4之中，所以我们只需证明：321arctan4tan4arctanarctantanxxx。由正切公式知，等价于332121111xxxxxx，即等价于132131xxxxxxjijiii，由根与系数关系知，031iix，10jijixx，11321xxx，显然上式是成立的。这样就完成了证明。2008AB13、已知函数xxfsin)(的图像与直线kxy（0k）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：413sinsincos2。证明：()f x的图象与直线ykx)0(

9、k的三个交点如答13 图所示，且在3(,)2内相切，其切点为(,sin)A，3(,)2由于()cosfxx，3(,)2x，所以sincos，即tan因此coscossinsin32sin 2cos14sincos22cossin4sincos21tan4tan2142007*4、设函数1cos2sin3)(xxxf。若实数cba,使得1)()(cxbfxaf对任意的实数x恒成立，则acbcos的值等于A.21 B.21 C.1 D.1答案：C 解析：令c，则对任意的Rx，都有2)()(cxfxf，于是取21ba，c，则对任意的Rx，1)()(cxbfxaf，由此得1cosacb。一般地，由题设

10、可得1)sin(13)(xxf，1)sin(13)(cxcxf，其中20且32tan，于是1)()(cxbfxaf可化为1)sin(13)sin(13bacxbxa，即0)1()cos(sin13cos)sin(13)sin(13baxcbcxbxa，所以0)1()cos(sin13)sin()cos(13baxcbxcba。由已知条件，上式对任意Rx恒成立，故必有)3(01)2(0sin)1(0cosbacbcba，若0b，则由(1)知0a，显然不满足(3)式，故0b。所以，由(2)知0sinc，故kc2或kc2(Zk)。当kc2时，1cosc，则(1)、(3)两式矛盾。故kc2(Zk)，1

11、cosc。由(1)、(3)知21ba，所以1cosacb。2007*11、已知函数xxxxf2)cos()sin()(（4541x），则)(xf的最小值为答案：554解析：解：实际上)4541(2)4sin(2)(xxxxf，设)4541)(4sin(2)(xxxg，则0)(xg，)(xg在43,41上是增函数，在45,43上是减函数，且)(xgy的图像关于直线43x对称，则对任意43,411x，存在45,432x，使)()(12xgxg。于是)(2)(2)(2)()(22212111xfxxgxxgxxgxf，而)(xf在45,43上是减函数，所以554)45()(fxf，即)(xf在45,

12、41上的最小值是554。2007*15、（本题满分 20 分）设函数)(xf对所有的实数x都满足)()2(xfxf，求证：存在 4个函数)(xfi（4,3,2,1i）满足：对4,3,2,1i，)(xfi都是偶函数，且 对 任 意 的 实 数x，有)()(xfxfii；对 任 意 的 实 数x，有xxfxxfxxfxfxf2sin)(sin)(cos)()()(4321。证明：记2)()()(xfxfxg，2)()()(xfxfxh，则)()()(xhxgxf，且)(xg是偶函数，)(xh是奇函数，对任意的Rx，)()2(xgxg，)()2(xhxh。令2)()()(1xgxgxf，202cos

13、2)()()(2kxkxxxgxgxf，kxkxxxhxhxf0sin2)()()(3，2022sin2)()()(4kxkxxxhxhxf，其中 k 为任意整数。容易验证)(xfi，4,3,2,1i是偶函数，且对任意的Rx，)()(xfxfii，4,3,2,1i。下证对任意的Rx，有)(cos)()(21xgxxfxf。当2kx时，显然成立；当2kx时，因为2)()()(cos)()(121xgxgxfxxfxf，而)23()(kgxg)1(223(kkg)()2()2(xgkgkg，故对任意的Rx，有)(cos)()(21xgxxfxf。下证对任意的Rx，有)(2sin)(sin)(43x

14、hxxfxxf。当2kx时，显然成立；当kx时，)()2()()(khkkhkhxh，所以0)()(khxh，而此时02sin)(sin)(43xxfxxf，故)(2sin)(sin)(43xhxxfxxf；当2kx时，)2()1(223()23()(khkkhkhxh)2(kh)(xh，故)(2)()(sin)(3xhxhxhxxf，又02sin)(4xxf，从而有)(2sin)(sin)(43xhxxfxxf。于是，对任意的Rx，有)(2sin)(sin)(43xhxxfxxf。综上所述，结论得证。2006*7、设函数xxxxxf44coscossinsin)(，则)(xf的值域为答案：8

15、9,0解析：44211()sinsincoscos1sin 2sin 222f xxxxxxx。令sin2tx，则2211911()()1()22822f xg tttt。因此1191 9min()(1)0,82 4tg tgg111919max()()02828tg tgg。即得90()8f x。2005*9、设,满足20，若对任意Rx，0)cos()cos()cos(xxx，则答案：.34解 析：设),cos()cos()cos()(xxxxf由Rx，0)(xf知，0)(f，,0)(,0)(ff即,1)cos()cos(,1)cos()cos(.1)cos()cos(.21)cos()co

