2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)(解析版).pdf

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1、2020 年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1已知（1+i）zi（i 为虚数单位），在复平面内，复数 z 的共轭复数?对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设集合Ax|xa|1，B1，0，b（b0），若A?B，则对应的实数（a，b）有（）A1 对B2 对C3 对D4 对3为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30 名学生参加环保知识竞赛，得分（10 分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为me，众数为 m0，平均数为x，则（）Amem0 xBmem0 xCmem0 xDm0 mex4某几何体的三视图如图所

2、示，则该几何体的体积为（）A3B9C12D365在 ABC 中，D 为线段 AB 上一点，且 BD 3AD，若?=?+?，则?=（）A13B3C14D46在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为?，?，?，?+?+?+?=?，则下列说法不一定成立的是（）A ABC 可能为正三角形B角 A，B，C 为等差数列C角 B 可能小于?3D角 B+C 为定值7已知函数f（x）2sin2 x（0）的最小正周期为，若将其图象沿x 轴向右平移m（m0）个单位，所得图象关于?=?3对称，则实数m 的最小值为（）A?4B?3C3?4D8函数 f（x）（x-1?）cosx（x 且 x0）的图象可能为（）AB

3、CD9甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低 0.1 则甲以 3：1取得胜利的概率为（）A0.162B0.18C0.168D0.17410已知双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)的左、右焦点分别为F1，F2，点 M 在 C 的右支上，MF1与 y 轴交于点A，MAF2的内切圆与边AF2切于点 B若|F1F2|4|AB|，则C 的渐近线方程为（）A?=?B

4、?=?C2xy0Dx2y011将正整数20 分解成两个正整数的乘积有120，210，45 三种，其中45 是这三种分解中两数差的绝对值最小的我们称4 5 为 20 的最佳分解当p q（pq 且 p，q N+）是正整数n 的最佳分解时，定义函数f（n）qp，则数列 f（3n）（n N+）的前 100 项和 S100为（）A350+1B3501C350-12D350+1212 已知函数?(?)=?(?|?|-?+?)，?(?)=?+?-?(?)?-?-?(?)，若存在 a n，n+1（n Z）使得方程f（x）g（x）有四个实根则n 的最大值为（）A2B1C0D 1二填空题：本题共4 小题，每小题5

5、 分共 20 分13执行如图所示的框图程序，输出的结果S14已知函数?(?)=?|?|+?，?=?(?13)，?=?(?-?.?)，?=?(?)，则 m，n，p 的大小关系是15已知?(?+?6)=13，则?(?-5?6)?(?3-?)=16已知长方体ABCD A1B1C1D1，AB=32，?=?，?=?，已知 P 是矩形 ABCD内一动点，PA1与平面 ABCD 所成角为?3，设 P点形成的轨迹长度为，则 tan ；当 C1P 的长度最短时，三棱锥D1 DPC 的外接球的表面积为三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答；

6、第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分17已知数列 an中，a1 2，anan+12pn+1（p 为常数）（）若 a1，12?，?成等差数列，求p的值；（）是否存在p，使得 an为等比数列？若存在，求an的前 n 项和 Sn；若不存在，请说明理由18三棱柱 ABC A1B1C1中，AB2，BC=?，AC2，四边形 ABB1A1为菱形，且 ABB160o，ACCC1（）求证：平面ABB1A1平面 BB1C1C；（）求BB1与平面 ABC 的夹角正弦值19在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由

7、3 个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3 个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100 次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求 a、b 的值，并求出甲在1 分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为PnP1（910）n1+?-110（n1，2，3），其中Pi表示第 i 个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立 求该团队挑战成功的概率；该团队以Pi从小到大

8、的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望20在直角坐标系xOy 上取两个定点A1（-?，0），A2（?，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且 mn2（）求直线A1N1与 A2N2交点 M 的轨迹 C 的方程；（）过R（3，0）的直线与轨迹C 交于 P，Q，过 P 作 PNx 轴且与轨迹C 交于另一点 N，F 为轨迹 C 的右焦点，若?=?（1），求证：?=?21已知函数?(?)=?+12(?-?)?+?（a R）（）讨论f（x）的单调性；（）当a 1时，对任意的x1，x2（0，+），且x1x2，都有|?1?(?2)-?2?(?1

