2020届福建省厦门市高中毕业班线上质量检查数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 23 页2020届福建省厦门市高中毕业班线上质量检查数学（文）试题一、单选题1已知集合1,0,1,2A，|ln(1)Bx yx，则ABI（）A1,0,1B1,0C1,2D2【答案】D【解析】先化简集合B，再与集合A 求交集.【详解】因为|ln(1)|1)Bx yxx x，又因为1,0,1,2A，所以ABI2.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2椭圆C：2222xy的焦点坐标为（）A(1,0)，(1,0)B(0,1)，(0,1)C3,0，3,0D0,3，0,3【答案】B【解析】先化为标准方程2212yx，求得22222,1,1abca

2、b，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C：2222xy，所以标准方程为2212yx，解得22222,1,1abcab，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)，(0,1).第 2 页 共 23 页故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3 记nS为等差数列na的前n项和，且40a，99S，则数列na的公差是（）A2 B 1 C 1 D 2【答案】C【解析】根据40a，99S，即130ad，19369ad联立求解.【详解】设等差数列na的公差为d，因为40a，99S，所以130ad，19369ad，解得 d=-1.故选：C【点睛】本题主要考查等

3、差数列的通项公式和前n 项和，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4 周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽弦图及注文.弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实.由 2 勾 股+（股勾）2=4 朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2.若图中勾股形的勾股比为1:2，向弦图内随机抛掷100 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据：21.41，31.73）A2 B 4 C6 D8【答案】C【解析】设勾为 a，则股为2a，求得大正方形的边长，面积，小正方形的边长，面积，

4、再利用几何概型求得概率即可.第 3 页 共 23 页【详解】设勾为 a，则股为2a，大正方形的边长为3a，则其面积为23a，小正方形的边长为21 a，则其面积为232 2 a，所以落在黄色图形内的概率为：2232232 233apa，落在黄色图形内的图钉颗数大约32 210063.故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.5已知角的终边经过点(3,4)，则tan2（）A83B43C83D247【答案】D【解析】根据角的终边经过点(3,4)，利用三角函数的定义求得4tan3，再利用两角和与差的正切公式求解.【详解】因为角的终边经过点(3,4)

5、，所以4tan3，所以22tan24tan21 tan7.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的定义及两角和与差的正切公式，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.6，是两个平面，l，m是两条直线，且/l，m，则下列命题中正确的是（）A若/，则/lmB若/，则lm第 4 页 共 23 页C若，则/lmD若，则lm【答案】B【解析】利用面面平行和面面垂直的性质定理判断.【详解】若/，因为m，所以m则lm，又因为/l，所以lm，故 B 正确，A 错误.若，因为m，/m或m，故 C，D 错误故选：B【点睛】本题主要考查面面平行和面面垂直的性质定理，还考查了空间想象，理解辨析的能力，属于基

6、础题.7在菱形ABCD中，4AB，3ABC，E为CD的中点，则AC AEuuu r uuu r（）A10 B 12 C16 D36【答案】B【解析】利用向量的中点坐标公式，将ACAEuuu ruu u r，转化为12ACADACu uu ruuu ruuu r，再利用数量积的运算律和公式求解.【详解】在菱形ABCD中，4AB，3ABC，E为CD的中点，则222111cos122223AC AEACADACAC ADACACACuuu r uuu ruuu ruu u ruu u ru uu r uu u ruu u ru uu ruuu r.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应

7、用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8已知数列na满足11a，1211nnaaaaL（2n），则7a（）A31 B 32 C63 D64【答案】D 第 5 页 共 23 页【解析】根据2n时，由1211nnaaaaL，得11221nnaaaaL两式相减得：12nnaa，得到数列na是等比数列，再利用通项公式求解.【详解】当2n时，由1211nnaaaaL，得11221nnaaaaL，两式相减得：12nnaa，又因为11a，所以数列na时等比数列.所以67164aaq.故选：D【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9已知25log 5log

