2019-2020学年天津市河西区高一下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共9 小题）.1如果?，?是两个单位向量，则?与?一定（）A相等B平行C方向相同D长度相等2若复数z（x21）+（x1）i 为纯虚数，则实数x 的值为（）A 1B0C1D 1 或 13在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000 名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%从表中可以得出正确的结论为（）A表中 m 的数值为 8B估计观看比赛不低于4 场的学生约为360 人C估计观看比赛不

2、低于4 场的学生约为720 人D估计观看比赛场数的众数为24甲、乙两个元件构成一并联电路，设E“甲元件故障”，F“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为（）AEFBE?C?DEF5若 a，b R，i 为虚数单位，且（a+i）ib+i，则（）Aa1，b 1Ba 1，b1Ca1，b 1Da 1，b 16小波一星期的总开支分布图如图1 所示，一星期的食品开支如图2 所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A30%B10%C3%D不能确定7设 A、B 是两个概率大于0 的随机事件，则下列论述正确的是（）A事件 A?B，则 P（A）P（B）B若 A 和 B 互斥，则A 和 B 一定相互独立C若

3、A 和 B 相互独立，则A 和 B 一定不互斥DP（A）+P（B）18设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 bcosC+ccosBasinA，则 ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定9已知向量?，?是两个不共线的向量，且向量m?-3?与?+（2 m）?共线，则实数m的值为（）A 1 或 3B?C 1 或 4D3 或 4二、填空题：本大题共6 个小题，每小题4 分，共 24 分.10 i 是虚数单位，复数6+7?1+2?=11某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的

4、样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生12将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y 则事件“x+y3”的概率为13在三角形ABC 中，角 A，B，C 所对应的长分别为a，b，c，若 a 2，B=?6，c2?，则 b14已知?，?是夹角为23?的两个单位向量，?=?-2?，?=k?+?，若?=0，则实数 k 的值为15如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD 120，ABAD 1若点 E 为边 CD 上的动点，则?

5、的最小值为三、解答题：本大题共5 小题，共49 分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤16随机观测生产某种零件的某工厂25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25，3030.12（30，3550.20（35，4080.32（40，45n1f1（45，50n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和 f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频

6、率分布直方图，求在该厂任取4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，35的概率17在一次猜灯谜活动中，共有20 道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12 个，乙同学猜对了8 个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率18在 ABC 中的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 B30，b=?，c2，解这个三角形19已知?=（2，1），?=（1，7），?=（5，1），设 C 是直线 OP 上的一点（其中 O 为坐标原点）（1）求使?取到最小值时的?；（2）根据（1）中求出的点C，求 cosACB2

7、0设 z1是虚数，z2 z1+1?1是实数，且1z2l（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若=1-?11+?1，求证 为纯虚数；（3）求 z22的最小值参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果?，?是两个单位向量，则?与?一定（）A相等B平行C方向相同D长度相等【分析】根据?，?是两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案解：因为?，?是两个单位向量；只能得到其模长相等，其他没法确定；故选：D2若复数z（x21）+（x1）i 为纯虚数，则实数x 的值为（）A 1B0C1D 1 或 1【分析】复数z（x21）+（x1）i 为纯虚数

8、，复数的实部为0，虚部不等于0，求解即可解：由复数z（x21）+（x1）i 为纯虚数，?-?=?-?可得 x 1故选：A3在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000 名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%从表中可以得出正确的结论为（）A表中 m 的数值为 8B估计观看比赛不低于4 场的学生约为360 人C估计观看比赛不低于4 场的学生约为720 人D估计观看比赛场数的众数为2【分析】由频率分布表的性质，求出m 12；先由频率分布表求出观看

9、比赛不低于4 场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于4 场的学生约为360 人；出现频率最高的为 3解：由频率分布表的性质，得：m100810202616 6212，故 A 错误；观看比赛不低于4 场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%36%，估计观看比赛不低于4 场的学生约为：100036%360 人，故 B 正确，C 错误；出现频率最高的为3故 D 错误；故选：B4甲、乙两个元件构成一并联电路，设E“甲元件故障”，F“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为（）AEFBE?C?DEF【分析】由并联电路性质得：电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障解：甲、乙两个元件构成一并联电路

10、，设E“甲元件故障”，F“乙元件故障“，则电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障，表示电路故障的事件为E F故选：D5若 a，b R，i 为虚数单位，且（a+i）ib+i，则（）Aa1，b 1Ba 1，b1Ca1，b 1Da 1，b 1【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b 的值解：（a+i）i b+i，ai1b+i，a1，b 1，故选：C6小波一星期的总开支分布图如图1 所示，一星期的食品开支如图2 所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A30%B10%C3%D不能确定【分析】计算鸡蛋占食品开支的百分