9、)?1-?2|?，求实数m 的取值范围（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，曲线C：4cos，以极点 O 为旋转中心，将曲线C 逆时针旋转?3得到曲线 C（）求曲线C的极坐标方程；（）求曲线C 与曲线 C的公共部分面积选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x）k|x|+|x1|（）若k2，解不等式f（x）5（）若关于x 的不等式f（x）|x+1|+|2x2|的充分条件是?12，?，求 k 的取值范围参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，

10、只有一项是符合题目要求的1已知（1+i）zi（i 为虚数单位），在复平面内，复数 z 的共轭复数?对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出?的坐标得答案解：由（1+i）zi，得?=?1+?=?(1-?)2=12+12?，复数 z的共轭复数?对应的点是(12，-12)，在第四象限故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2设集合Ax|xa|1，B1，0，b（b0），若A?B，则对应的实数（a，b）有（）A1 对B2 对C3 对D4 对【分析】解方程得集合A 有两元素，由A?B

11、 得 A 中元素属于B，可解出a，b解：集合Ax|xa|1a1，a+1?1，0，b（b0），若 a0，则 a11，即 a0，所以 b1；若 a0，a1 1 或 a10，则 a1，所以 b2，则?=?=?或?=?=?则对应的实数（a，b）有 2 对故选：B【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系及应用，属于基础题3为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30 名学生参加环保知识竞赛，得分（10 分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为me，众数为 m0，平均数为x，则（）Amem0 xBmem0 xCmem0 xDm0 mex【分析】由频率分步表

12、求出众数、中位数和平均数，比较即可解：由图知，众数是m05；中位数是第15 个数与第16 个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是 5，第 16 个数是 6，所以中位数是me=5+62=5.5；平均数是x=130（2 3+3 4+105+66+37+28+29+210）6；m0mex故选：D【点评】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3B9C12D36【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为 4，再由圆锥体积公式求解解：由三视图还原原几何体如图，该几何体

13、为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为 4该几何体的体积为1413?=?故选：A【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题5在 ABC 中，D 为线段 AB 上一点，且 BD 3AD，若?=?+?，则?=（）A13B3C14D4【分析】由已知结合向量的线性运算可分别求出，从而可求解：因为BD3AD，所以?=?+?=?+34?=?+34(?-?)=34?+14?，由?=?+?可得 =34，=14，则?=3故选：B【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用6在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为?，?，?，?+?+?+?

14、=?，则下列说法不一定成立的是（）A ABC 可能为正三角形B角 A，B，C 为等差数列C角 B 可能小于?3D角 B+C 为定值【分析】化简?+?+?+?=1，利用余弦定理求出A 的值，再判断选项中的命题是否正确解：ABC 中，?+?+?+?=1，（a+c）c+（a+b）b（a+b）（a+c），c2+b2a2 cb，cosA=?2+?2-?22?=?2?=12，A（0，），A=?3，B+C2A=2?3，所以 B、A、C 成等差数列，B 错误当 ab c 时，ABC 是正三角形，A 正确；由 B+C=2?3知，选项C、D 正确故选：B【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了分析问题解决问

15、题的能力，是中档题7已知函数f（x）2sin2 x（0）的最小正周期为，若将其图象沿x 轴向右平移m（m0）个单位，所得图象关于?=?3对称，则实数m 的最小值为（）A?4B?3C3?4D【分析】先利用降幂公式将函数式化简为yAcos（x+）+k 的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值解：f（x）cos2x+1，由其最小正周期为，1，所以 f（x）cos2x+1，将其图象沿x 轴向右平移m（m0）个单位，所得图象对应函数为y cos（2x 2m）+1，因为其图象关于?=?3对称，则有?(2?3-?)=?，2?3-?=?，?，解得?=?3-?2，由

16、 m0，实数 m 的最小值为?3故选：B【点评】本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力8函数 f（x）（x-1?）cosx（x 且 x0）的图象可能为（）ABCD【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于 0时，f（x）0，结合所给的选项，得出结论解：对于函数f（x）（1?-x）cosx（x且 x0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（x）（-1?+x）cosx f（x），故函

17、数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称故排除 A、B当 x，f（x）0，故排除C，但是当 x 趋向于 0 时，f（x）0，故选：D【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题9甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低 0.1 则甲以 3：1取得胜利的概率为（）A0.162B0.18C0.168D0.174【分析】先