8、2a，25log 5 log 2b，25log 5log 2c，则（）AbacBabcCbcaDcba【答案】A【解析】根据2225552loglog 5log 83,0loglog 24log 511，得24a，25221log 5 log 2log 51log 5b，222225log 5log 5log 44log 2c，再比较.【详解】因为2225552loglog 5log 83,0loglog 24log 511，所以252log 5log 24，所以24a，又因为25221log 5 log 2log 51log 5b，222225log 5log 5log 44log 2c，所

9、以bac.第 6 页 共 23 页故选：A【点睛】本题主要考查对数的换底公式和对数比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10 在正三棱柱111ABCA B C中，11ABAA，D，E，F，G分别为AC，11AC，1AA，1CC的中点，P是线段DF上的一点.有下列三个结论：/BP平面1B EG；BPDG；三棱锥1PB EG的体积是定值.其中所有正确结论的编号是（）ABCD【答案】D【解析】充分利用正三棱柱的几何特征，面面平行的性质定理和线面垂直的判断定理以及等体积法求解.【详解】如图所示：因为1/B EBD，所以1/B E平面 BDF.又因为 DF/EG，所以 EG/平面 BDF，1B

10、EEGE，所以平面1/B EG平面 BDF，所以/BP平面1B EG，故 正确.因为222DFDGFG，所以GDDF，又因为BDGD，BDDFDI，第 7 页 共 23 页所以GD平面 BDF，所以BPDG，故 正确.111111223333222224PB EGBPEGPEGVVSB E，故 正确.故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.11已知双曲线C：22221xyab（20ba）的左，右焦点分别为1F，2F，抛物线E：22ypx（0p）的焦点与2F重合，点P是C与E的交点，且125cos7PF F，则C的离心率是（）A2 B6C3

11、 D2 3【答案】C【解析】根据抛物线的定义和125cos7PF F，得到215|7PFPQPF，再根据双曲线的定义122PFPFa，求得17PFa，25PFa，然后用余弦定理求解.【详解】如图所示：过P作抛物线E的准线的垂线PQ，因为125cos7PF F，第 8 页 共 23 页所以215|7PFPQPF，又122PFPFa，17PFa，25PFa在12PF F中，由余弦定理得2222112112122cosPFPFF FPFF FPF F即2222549420aacac，22650aacc(3)(2)0acac，3e或2e又2ba，224ba，即225ca，5e.故选：C【点睛】本题主要

12、考查抛物线的定义和双曲线的定义及几何性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12函数()sin(1)1f xxx，若()()0f xaxb（0b）对Rx恒成立，则ab（）A 1 B 0 C1 D2【答案】A【解析】由()sin(1)1f xxx，求导()1cos(1)0fxx，可知()f x 在 R上是增函数，而当10 x时，()0f x，当10 x时，()0f x，根据()()0f xaxb，对Rx恒成立，则必有10ab成立.【详解】因为()sin(1)1f xxx，所以()1cos(1)0fxx，所以()f x 在 R 上是增函数，当10 x时，()0f x，第 9 页

13、共 23 页当10 x时，()0f x，当10 x时，()0f x，因为()()0f xaxb，对Rx恒成立，所以10ab，所以1ab.故选：A【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13复数(2)zi i（i为虚数单位），则z的虚部是 _.【答案】2【解析】先化简复数(2)12zi ii，再由复数的概念求解.【详解】因为复数(2)12zi ii所以 z 的虚部是2 故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解和理解辨析的能力，属于基础题.14若x，y满足约束条件0,2,0,xyxyy则3zx

14、y的最大值是 _.【答案】4【解析】根据x，y满足约束条件，画出可行域，平移3zxy所在的直线，找到最优点，将坐标代入求解.【详解】第 10 页 共 23 页因为x，y满足约束条件0,2,0,xyxyy所对应的可行域如图所示：平移3zxy所在的直线，找到最优点A（1，1），所以3zxy的最大值是4.故答案为：4【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.15 如图，函数()2sin()f xx（0，0）的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交()f x 的图象于点D，O（坐标原点）为ABD的重心，(,0)A，则点C的坐标为 _，(0)f_.【答案】

