2020届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页2020届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测数学（文）试题一、单选题1已知集合20,1Ax x xBy yx，则ABI（）A1,2B0,2C0,2D0,【答案】B【解析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【详解】解：20|02Ax x xxx，1|0By yxy y；|020,2ABxxI故选：B【点睛】考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集及其运算，属于基础题2在复平面内，复数2iiz（i为虚数单位）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】化简复数为abi(a、)bR的形式，可以确定z对应的点位于的象限【详解】解：复数222(

2、2)(2)12ii iziiiii故复数 z 对应的坐标为1,2位于第三象限故选：C【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题3已知如表所示数据的回归直线方程为$56yx，则实数m的值为（）x23456第 2 页 共 20 页y1420m3237A25 B 26 C27 D28【答案】C【解析】根据样本中心点(,)x y一定在回归直线方程上，列出关于m的方程，解之即可得到本题答案.【详解】由已知数据计算可得，23456142032371034,555mmxy，因为样本中心点1034,5m一定在回归直线方程上，所以1035465m，解得27m故选：C【点睛】本题主

3、要考查线性回归方程的应用，属基础题.4已知角的终边在直线43yx上，则tan4（）A17B17C7D7【答案】B【解析】由题，得4tan3，然后套用两角差的正切公式，即可得到本题答案.【详解】因为角的终边在直线43yx上，所以4tan3，则1tan1tan41tan7.故选：B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数，以及利用两角差的正切公式求值，考查学生的运算求解能力.5已知0.340.321log 3,log,2abc，则abc，的大小关系是（）第 3 页 共 20 页AabcB acbCbacDbca【答案】C【解析】根据函数的单调性，利用,a b c与中间值0，1 的大小关系，即可作出正确

4、的判断.【详解】因为4440log 1log 3log41，0.30.3log2log10，0.3011122，所以bac故选：C【点睛】本题主要考查判断对数，指数幂的大小关系，利用函数的单调性及中间值，是解决此类题目的关键.6达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：6,6,10.392ABcm BCcm ACcm（其中30.8662）.根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心

5、角大约等于（）A3B4C2D23【答案】A【解析】由已知6ABBC，设2ABC 可得5.196sin0.8667于是可得，进而得出结论【详解】解：依题意6ABBC，设2ABC第 4 页 共 20 页则5.1963sin0.866723，223设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为则2，3故选：A【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知向量(2,3),(3,)abmrr，且abrr则向量ar在abrr方向上的投影为（）A262B262C13D13【答案】A【解析】由题，可先算得m的值，然后套用向量的投影公式，即可得到

6、本题答案.【详解】因为abrr，所以630a bmrr，解得2m，所以(3,2),(2,3),(5,1)baabrrrr，则()13,|26aababrrrrr，所以ar在abrr方向上的投影为()13262|26aababrrrrr故选：A【点睛】本题主要考查平面向量垂直的等价条件，以及平面向量的投影公式，考查学生的运算求解能力.8设xy，满足约束条件：2120yxyxy，则zxy的最小值为（）A0B13C1D3【答案】C 第 5 页 共 20 页【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求得zxy的最小值.【详解】由zxy,得y=x+z，作出不等式组对应的可行域（阴影

7、部分），平移直线y=x+z，由平移可知当直线y=x+z经过点 A 时，直线y=x+z的截距最小，此时z 取得最小值.由220yxy，解得(1,2)A，将 A 的坐标代入zxy，得1z，即目标函数zxy的最小值为1.故选：C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合图形并利用目标函数的几何意义，是解决此类题目的关键.9函数()yf x在区间,22上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（）A()ln sinf xxB()ln cosf xxC()sin tanf xxD()tan cosf xx【答案】B 第 6 页 共 20 页【解析】根据特殊值及函数的单调性判断即可；【详解】解：当0 x时，

8、sin00，ln sin0无意义，故排除A；又cos01，则(0)tan cos0tan10f，故排除D；对于 C，当0,2x时，tan0 x，所以()sin tanf xx不单调，故排除C；故选：B【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.10下列结论中正确的个数是（）在ABCV中，“coscosAB”是“BA”的必要不充分条件；若0a，11g1gaa的最小值为2；夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱；数列nb的通项公式为nnbq，则数列的前n项和11nnqqSq（）A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】由三角函数的单调性以及充分条件和

9、必要条件的定义进行判断，举反例判断，根据圆柱的定义判断，由等比数列的性质与求和公式判断.【详解】对于，在ABCV中，coscosAB，得AB，反之也成立，即coscosAB是AB的充要条件，所以不正确；对于，当(0,1)a时，lg0a，所以11ga01ga，所以0a，1lglgaa最小值为 2，不正确，所以不正确；对于，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱，不正确，只有当截面平行于底面时是圆柱，所以不正确；对于，数列nb的通项公式为nnbq，当1q时，数列nb前n项和11nnqqSq，1q时，nSn，所以不正确.第 7 页 共 20 页故选：A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，其中涉及到对