18、列出甲以3：1 取得胜利的所有情况，再利用相互独立事件的乘法运算求解每种情况的概率，最后利用互斥事件概率的加法公式计算即可解：甲以3：1 取得胜利的所有情况为：赢赢输赢，赢输赢赢，输赢赢赢，对应的概率分别为：0.50.60.3 0.60.054，0.50.40.5 0.60.06，0.50.40.5 0.60.06，所以甲以3：1 取得胜利的概率为：0.054+0.06+0.06 0.174故选：D【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率，考查运算求解能力和分析问题，解决问题的能力10已知双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)的左、右焦点分别为F1，F2，点 M 在 C 的右

19、支上，MF1与 y 轴交于点A，MAF2的内切圆与边AF2切于点 B若|F1F2|4|AB|，则C 的渐近线方程为（）A?=?B?=?C2xy0Dx2y0【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可解：双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)的左、右焦点分别为F1，F2，点 M 在 C 的右支上，MF1与 y 轴交于点A，MAF2的内切圆与边AF2切于点 B与 MF1的切点为N，如图：设 ABn，MB m，BF2t，由双曲线的定义可知：m+2n+tmt2a，可得 na，若|F1F2|4|AB|，所以 2c 4a，c 2a

20、，则 b=?所以双曲线的渐近线方程为：?y 0故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用圆的切线长相等，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题11将正整数20 分解成两个正整数的乘积有120，210，45 三种，其中45 是这三种分解中两数差的绝对值最小的我们称4 5 为 20 的最佳分解当p q（pq 且 p，q N+）是正整数n 的最佳分解时，定义函数f（n）qp，则数列 f（3n）（n N+）的前 100 项和 S100为（）A350+1B3501C350-12D350+12【分析】先写出数列f（3n）（n N+）的前几项，根据前几项归纳出：f（32k1）3

21、k3k123k1，f（32k）3k3k0，再求出其前100 项和解：根据题意，知：f（3）312，f（32）3 30，f（33）3236，f（34）32320，f（32k1）3k3k1 23k1，f（32k）3k3k0数列 f（3n）（n N+）的前100 项和S100为2 30+0+2 31+0+2 349+0 2（30+31+32+349）21-3501-3=350 1故选：B【点评】本题主要考查等比数列、及其数列的求和，属于中档题12 已知函数?(?)=?(?|?|-?+?)，?(?)=?+?-?(?)?-?-?(?)，若存在 a n，n+1（n Z）使得方程f（x）g（x）有四个实根则

22、n 的最大值为（）A2B1C0D 1【分析】依题意，转化可得函数?(?)=?(?-?+?-?)，?(?-?-?+?+?)，?与直线 ya 有且仅有四个不同的交点，且易发现函数F（x）为偶函数，利用导数研究函数F（x）的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a 的取值范围，进而得到n 的最大值解：令?(?)=?(?)-?(?)=?(?-?+?)-(?-?)-?，?(?-?-?+?)+(?+?)-?，?，则?(?)=?(?2?-4+1?-2)-?=?(?-?+?-?)-?，?(?-?-?+?)(?+?)-?=?(?-?-?+?+?)-?，?，依题意，函数?(?)=?(?-?+?-?)，?(?-?-?

23、+?+?)，?与直线 ya 有且仅有四个不同的交点，易知函数F（x）为偶函数，故先研究x0 时的情况，当 x0 时，?(?)=?-2-?2-?-2+?2-?，令 F（x）0，解得 0 x2，令 F（x）0，解得 x2，故函数 F（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，且F（x）极小值F（2）ln2，由偶函数的对称性，可作出函数F（x）的图象，如下图所示，由图可知，a（ln2，ln（e2+e2），又0ln21，2 ln（e2+e2）3，n 的最大值为2故选：A【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想，将问题转化为函数F（x）的图象

24、与直线ya 有且仅有四个不同的交点，进而通过数形结合确定实数a 的取值范围是解题的关键，属于中档题二填空题：本题共4 小题，每小题5 分共 20 分13执行如图所示的框图程序，输出的结果S5【分析】模拟程序的运行过程可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s01+23+10 的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s01+23+10 的值，可得 s01+23+10（2+4+10）（1+3+9）5故答案为：5【点评】本题主要考查伪代码（算法语句）的应用，属于基础题14已知函数?(?)=?|?|+?，?=?(?13)，?=?