15、,023【解析】根据O（坐标原点）为ABD的重心，(,0)A，则有 d23OAAC，32AC，得到(,0)2C，同时，32AC是半个周期，可求得，再代入一个零点，求得即可.【详解】第 11 页 共 23 页因为O（坐标原点）为ABD的重心，(,0)A，所以23OAAC，所以32AC，所以(,0)2C.所以322T，23，因为23k，23k，所以22()2sin()33f xx.所以22(0)2sin(0)333f.故答案为：(1).,02(2).3【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16已知数列na满足312a，且1222nnaann（

16、*Nn），则na的最大值是 _.【答案】34【解析】根据题意有12122222121nnnnaannaann，两式相减的222434602nnnaannnn，则数列na的奇数项和偶数项都是递减数列，再根据3a求几项即可.【详解】根据题意得：12122222121nnnnaannaann，第 12 页 共 23 页所以222434602nnnaannnn，所以数列na的奇数项和偶数项都是递减数列，又因为312a，所以，1213,124aa，na的最大值是34.故答案为：34【点睛】本题主要考查数列的递推关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17ABC的内角A，B，C的对边分别

17、为a，b，c，已知7b，7coscos5cAaC.（1）求c；（2）若3B，点D在边BC上，且5AD，求ADC的面积.【答案】（1）5；（2）1534【解析】（1）由正弦定理将7coscos5cAaC，转化为7sinsincossincos5CCAAC，再利用两角和与差的三角函数转化为7sinsin()sin5CACB，再求解.（2）在ABC中，利用余弦定理求得边a，在ABD中，求得23ADC，3DC，再利用正弦定理求解.【详解】（1）7coscos5cAaC，第 13 页 共 23 页7sinsincossincos5CCAAC，7sinsincossincos5CACCA，7sinsin(

18、)sin5CACB，75cb，5c（2）如图所示:3B，22222cos2525cos3bacacBaa，25240aa，0a，8a.在ABD中，3B，ADAB，ABD是等边三角形，5BDAB，3ADB，23ADC，3DC，112153cos35sin2234ADCSDCADADC.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.18如图，四边形ABCD是边长为2 的菱形，BF，DE，CG都垂直于平面ABCD，且22 2CGBFED.（1）证明：/AE平面BCF；（2）若3DAB，求三棱锥DAEF的体积.第 14 页 共 23 页【答案】（1）

19、见解析；（2）33【解析】（1）法一由/AD BC，利用线面平行的判定定理，得到/AD面BCF，同理/ED面BCF，再由面面平行的判定定理得到面/AED面BCF即可.（2）法一：连接AC，BD交于点M，利用线面垂直的判定定理易得AC面BDF，ED面ABCD，BF面ABCD，/ED BF，又EDBF，EDBD，四边形EDBF为矩形，利用等体积法13DAEFA DEFDEFVVSAM求解.【详解】（1）法一/AD BC，AD面BCF，BC面BCF，/AD面BCF，ED平面ABCD，BF平面ABCD，/ED BF，又ED面BCF，BF面BCF，/ED面BCF，ADEDDI，面/AED面BCF，又AE

20、面AED，/AE面BCF.法二：取 CG 中点H，连接BH，EH，ED平面ABCD，CG平面ABCD，ED CHP，四边形EHCD为平行四边形，ED CD BAPP，四边形EHBA为平行四边形，/AE BH.HC平面ABCD，BF平面ABCD，/HC BF，B，C，H，F四点共面.BH面BCF.又AE面BCF，/AE面BCF.（2）法一：连接AC，BD交于点M，第 15 页 共 23 页ED面ABCD，AC面ABCD，EDAC.又ACBD，BDEDDI，AC面BDF.在等边ABD中，2BD，332AMAB，ED面ABCD，BF面ABCD，/ED BF，又EDBF，EDBD.四边形EDBF为矩形