10、三角函数单调性，基本不等式，立体几何的相关概念，等比数列的求和公式的考查.11设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为12,FF若在双曲线的右支上存在一点P，使得122PFPF，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A(2,3)B(1,3C 2,2)D(2,3【答案】B【解析】先利用双曲线的定义，算得22PFa，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，又由双曲线离心率大于1，即可得到本题答案.【详解】由题，得1222222PFPFPFPFPFa，又22PFaca，所以3cea,，另外，因为双曲线离心率1e，所以(1,3e.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线离心率的相关问题

11、，考查学生的分析问题和解决问题能力.12已知定义在R上的函数fx的导数为fx，满足fxfx且对任意0,2x，有()cos()sin0fxxf xx，若2 3,2,23643afbfcf则（）AabcBbcaC acbDcba【答案】A【解析】构造函数()(),0,cos2f xg xxx，由题，可得函数g x在0,2上单调递增，且函数fx为偶函数，又6ag，4bg，3cg，所以643ggg，即abc.【详解】第 8 页 共 20 页构造函数()()cosf xg xx，0,2x，2()cos()sin()0(cos)fxxf xxg xx，函数g x在0,2上单调递增，Q函数fx满足fxfx函

12、数fx为偶函数，ff2 32 366f363663cos62afg，ff442f2f4442cos42bg，ff332f133cos23cg，06432Q，且函数g x在 0,2上单调递增，643ggg，即abc，故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用函数的单调性判断大小，涉及到构造函数.二、填空题13抛物线214yx的焦准距是 _.【答案】2【解析】抛物线化为标准方程，即可求得抛物线焦点到准线的距离.【详解】解：抛物线214yx化为标准方程为24xy.24p.第 9 页 共 20 页2p.抛物线的焦准距是2.故答案为：2.【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题

13、关键是理解焦准距的含义，属于基础题.14函数31 log(3),0()3,0 xxxf xx，则3(6)log 7ff_【答案】10【解析】分别把变量代入到对应的函数解析式中，结合对数的运算性质，即可得到本题答案【详解】由题，得3log733(6)log 71log 9312710ff故答案为：10【点睛】本题主要考查利用分段函数求值，属基础题.15 在ABCV中，内角ABC，的对边分别为abc，已知12,1,cos4cbC 则ABCV的中线AD的长为_【答案】62【解析】由余弦定理求出a的值，再利用余弦定理求出AD的值【详解】如图所示，在ABCV中，2c，1b，1cos4C，由余弦定理得，2

14、222coscababC，即2141214aa，整理得2260aa，解得2a或32a（舍去）；所以112CDa，在ACDV中，由余弦定理得，222131121 142AD，第 10 页 共 20 页解得62AD，所以ABCV的中线AD的长为62故答案为：62【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形，属基础题.16 已知在三棱锥ABCD中，6AB，2 6AD，2 10CBCD，2 15BD 且平面ABD平面BCD，则三棱锥ABCD外接球的表面积为_【答案】64【解析】可得ABD是以DB为斜边的直角三角形，ADB的外心为斜边DB的中点M，设DBC的外心为O，过M作面ADB的垂线，过O作面BDC的垂

15、线，两垂线的交点即为球心由面ABD面DBC，可得O即为球心，DBC的外接圆半径即为球半径R求得DBC的外接圆半径即可【详解】222DBADAB，ABD是以DB为斜边的直角三角形，故ADB的外心为斜边DB的中点M，设DBC的外心为O，过M作面ADB的垂线，过O作面BDC的垂线，两垂线的交点即为球心面ABD面DBC，O即为球心，DBC的外接圆半径即为球半径R，由题，得等腰三角形DBC底边上的高为40155h，22()15hRR，解得4R，则三棱锥ABCD外接球的表面积为2464SR故答案为：64【点睛】第 11 页 共 20 页本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，确定球心的位置以及求得球的半径，

16、是解决此类题目的关键.三、解答题17 设等差数列na的公差为1d d，前n项和为nS，等比数列nb的公比为q 已知11210,3,23,100ba bqd S（1）求数列na，nb的通项公式；（2）记nnncab，求数列nc的前n项和nT【答案】（1）21nan，*nN；13nnb，*nN（2）(1)31nnTn.【解析】（1）先根据已知条件列出关于1a与d的方程组，解出1a与d的值，即可得到数列na的通项公式，然后计算出1b与q的值，即可得到数列nb的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算岀数列nc的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和nT【详解】（1）由题，得1012110451