25、(?-?.?)，?=?(?)，则 m，n，p 的大小关系是pm n【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论解：f（x）2|x|+x2，则 f（x）2|x|+（x）2f（x），即 f（x）为偶函数，因为 x0 时，f（x）2x+x2单调递增，mf（log?13）f（log23），n f（0.70.1），pf（log425）f（log25），因为 log252log23170.10，故 pmn故答案为：pmn【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键15已知?(?+?6)=13，则?(?-5?6)?(?3-?)=-13【分析】直接利用三角函

26、数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果解：已知?(?+?6)=13故：?(?-5?6)?(?3-?)=-?-(?+?6)1?(?+?6)=-?(?+?6)=-13故答案为：-13【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型16已知长方体ABCD A1B1C1D1，AB=32，?=?，?=?，已知 P 是矩形 ABCD内一动点，PA1与平面 ABCD 所成角为?3，设 P 点形成的轨迹长度为，则 tan 3?；当 C1P 的长度最短时，三棱锥D1DPC 的外接球的表面积为17【分析】因为PA1与平面 ABCD

27、所成角 为?3，所以可得AP 2，即 P 点的轨迹为以A为圆心，以2 为半径的圆与矩形ABCD 的交点即?，由矩形的边长可得?的值，进而求出它的正切值，当C1P 的长度最短时，而C1P=?+?，所以当CP 最小时，C1P 最小，而当A，P，C1三点共线时，CP 最小，求出CP 的值，进而由余弦定理求出DP，求出三角形DCP 的外接圆的半径，由DD1面 CDP，所以三棱锥D1 DCP 的外接球的球心为过底面三角形DCP 的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，由外接球的半径，和高的一半，由勾股定理可得R 的值，进而求出外接球的表面积解：在长方体的底面矩形ABCD 内一动点P，连接 AP，因为 PA1

28、与平面 ABCD 所成角为?3，AA12?，所以tan=?1?=23?=?，所以AP2，所以 P 点的轨迹为以A 为圆心，以2为半径的圆，与底面矩形BC 的交点为E，D，即 P 的轨迹为圆弧?，连接 AE，在 ABE 中，cosEAB=?=322=34，所以 sinDAE cos EAB=34，所以arcsin DAE=34，所以=?=2?DAE，可得 为钝角，所以 sin sin（2arcsin DAE）2?34?74=3 78，cos=-18，所以 tan 3?；当 C1P 的长度最短时，而C1P=?+?，所以当CP 最小时，C1P 最小，而当 A，P，C1三点共线时，CPACAP=?+(

29、32)?-2=12最小，连接 DP，由于 cosDCP=?=3222+(32)2=35，所以在三角形CDP 中，由余弦定理可得DP=?+?-?=94+14-?321235=41010，而 sinDCP=45，设三角形CDP 的外接圆的半径为r，则 2r=?=4101045=102，所以 r=104，由 DD1面 CDP，所以三棱锥D1DCP 的外接球的球心为过底面三角形DCP 的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则 R2r2+（?12）2=1016+3=174，所以外接球的表面积S4 R217 故答案为：3?，17【点评】本题考查求点的轨迹，及三棱锥的棱长与外接球的半径的关

30、系和球的表面积公式，属于难题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分17已知数列 an中，a1 2，anan+12pn+1（p 为常数）（）若 a1，12?，?成等差数列，求p的值；（）是否存在p，使得 an为等比数列？若存在，求an的前 n 项和 Sn；若不存在，请说明理由【分析】（）根据条件求出a2和 a4，然后由 a1，12?，?成等差数列，得到关于p的方程，再求出p 即可；（）若 an为等比数列，则由a10，a20，可知数列的首项和公比均为正数，

31、然后根据条件求出 an前 n 项和 Sn即可解：（）anan+12pn+1（p 为常数），?+?+?=?+?+?当 n1 时，?=?+?，a12，?=?，?+2?=?，?=?=(?)?，?=?=(?)?，a42 a2，（2p）22 2p，p1（）若 an为等比数列，则由a10，a20，数列的首项和公比均为正数，设其公比为q，则?=?2，?2=?2?1=2?2，p2，a12，q2，?=?故?+?=?+?，而 2pn+1 22n+1，p2 时，an为等比数列，an的前 n 项和?=2(1-2?)1-2=?+?-?【点评】本题考查了等比数列和等差数列的性质，等比数列的前n 项和公式，考查了方程思想和

32、转化思想，属中档题18三棱柱 ABC A1B1C1中，AB2，BC=?，AC2，四边形 ABB1A1为菱形，且 ABB160o，ACCC1（）求证：平面ABB1A1平面 BB1C1C；（）求BB1与平面 ABC 的夹角正弦值【分析】（）取 BB1的中点 O，连接 AB1，OA，OC，由已知可得OABB1，再由 BB1CC1，AC CC1，得 ACBB1，得到 BB1平面 AOC，则 BB1CO，求解三角形证明CO AO可得 AO平面 BB1C1C，进一步得到平面ABB1A1平面 BB1C1C；（）以 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABC 的一个法向量?，再求出BB1上的单