21、，112DEFSDEEF.1333DAEFA DEFDEFVVSAM.法二：ED面ABCD，BF面ABCD，/ED BF，又ED面ADE，BF面ADE，/BF面ADE.取AD中点M，连接BM，ED面ABCD，BM面ABCD，EDBM，在等边ABD中，BMAD，又ADEDDI，BM面ADE，F到面ADE的距离即为3BM.又11 212ADES，第 16 页 共 23 页1333DAEFFADEADEVVSBM.【点睛】本题主要考查线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，还考查了数形结合、转化化归的思想和空间想象的能力，属于中档题.19凤梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100 多年.

22、龙眼干的级别按直径d的大小分为四个等级（如下表）.()d mm21d2124d2427d27d级别三级品二级品一级品特级品某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100 个龙眼干作为样本（直径分布在区间18,33），统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下：()d mm18,2121,2424,2727,3030,33频数1m29n7用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6 个，其中一级品有2 个.（1）求m、n的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；（2）已知样本中的100 个龙眼干约500 克，该农场有500 千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案A：以 60 元/千克

23、收购；方案B：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10 元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由.【答案】（1）1251mn，58%；（2）应选择方案B，理由见解析【解析】（1）根据题意，建立方程组129710074292mnn求解/第 17 页 共 23 页（2）农场选择方案A获得的收入为16050030000y（元），设农场选择方案B获得的收入为2y元，依题意先计算500 千克龙眼干共可以分装多少袋，再利用样本估计总体，分别明确特级品，一级品，二级品，三级品各多少袋，再求解比较.【详解】（1）依题意得12

24、9710074292mnn，解得1251mn.所抽取的 100 个龙眼干中特级品的频率为5170.58100，用样本频率估计总体分布得，这批龙眼干中特级品的比例为58%.（2）农场选择方案A获得的收入为16050030000y（元），设农场选择方案B获得的收入为2y元，则依题意得500 千克龙眼干共可以分装1000 袋，用样本频率估计总体分布得：特级品有581000580100袋，一级品有291000290100袋，二级品有121000120100袋，三级品有1100010100袋.2405803029020 120101034400y（元）21yy，农场应选择方案B.【点睛】本题主要考查样本

25、估计总体，还考查了数据处理的能力，属于中档题.20已知点12 3,0A，22 3,0A，直线1PA，2PA相交于点P，且它们的斜率乘积为13.（1）求点P的轨迹的方程；（2）设曲线与y轴正半轴交于点B，直线l：1ykx与交于C，D两点，E是线段CD的中点.证明：|2|CDBE.【答案】（1）221124xy（2 3x）；（2）见解析第 18 页 共 23 页【解析】（1）设点P的坐标为(,)x y，根据题意1213PAPAkk，即132 32 3yyxx，再化简求解.（2）设直线l：1ykx与曲线的交点为11,C x y，22,D xy由223121xyykx，得2213690kxkx，又，1

26、22613kxxk，122913xxk，要证|2|CDBE，根据三角形中线定理，即证BCBD，再利用向量法由0BC BDuuu r uuu r求解.【详解】（1）设点P的坐标为(,)x y，1213PAPAkk，132 32 3yyxx，化简得：22312xy，又2 3x，故动点P的轨迹的方程为221124xy（2 3x）.（2）设直线l：1ykx与曲线的交点为11,C xy，22,D xy，由223121xyykx，得2213690kxkx，又，122613kxxk，122913xxk，法一：要证|2|CDBE，即证BCBD，即证0BC BDuuu r uuu r，11,2BCxyuu u

27、r，22,2BDxyuu u r，121233BC BDx xkxkxuuu r uuu r，21212139kx xk xx2222229 1189270131 313kkkkkk.故 式成立，则命题得证.法二：点E坐标为2231,1 313kkk，第 19 页 共 23 页则22222222639|1313kkBEkk，422222229 4519 4111 313kkkkkk，22222222223636 1336 114|11313kkkkCDkkk，故22|4|CDBE，则命题得证.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的