17、003Sadbbq，将11ba，32qd代入上式，可得1129202ada d，解得1929ad（舍去），或112ad数列na的通项公式为12(1)21nann，*nN111ba，332322qd，数列nb的通项公式为111 33nnnb，*nN（2）由（1）知，1(21)3nnnncabn，211231 13353(21)3nnnTccccnL2131333(23)3(21)3nnnTnnL第 12 页 共 20 页，得212123232 3(21)3nnnTnL2112333(21)3nnnL3312(21)313nnn3312(21)313nnn(22)32nn，(1)31nnTn【点睛

18、】本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，以及用错位相减法求和，考查学生的运算求解能力.18 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，90BADABC，112ABBCAD，PAD为等边三角形，且平面PAD平面ABCD，设E为PD的中点（1）求证：/CE平面PAB；（2）求点D到平面ACE的距离【答案】（1）详见解析；（2）2 55.【解析】（1）设F为PA的中点，连结,EF BF，根据条件可证得四边形BCEF是平行四边形，得/CE BF，从而可得到/CE平面PAB；（2）利用等体积法，即由EADCDACEVV，可得到本题答案.【详解】第 13 页 共 20 页（1）设F为PA的中

19、点，连结,EF BF，EQ为PD的中点，/EFAD且12EFAD，又/BC ADQ且12BCAD，/BEFC且 EFBC，四边形BCEF是平行四边形，/CE BF，又CEQ平面PAB，BE平面PAB，/CE平面PAB；（2）由（1）得CEBF，Q平面PAD平面ABCD，且平面PAD I平面ABCDAD，ABAD，AB面PAD，又PA面PAD，ABPA，在Rt PABV中，11122AFAPAD，1AB，2,2BFCEBF，在ACE中2AC，3AE，2CE，154ACES，设D到平面ACE的距离为h，由EADCDACEVV，得131323ADCACESSh，所以2 55h【点睛】本题主要考查线面

20、平行的判定以及利用等体积法求点到面的距离，考查学生的空间想象能力，运算求解能力.19“让几千万农村贫困人口生活好起来，是我心中的牵挂”习近平总书记多次对精第 14 页 共 20 页准扶贫、精准脱贫作出重要指示，某大学生村官为帮助某扶贫户脱贫，帮助其种植某品种金桔，并利用互联网进行网络销售，为了更好销售，现从金桔树上随机摘下100个果实进行测重，每个金桔质量分布在区间20,70（单位：克），并且依据质量数据作出其频率分布直方图，如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在30,40，40,50的金桔中随机抽取5 个，再从这5 个金桔中随机抽2个，求这2 个金桔质量至少有一个不小于40 克的概率；（

21、2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率根据经验，该户的金桔种植地上大约有100000 个金桔待出售，某电商提出两种收购方案：A方案：所有金桔均以4 元/千克收购；B方案：低于40 克的金桔以2 元/千克收购，其余的以5 元/千克收购；请你通过计算为该户选择收益较好的方案【答案】（1）910；（2）选B方案好.【解析】（1）根据分层抽样找出金桔个数，然后找出所有事件，以及满足题目要求的事件，套用古典概型的概率公式，即可得到本题答案.（2）根据两个不同的方案，计算出收益，判断最优方案【详解】解：（1）由题，得金桔质量在30,40和40,50的比例为 2:3，所以从质量落在3

22、0,40，40,50的金桔中分别取2个和 3 个，记30,40金桔中取的2 个设为,a b，40,50金桔中取的3 个设为,A B C，有,ab aA aB aC bA bB bC AB AC BC，共 10 个事件，满足题目要求的有，,aA aB aC bA bB bC AB AC BC，共 9 个事件，所以 2 个金桔质量至少有一个不小于40克的概率为910；（2）方案B好，理由如下：由频率直方图可知:金桔质量在各个区间的频率依次为0.1，0.2，0.3，0.25，0.15各个区间的金桔个数为：10000，20000，30000，25000，15000，第 15 页 共 20 页若按A方案

23、销售：(10000252000035300004525000551500065)4100018600；若按B方案销售：低于 40 克的金桔有(0.10.2)10000030000 个，不低于40 克的金桔有70000 个，总收益有(10000252000035)10002(300004525000551500065)1000520400，故选B方案好【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，分层抽样以及古典概型的求法，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力.20已知0,2P，点,A B分别为椭圆2222:10 xyEabab的左、右顶点，直线BP交E于另一点,QABP为等腰直角三角形，

24、且:3:2PQQB.（）求椭圆E的方程；（）设过点P的直线l与椭圆E交于,M N两点，总使得MON为锐角，求直线l斜率的取值范围.【答案】（）214xy；（）332,222.【解析】（）由题意可知：由32PQQBu uu ruu u r，求得Q点坐标，即可求得椭圆E的方程；（）设直线2ykx，代入椭圆方程，由韦达定理，由，由MON为锐角，则0OM ONuuuu r uuu rg，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l斜率的取值范围【详解】解：（）根据题意ABP是等腰直角三角形2a，2 0B,，设,QQQ xy由:3:2PQQB得32PQQBuuu ru uu r第 16 页 共 20 页则65