33、位向量?由?与?所成角的余弦值可得BB1与平面ABC 的夹角正弦值【解答】（）证明：取BB1的中点 O，连接 AB1，OA，OC，在菱形 ABB1A1中，ABB160o，故三角形ABB1是等边三角形，则 OABB1，OB1，OA=?又 BB1CC1，ACCC1，ACBB1，又 AOBB1，且 AOACA，BB1平面 AOC，则 BB1 CO在 Rt BOC 中，CO=?-?=?，CO2+AO2AC2，故 COAO又 COBB1O，AO平面 BB1C1CAO?平面 ABB1A1，平面ABB1A1平面 BB1C1C；（）解：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系则 A（?，0，0），B（0，

34、1，0），C（0，0，1），?=(?，-?，?)，?=(?，-?，?)设平面 ABC 的一个法向量为?=(?，?，?)由?=?-?=?=-?+?=?，取 x=?，得?=(?，?，?)设 BB1上的单位向量为?=(?，?，?)则 BB1与平面 ABC 的夹角正弦值为|cos?，?|=|?|?|?|?|=217【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题19在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3 个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3 个人

35、中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100 次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求 a、b 的值，并求出甲在1 分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为PnP1（910）n1+?-110（n1，2，3），其中Pi表示第 i 个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立 求该团队挑战成功的概率；该团队以Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X

36、 的分布列与数学期望【分析】（1）由甲解密成功所需时间的中位数为47，利用频率分布直方图的性质能求出 a，b，由此能求出甲在1 分钟内解密成功的频率（2）由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p10.9，第二个出场选手解密成功的概率为p20.9910+110?=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p30.9(910)?+110?=0.929，由此能求出该团队挑战成功的概率 根据题意知X 的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列和E（X）解：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，0.015+0.0145+b5+0.0345+

37、0.04（4745）0.5，解得 b0.026，0.043+0.0325+a5+0.010100.5解得 a0.024甲在 1分钟内解密成功的频率是f1 0.01 100.9（2）由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p10.9，第二个出场选手解密成功的概率为p20.9910+110?=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p30.9(910)?+110?=0.929，该团队挑战成功的概率为p 0.9+0.10.91+0.1 0.090.9290.999361 由 知按 Pi从小到大的顺序的概率分别为p1，p2，p3，根据题意知X 的可能取值为1，2，3，则 P（X1）0.9，P（

38、X 2）（10.9）0.910.091，P（X 3）（10.9）（10.91）0.009，团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列为：X123P0.90.0910.009E（X）10.9+20.091+30.0091.109【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20在直角坐标系xOy 上取两个定点A1（-?，0），A2（?，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且 mn2（）求直线A1N1与 A2N2交点 M 的轨迹 C 的方程；（）过R（3，0）的直线

39、与轨迹C 交于 P，Q，过 P 作 PNx 轴且与轨迹C 交于另一点 N，F 为轨迹 C 的右焦点，若?=?（1），求证：?=?【分析】（I）由直线方程的点斜式列出A1N1和 A2N2的方程，联解并结合mn2 化简整理得方程，再由 N1、N2不与原点重合，可得直线 A1N1与 A2N2交点的轨迹C 的方程；（II）设 l：x ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+30，利用分析法进行证明【解答】（I）解：依题意知直线A1N1的方程为：y=?6（x+?）；直线 A2N2的方程为：y=-?6（x-?）设 Q（x，y）是直线A1N1与 A2N2交点，、相乘，得y2=-?6（x26

40、）由mn2 整理得：?26+?22=1N1、N2不与原点重合，可得点A1，A2不在轨迹M上，轨迹C的方程为?26+?22=1（x?）（）证明：设l：xty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+30设 P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，y1），可得y1+y2=-6?2+3且 y1y2=3?2+3，?=?，可得（x1 3，y1）（x23，y2），x13（x23），y1 y2，证明?=?，只要证明（2 x1，y1）（x22，y2），2 x1 （x2 2），只要证明?1-3?2-3=-?1-2?2-2，只要证明2t2y1y2+t（y1+y2）0，由 y1+y2=-6?2+3