16、s()cos(,34,32,20又,.只有.3234（另一方面.32时，代回原式很容易验证对x的任意性都成立）2004*7、在平面直角坐标系xOy中，函数axaxaxfcossin)(（0a）在一个最小正周期长的区间上的图像与函数1)(2axg的图像所围成的封闭图形的面积为答案：122aa解析：axaaxaxaxfsin1cossin)(2，取一个周期的图像，割补得面积为长为a2，宽为122a的矩形，由对称性知，面积之半即为所求故填122aa2003*4、若3,125x，则)6cos()6tan()32tan(xxxy的最大值是A.5212 B.6211 C.6311 D.5312答案：C 解

17、析：令6x，则232x，当3,125x时，6,4，原函数即变为cos2sin2y，在6,4上，cos,2sin都单调递增，从而 y 单调递增于是6时，y 取得最大值6311，故选 C 2002*12、使不等式xaxaxcos1cossin22对一切Rx恒成立的负数a的取值范围是答案：2,解析：因为xaxaxcos1cossin22对一切Rx恒成立，即4121cos222aaax（0a）所以当1cosx时，函数2)21(cosaxy有最大值2)211(a即4)1()211(222aaa，即022aa，解得2a或1a又0a，所以2a，即所求负数 a 的取值范围是2,。2001*3、在四个函数xys

18、in，xycos，xycot，xysinlg|中以为周期、在2,0上单调递增的偶函数是A.xysin B.xycos C.xycot D.xysinlg答案：D 解析：xysin不是周期函数xycos以 2为周期xycot在2,0上单调递减只有xysinlg满足全部条件2000*2、设0sin，0cos，且3cos3sin，则3的取值范围是()A.32,62kk，Zk B.332,632kk，ZkC.kk2,652，Zk D.32,42kkkk2,652Zk答案：D 解析：满足0sin，0cos的的范围是kk2,22，于是3的取值范 围 是332,632kk，满 足3cos3sin的3的 取

19、值 范 围 为452,42kk故所求范围是32,42kkkk2,652，Zk选 D2000*7、)2000arcsin(sin0的值为 _答案：020解析：因为000200012 1801601997*5、设xxxf2)(，31arcsin，45arctan，)31arccos(，)45arctan(，则（）A.)()()()(ffff B.)()()()(ffffC.)()()()(ffff D.)()()()(ffff答案：B 解析：)(xf的对称轴为2x，易得，65433223460选 B1997*13、（本题满分 20分）设12zyx，且12zyx，求乘积zyxcossincos的最大

20、值和最小值。解析：由于12zyx，故321226x813cos21)sin(cos21cos21)sin()sin(21coscossincos22zyxxzyzyxzyx即为所求最小值 (由于zyx,36，故0)sin(coszyx)，所以当12zy，3x时，81cossincoszyx又zyxzzyxyxzzyx22cos21)sin(cos21cos21)sin()sin(21coscossincos，且8326cos12112cos21cos2122z。由于0cos,0)sin(zyx，故当12,125zyx时zyxcossincos取得最大值832 最大值832，最小值811996*

21、4、设0,21x，以 下 三 个 数：xsincos1,xcossin2,1cos3x,的大小关系是 _A.123 B.231 C.213 D.132答案：D 解析：0sincos1x，0cossin2x，01cos3x，排除 B、D 2)4sin(2cossinxxx，于是xxsin2cos，xxsincoscossin，故12，选 A另解：也可以取41x代入计算可得121995*5、1coslog1sin，1tanlog1sin，1sinlog1cos，1tanlog1cos的大小关系是()A.1coslog1sin1sinlog1cos1tanlog1sin1tanlog1cosB.1s

22、inlog1cos1tanlog1cos1coslog1sin1tanlog1sinC.1tanlog1sin1tanlog1cos1sinlog1cos1coslog1sinD.1tanlog1cos1tanlog1sin1coslog1sin1sinlog1cos答案：C 解 析：因 为214，故1tan11sin1cos0 所 以01tanlog1sin，01tanlog1cos，01coslog1sin，01sinlog1cos，设a1coslog1sin，则得1sin1cos1sina，所以1a；b1sinlog1cos，则1cos1sin1cosb，所以10b；即1sinlog1c

23、os1coslog1sin设c1tanlog1sin，d1tanlog1cos，则得1tan1cos1sindc，(结合指数函数图象进行比较)，dc即1tanlog1sin1tanlog1cos.故选 C1994*4、已知10b，40a，则下列三数：abaxsinlogsin，abaycoslogcos，abazcoslogsin的大小关系是（）A.yzx B.xzy C.yxz D.zyx答案：A 解析：由40a得1cossin0aa 又10b，所以0coslogsinlogaabbabasinlogsinabacoslogsinabacoslogcos即yzx选 A1994*10、设0，则