25、45QQxy代入椭圆方程得21b椭圆E的方程为214xy（）根据题意，直线l的斜率存在，可设方程为2ykx设1122,Mx yN xy由22214ykxxy得221416120kxkx由直线l与椭圆E有两个不同的交点则即22164 12140kk得234k又12212216141214kxxkx xkQMON为锐角则cos0MON121200OM ONx xy yu uu u r uuu r2121212121212221240 x xy yx xkxkxkx xk xxQ即222121612401414kkkkk24k由得322k或322k故直线l斜率可取值范围是332,222【点睛】本题考

26、查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量第 17 页 共 20 页积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题21已知函数32()(,)f xxaxbxc a b cR的图象过原点，且在原点处的切线与直线0 x 垂直2()xg xaxxxe（e为自然对数的底数）（1）讨论fx的单调性；（2）若对任意的0 x，总有fxg xkx成立，求实数k的取值范围【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）2,).【解析】（1）首先由题可得00bc，由此得到3222(),()3233af xxaxfxxaxx x，再分0a，0a及0a讨论得出结论；（2）所求问题等价于21xkx

27、e在(0,)x上恒成立，构造函数2()1(0)xh xxex，只需求出函数h x在0,)上的最大值即可【详解】（1）依题意，(0)0f，即0c=，故2()32fxxaxb，由在原点处的切线与直线0 x垂直可知，(0)0f，则0b，3222(),()323()3af xxaxfxxaxx x，当0a时，0fx在xR上恒成立，此时函数fx在R上单调递增；当0a时，由0fx解得0 x或23ax，由0fx解得203ax，此时函数fx在2,3a，(0,)上单调递增，在2,03a上单调递减；当0a时，由0fx解得23ax或0 x，()0fx解得203ax，此时函数()f x在(,0)，2,3a上单调递增，

28、在20,3a上单调递减；（2）由（1）可知，3()()xf xg xxxxe，则3xxxxekx 对任意(0,)x上恒成立，0 xQ，21xkxe在(0,)x上恒成立，设2()1(0)xh xxex，则()2xh xxe，第 18 页 共 20 页令()2xxxe，则()2xxe，由()0 x解得ln 2x，易知当(0,ln 2)x时，()0 x，()h x单调递增，当x(ln 2,)时，0 x，h x单调递减，()(ln 2)2ln 220h xh,，h x在(0,)上单调递减，()(0)2h xh，2k-，即实数k的取值范围为 2,)【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性，以及利

29、用导数研究不等式恒成立问题，考查学生的逻辑思维和推理论证能力，体现了转化思想和分类讨论思想.22在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为12 cos12 sinxy（为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l的极坐标方程为66，射线2l的极坐标方程为2.（）写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线；（）若射线1l与曲线C交于OA、两点，射线2l与曲线C交于OB、两点，求ABO面积的取值范围.【答案】（）2cos2sinrqq，曲线C是以1,1为圆心，2为半径的圆；（）1,2.【解析】（）由曲线C的参数方程能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程（）令12cos

30、2sinOA，22cos2sin22OB，则1212S，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围；【详解】第 19 页 共 20 页解：（）由12 cos12 sinxy（为参数）化为普通方程为22112xy22cos1sin12，整理得2cos2sinrqq曲线C是以1,1为圆心，2为半径的圆.（）令12cos2sinOA22cos2sin2sin2cos22OB221212 cossin2cos22S66Q，233，1cos212，12cos22，ABO面积的取值范围为1,2【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程

31、、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题23设函数()2sin|3|1|f xxaa.（1）若62f，求实数a的取值范围；（2）证明：xR，1()|3|1f xaa恒成立.【答案】（1）,04,U（2）证明见解析【解析】（1）将不等式62f化为|3|1|4aa，利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）将要证明的不等式转化为证xR，12sin|1|1xaa恒成立，由2sin x的最小值为2，得到只要证12|1|1aa，即证1|1|12aa，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.【详解】第 20 页 共 20 页（1）62f，2|3|1|6aa，即|3|1|4aa当3a时，不等式化为3143aaa，4a当13a时，不等式化为(3)(1)413aaa，此时a无解当1a时，不等式化为(3)(1)41aaa，0a综上，原不等式的解集为,04,U（2）要证xR，1()|3|1f xaa恒成立即证xR，12sin|1|1xaa恒成立2sin x的最小值为 2，只需证12|1|1aa，即证1|1|12aa又11|1|111aaaa111|2|2aaaaaa1|1|12aa成立，原题得证【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.