41、且 y1y2=3?2+3，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）0，?=?【点评】本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题21已知函数?(?)=?+12(?-?)?+?（a R）（）讨论f（x）的单调性；（）当a 1时，对任意的x1，x2（0，+），且x1x2，都有|?1?(?2)-?2?(?1)?1-?2|?，求实数m 的取值范围【分析】（）求出导函数，通过 当 a1 时，当 0a 1 时，当 a0 时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可（）当 a 1 时，f（x）lnxx2+1，不妨设 0 x1

42、x2，则|?1?(?2)-?2?(?1)?1-?2|?等价于|?(?2)?2-?(?1)?1|?(?-?)，考察函数?(?)=?(?)?，求出导函数，令?(?)=?-?2-2?2，再求解导函数，判断函数的单调性求出函数的最值，说明g（x）在（0，+）上单调递减得到g（x1）+mx1g（x2）+mx2恒成立，设（x）g（x）+mx，则 （x）在（0，+）上恒为单调递减函数，然后转化求解m 的范围即可解：（）?(?)=?+(?-?)?=(?-1)?2+?（x0）当 a1 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当 0a1 时，?(?)=(?-1)(?+-?-1)(?-?-1)?，所以当?-

43、?-1时，f（x）0，当 0 x-?-1时，f（x）0，所以 f（x）在(?，-?-1)上单调递增，在(-?-1，+)上单调递减；当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，（）当a 1 时，f（x）lnx x2+1，不妨设0 x1x2，则|?1?(?2)-?2?(?1)?1-?2|?等价于|?(?2)?2-?(?1)?1|?(?-?)，考察函数?(?)=?(?)?，得?(?)=?-?2-2?2，令?(?)=?-?2-2?2，?(?)=5-2?3，则?(?，?52)时，h（x）0，?(?52，+)时，h（x）0，所以 h（x）在区间(?，?52)上是单调递增函数，在区间(?52，

44、+)上是单调递减函数故?(?)?(?52)=12?5-?，所以 g（x）在（0，+）上单调递减从而 g（x1）g（x2），即?(?2)?2?(?1)?1，故?(?1)?1-?(?2)?2?(?-?)，所以?(?1)?1+?(?2)?2+?，即 g（x1）+mx1g（x2）+mx2恒成立，设 （x）g（x）+mx，则（x）在（0，+）上恒为单调递减函数，从而 （x）g（x）+m 0 恒成立，故（x）g（x）+m12?5-?+?0，故 m?-12?5【点评】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、

45、运算求解能力和推理论证能力（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，曲线C：4cos，以极点 O 为旋转中心，将曲线C 逆时针旋转?3得到曲线 C（）求曲线C的极坐标方程；（）求曲线C 与曲线 C的公共部分面积【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果解：（）设极点（，）旋转之后的极点为（，），故：?=?=?+?3，代入 4cos，得到?=?(?-?3)，得到?=?(?-?

46、3)（）如图，两圆相交于点O 和 A，连接 OA，AC，OC，AC由于极径没有变，旋转的角为?3显然四边形OCAC 为菱形，故 OCA=2?3所以 S2S弓形OCA2（S扇形OCASOCA）=8?3-?【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型一、选择题23已知 f（x）k|x|+|x1|（）若k2，解不等式f（x）5（）若关于x 的不等式f（x）|x+1|+|2x2|的充分条件是?12，?，求 k 的取值范围【分析】（）k 2 时，不等式f（x）5 可化为2|

47、x|+|x1|5然后分x0，0 x1，x1 三类去绝对值求解，取并集得答案；（）由题意，关于x 的不等式f（x）|x+1|+|2x2|在?12，?上恒成立，分离参数k，可得k|?+1|+|?-1|?|在?12，?上恒成立，再由|?+1|+|?-1|?|?+1+?-1|?|=?，即可得到实数k 的取值范围解：（）若k2，不等式f（x）5 可化为 2|x|+|x1|5当 x0 时，有 2x（x 1）5，即 x-43，-43?0；当 0 x 1 时，有 2x（x1）5，即 x4，0 x 1；当 x1 时，有 2x+（x1）5，即 x2，1 x2故原不等式的解集为-43，2；（）由题意，关于x 的不等式f（x）|x+1|+|2x2|在?12，?上恒成立，即 k|x|x+1|+|2x 2|x 1|在?12，?上恒成立，k|?+1|+|?-1|?|在?12，?上恒成立，|?+1|+|?-1|?|?+1+?-1|?|=2|?|?|=?，等号在 x+1，x1 同号或其中一项为0 时成立k 的取值范围是（，2【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论与数学转化思想方法，训练了绝对值不等式的应用，是中档题