28、能力，属于中档题.21已知函数21()ee2xxf xax.（1）若()f x 在R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若()f x 有两个极值点1x，2x12xx，证明：223fxx.【答案】（1）,2；（2）见解析【解析】（1）将()f x 在R上单调递增，转化为2()10 xxxeaef在R上恒成立，1xxaee恒成立求解.（2）利用换元法，设(0)xte t，将2()10 xxfxeae，转化为210tat，则由122tta，1 21t t，1201tt，得到()f x 有两个极值点11lnxt，22lnxt（120 xx），再将证明223fxx，转化为2230fxx证明，令2222

29、22134ln2fxxtatt22214ln12tt（21t），求其最大值即可.【详解】（1）依题意得2()10 xxxeaef在R上恒成立，得1xxaee，12xxee（当0 x时等号成立），a的取值范围为,2.第 20 页 共 23 页（2）令2()10 xxfxeae，设(0)xtet，则210tat（），当2a时，240a，设方程（）的两个实根为1t，2t（12tt），则122tta，1 21t t，1201tt，212()1xxxxfxeaeetet，当1,lnxt时，()0fx，()f x 单调递增，当12ln,lnxtt时，()0fx，()f x 单调递减，当2ln,xt时，()

30、0fx，()f x 单调递增，()f x有两个极值点11lnxt，22lnxt（120 xx），222222134ln2fxxtatt，222122222114ln4ln122ttttttt（21t），令21()4ln12h xxx（1x），244()xh xxxx，当(1,2)x时，()0h x，()h x单调递增；当(2,)x时，()0h x，()h x单调递减.max()(2)34ln 20h xh，2230fxx，即223fxx.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的极值，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的

31、参数方程为22cos,2sinxy（为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为4sin.（1）写出1C的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为(4,0)，射线04分别交1C，2C于A，B两第 21 页 共 23 页点（异于极点），当4AMB时，求tan.【答案】（1）4cos（2）1tan2【解析】（1）利用22sincos1，消去1C的参数将1C的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线分别于12,C C的极坐标方程联立，求得,A B两点对应的12,，由此求得AB的表达式，求得AM的表达式，根据|ABAM列方程，

32、由此求得tan的值.【详解】（1）22cos,2sinxy（为参数）曲线1C的普通方程为22(2)4xy，即2240 xyxcosx，siny，24cos0 曲线1C的极坐标方程为4cos（2）依题意设1,A，2,B，由4cos得14cos.由4sin得24sin.04，12.12|4cos4sinABOAOB.OM是圆1C的直径，2OAM.在直角Rt OAM中，|4sinAM 在直角Rt BAM中，4AMB|ABAM，即4cos4sin4sin4cos8sin，即1tan2.第 22 页 共 23 页【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、

33、函数与方程思想.23设函数()2sin|3|1|f xxaa.（1）若62f，求实数a的取值范围；（2）证明：xR，1()|3|1f xaa恒成立.【答案】（1）,04,U（2）证明见解析【解析】（1）将不等式62f化为|3|1|4aa，利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）将要证明的不等式转化为证xR，12sin|1|1xaa恒成立，由2sin x的最小值为2，得到只要证12|1|1aa，即证1|1|12aa，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.【详解】（1）62f，2|3|1|6aa，即|3|1|4aa当3a时，不等式化为3143aaa，4a当13a时，不等式化为(3)(1)413aaa，此时a无解当1a时，不等式化为(3)(1)41aaa，0a第 23 页 共 23 页综上，原不等式的解集为,04,U（2）要证xR，1()|3|1f xaa恒成立即证xR，12sin|1|1xaa恒成立2sin x的最小值为 2，只需证12|1|1aa，即证1|1|12aa又11|1|111aaaa111|2|2aaaaaa1|1|12aa成立，原题得证【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.