11、比，利用一星期的食品开支占总开支的百分比，即可求得一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比解：根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为3030+40+100+80+50=?%，一星期的食品开支占总开支的百分比为30%，一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为30%10%3%故选：C7设 A、B 是两个概率大于0 的随机事件，则下列论述正确的是（）A事件 A?B，则 P（A）P（B）B若 A 和 B 互斥，则A 和 B 一定相互独立C若 A 和 B 相互独立，则A 和 B 一定不互斥DP（A）+P（B）1【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概型与性质进行判断解：若事件B 包含事件A

12、，则 P（A）P（B），故 A 错误；若事件 A、B 互斥，则P（AB）0，若事件 A、B 相互独立，则P（AB）P（A）P（B）0，故 B 错误，C 正确；若事件 A，B 相互独立，且P（A）12，P（B）12，则 P（A）+P（B）1，故 D 错误故选：C8设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 bcosC+ccosBasinA，则 ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosBsinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA 1，可得 A=?2，由此可得 ABC 的形状解：A

13、BC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，bcosC+ccosBasinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosBsinAsinA，即 sin（B+C）sinAsinA，可得 sinA1，故 A=?2，故三角形为直角三角形，故选：B9已知向量?，?是两个不共线的向量，且向量m?-3?与?+（2 m）?共线，则实数m的值为（）A 1 或 3B?C 1 或 4D3 或 4【分析】利用向量共线定理即可得出解：向量m?-3?与?+（2 m）?共线，存在实数k 使得：m?-3?=k?+（2m）?，化为：（mk）?+3k（2m）?=?，向量?，?是两个不共线的向量，?-?=?-?-?

14、(?-?)=?，解得 m3 或 1故选：A二、填空题：本大题共6 个小题，每小题4 分，共 24 分.10 i 是虚数单位，复数6+7?1+2?=4i【分析】根据复数的运算法则计算即可解：6+7?1+2?=(6+7?)(1-2?)(1+2?)(1-2?)=6+14+7?-12?5=20-5?5=4 i，故答案为：4i11某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生【分析】先求出一年级本科生人数所占总

15、本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为44+5+5+6=15，故应从一年级本科生中抽取名学生数为30015=60，故答案为：6012将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y 则事件“x+y3”的概率为112【分析】基本事件总数n6636，利用列举法求出事件“x+y3”包含的基本事件（x，y）有 3 个，由此能求出事件“x+y3”的概率解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数

16、为x，第二次出现的点数为y基本事件总数n6636，事件“x+y3”包含的基本事件（x，y）有：（1，1），（1，2），（2，1），共 3 个，则事件“x+y3”的概率为p=336=112故答案为：11213在三角形ABC 中，角 A，B，C 所对应的长分别为a，b，c，若 a 2，B=?6，c2?，则 b2【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b 即可解：由余弦定理可知b2a2+c22accosB22+(?)?-2 22?32=4因为 b 是三角形的边长，所以b2故答案为：214已知?，?是夹角为23?的两个单位向量，?=?-2?，?=k?+?，若?=0，则实数 k 的值为54【分

17、析】利用向量的数量积公式求出?；利用向量的运算律求出?，列出方程求出 k解：?，?是夹角为23?的两个单位向量?=-12?=(?-?)?(?+?)=?-?+?-?=?-52?=?-52=?解得?=54故答案为：5415如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD 120，ABAD 1若点 E 为边 CD 上的动点，则?的最小值为2116【分析】可建立坐标系，然后根据给的条件求出A，B，E 的坐标，再设E（0，m），则可将?整理成 m 的函数，然后求其最小值解：因为ABBC，AD CD，BAD 120，ABAD 1故如图，建立如图所示的坐标系则A（1，0），连接AC，易证 Rt A

18、CD RtACB，DAC DAB 60 BAx 60 ，?=?=?xB 1+1?=32，?=?=32?(32，32)设 E（0，m），（?）?=(-?，?)，?=(-32，?-32)?=32+?-32?=（m-34）2+2116故当?=34时，?的最小值为2116故答案为：2116三、解答题：本大题共5 小题，共49 分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤16随机观测生产某种零件的某工厂25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据

19、上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25，3030.12（30，3550.20（35，4080.32（40，45n1f1（45，50n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和 f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，35的概率【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和 f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率解：（1）（40，45的频数 n17，频率 f10.28；（45，50的频数 n22，