24、cos12sin的最大值是 _ _答案：934解析：令2cos2sin2cos12sin2y，知0y，所以322223222cos2cos2sin22y即934y，当222tan时等号成立1992*8、在区间,0中，三角方程xx5cos7cos的解的个数是 _答案：7解析：由题意得kxx257，或kxx257，(Zk)，得kx，kx61(Zk)，在区间,0内共有 7 解1991*700020280sin40sin50cos10cos答案：43解析：原式000040cos120cos212100cos1220cos100040cos80cos20cos21411000002060cos2060c

25、os20cos21411431990*1设2,4,则cos)(cos，cos)(sin，sin)(cos的大小顺序是A.cos)(coscos)(sinsin)(cosB.cos)(cossin)(coscos)(sinC.cos)(sincos)(cossin)(cos D.sin)(coscos)(coscos)(sin答案：D 解析：2,4得1sincos0，cos)(coscos)(sin；sin)(coscos)(cos；选 D 1990*8设)0,2(A为平面上一定点，)602cos(),602(sin(00ttP为动点，则当t由015变到045时，线段 AP 扫过的面积是答案：6

26、解析：点 P 在单位圆上，)2150cos()602sin(00tt，)2150sin()602cos(00tt.当t由015变到045时，点 P 沿单位圆从23,21运动到23,21线段 AP 扫过的面积等于扇形面积等于61990*13 已知ba,均为正整数，且ba，222sinbaab，(其中20)，nbaAnnsin)(22求证：对于一切自然数n，nA均为整数证明：由222sinbaab，得2222cosbaba记nbaBnnsin)(22当ba,均为正整数时，abA21、221baB均为整数2224baabA，22222222babaB也为整数若kbaAkksin)(22、kbaBkk

27、sin)(22均为整数，则kkkkkBABAkkbakbaA111221221sincoscossin)(1sin)(为整数kkkkkAABBkkbakbaB111221221sinsincoscos)(1cos)(也为整数由数学归纳原理知对于一切Nn，nA，nB为整数1989*2函数xxxfarcsin21arctan)(的值域是()A),(B43,43 C43,43 D 21,21答案：D 解析：因1,1x，故4,4arctanx，4,4arcsin21x，且2)1(f，2)1(f选 D1989*12当s和t取遍所有实数时，则22sin2cos35tsts所能达到的最小值为答案：2解析：令

28、txcos3，tysin2，则得椭圆14922yx在第一象限内的弧段再令5sx，sy，则得5xy，表示一条直线22sin2cos35tsts表示椭圆弧段上点与直线上点距离平方其最小值为点0,3与直线5xy距离平方等于 21986*1、设01a，aarcsin，那么不等式axsin的解集为()AZnnxnx,)12(2BZnnxnx,)12(2C Znnxnx,2)12(D Znnxnx,2)12(答案：D 解析：02，在0,内满足axsin的角为x，由单位圆易得解为 D 1985*3、已知方程xarcsin54arccos54arccos，则()A2524xB2524xC 0 xD这样的x不存

29、在答案：D 解析：即54arccos2arcsinx设54arccos，则54cos，53sin25242sin即 2为锐角 22故选 D1984*7、若 动 点),(yxP以 等 角 速 度在 单 位 圆 上 逆 时 针 运 动，则 点),2(22xyxyQ的运动方式是（）A以角速度在单位圆上顺时针运动 B以角速度在单位圆上逆时针运动C 以角速度 2在单位圆上顺时针运动 D以角速度 2在单位圆上逆时针运动答案：C 解析：令txcos，tysin则ttxy223cos2sin22ttxy223sin2cos22显然t2与t 旋转方向相反故选C1984*10、方程xxcos4cos的通解是，在2

30、4,0内不相同的解有个答案：kx38或mx58；20解析：由题意得xkx24，kx38或mx58当24380k时，8,3,2,1k；当24580m时，14,3,2,1m；而当5,3 mk及10,6 mk时，解是相同的，故共有202148个不同的解1983*一、(本题满分 8 分)求证：2arccosarcsinxx，其中1,1x证明：由于1,1x，故xarcsin 与xarccos有意义，xarcsosxxcos)arccos2sin(，由于arccos x0，2,2arccos2x故根据反正弦定义，有xarcsinxarccos2故证1982*5、对任何2,0都有（）A.coscoscossinsinB.coscoscossinsinC.sincoscoscossinD.sincoscoscossin答案：D 解析：由2sin0，得sinsincos1cos0，得coscossin 故选D1981*3、设2k（,2,1,0k），cotcostansint，则下列正确的是（）A.t取负值 B.t取非负值 C.t取正值 D.t取值可正可负答案：C 解析：01sincos1cossincotcostansin22t1981 年-2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编：三角函数（含解析）