20、频率 f2 0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4 人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35的概率为525=15，P（A）=?(?-15)?=0.4096，P（?）1 P（A）10，40960.5904，在该厂任取4 人，至少有1 人的日加工零件数落在区间（30，35的概率 0.590417在一次猜灯谜活动中，共有20 道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12 个，乙同学猜对了8 个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2

21、）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率【分析】（1）设事件 A 表示“甲猜对”，事件 B 表示“乙猜对”，则 P（A）=1220=35，P（B）=820=25，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A?+?）P（A）P（?）+P（?）P（B），由此能求出结果（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P（?）P（?）P（?）由此能求出结果解：（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则 P（A）=1220=35，P（B）=820=25，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A?+?）P（A）P（?）+P（?）P（B）=35(?-25)+（1-35）25=1325（2）任选

22、一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：P（?）P（?）P（?）（1-35）（1-25）=62518在 ABC 中的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 B30，b=?，c2，解这个三角形【分析】根据正弦定理求得C，进而得到A，根据余弦定理求得a 即可解：由正弦定理可得sinC=?sinB=?12=22，因为 bc，则 C135或 45，所以 A15或 105；根据余弦定理可得cosB=?2+?2-?22?，即 32=?2+4-24?，解得a=?-1（?+1 舍），故该三角形a=?-1，A15，C135或 a=?-1，A105，C4519已知?=（2，1），?=（1，7），?=（5，1）

23、，设 C 是直线 OP 上的一点（其中 O 为坐标原点）（1）求使?取到最小值时的?；（2）根据（1）中求出的点C，求 cosACB【分析】（1）根据题意设点?(?，12?)，从而将?数量积的坐标表示求出来，可得一个关于x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；（2）根据（1）中的点C，可以求得?，?的坐标，利用向量的数量积即可求得cosACB 的值解：（1）?=(?，?)，则直线OP 的方程为y=12?，C 是直线 OP 上的一点，则设点?(?，12?)，?=?-?=(?-?，?-12?)，?=?-?=(?-?，?-12?)，?=（1x）（5x）+（7-12?）（1-12?）=54?

24、-?+?=54(?-?)?-?，当 x4 时，?取到最小值，此时C（4，2），?=(?，?)；（2）由（1）可知，C（4，2），?=(-?，?)，?=(?，-?)，?=?|?|?|?|=-3-5(-3)2+5212+(-1)2=-41717，故 cosACB=-4171720设 z1是虚数，z2 z1+1?1是实数，且1z2l（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若=1-?11+?1，求证 为纯虚数；（3）求 z22的最小值【分析】（1）设 z1a+bi，（a，b 一、选择题，且 b0），则 z2（a+?2+?2）+（b-?2+?2）i，因为z2是实数，所以a2+b21，即|z1

25、|1，且 z22a，由 1z21，z1的实部的取值范围为-12，12（2）=1-?11+?1=1-?-?1+?+?=1-?2-?2-2?(1+?)2+?2=-?+1，由此证明=1-?11+?1是纯虚数（3）z2 2（a+?2+?2）+（b-?2+?2）i（-?+1）22（a+1）+2?+1-3，a+1 12，32，利用基本不等式即可得出答案解：（1）设 z1a+bi，（a，b R，且 b0），则 z2z1+1?1=（a+bi）+1?+?=（a+bi）+?-?(?+?)(?-?)=（a+bi）+?-?2+?2=（a+?2+?2）+（b-?2+?2）i，因为 z2是实数，所以 b-?2+?2=0，

26、即 b（?2+?2-1?2+?2）0，因为 b0，所以 a2+b21，即|z1|1，且 z2 2a，由 1z21，得 1 2a1，解得-12a12，即 z1的实部的取值范围为-12，12（2）证明：a2+b21，=1-?11+?1=1-?-?1+?+?=1-?2-?2-2?(1+?)2+?2=-?+1，因为-12a12，b0，所以 =1-?11+?1为纯虚数（3）z2 2（a+?2+?2）+（b-?2+?2）i（-?+1）2，2a+（b b）i+?2(?+1)22a+1-?2(?+1)22a+1-?+1=2?(?+1)+(1-?)?+1=2?2+?+1?+11+2?2?+11+2(?+1)2-4?-2?+11+2(?+1)2-4(?+1)+2?+11+2（a+1）4+2?+12（a+1）+2?+1-3，a+1 12，32，当 2（a+1）=2?+1时，即 a 0 时，z22最小 1