2021年中考数学复习题考点27：正方形.pdf

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1、第 1 页 共 16 页2021 年中考数学复习题：考点27 正方形一选择题（共4 小题）1（无锡）如图，已知点 E是矩形 ABCD的对角线 AC上的一动点，正方形 EFGH的顶点 G、H 都在边 AD上，若 AB=3，BC=4，则 tanAFE的值（）A等于B等于C等于D随点 E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF AD，由该平行线的性质推知 AEHACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答【解答】解：EF AD，AFE=FAG，AEH ACD，=设 EH=3x，AH=4x，HG=GF=3x，tanAFE=tan FAG=故选：A2（宜昌）如图，正方形 ABCD的边长

2、为 1，点 E，F分别是对角线 AC上的两点，EG ABEIAD，FH AB，FJ AD，垂足分别为G，I，H，J则图中阴影部分的面积等于（）第 2 页 共 16 页A1 BC D【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：四边形ABCD是正方形，直线 AC是正方形 ABCD的对称轴，EG ABEIAD，FHAB，FJ AD，垂足分别为 G，I，H，J 根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形 EFJI的面积相等，S阴=S正方形ABCD=，故选：B3（湘西州）下列说法中，正确个数有（）对顶角相等；两直线平行，同旁内角相等；对角线互相垂直的四边形为菱形；对角线互相垂直平分且相等的

3、四边形为正方形A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案【解答】解：对顶角相等，故正确；两直线平行，同旁内角互补，故错误；对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故错误；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故正确，故选：B4（张家界）下列说法中，正确的是（）A两条直线被第三条直线所截，内错角相等B对角线相等的平行四边形是正方形C相等的角是对顶角D角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平第 3 页 共 16 页分线性质逐个判断即可【解答】解：A、两条平行线被第

4、三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；故选：D二填空题（共7 小题）5（武汉）以正方形ABCD的边 AD 作等边 ADE，则BEC的度数是30 或150【分析】分等边 ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得【解答】解：如图1，四边形 ABCD为正方形，ADE为等边三角形，AB=BC=CD=AD=AE=DE，BAD=ABC=BCD=ADC=90 ，AED=ADE=DAE=60 ，BAE

5、=CDE=150 ，又 AB=AE，DC=DE，AEB=CED=15 ，则BEC=AED AEB CED=30 如图 2，第 4 页 共 16 页ADE是等边三角形，AD=DE，四边形 ABCD是正方形，AD=DC，DE=DC，CED=ECD，CDE=ADC ADE=90 60=30，CED=ECD=（180 30）=75，BEC=360 75 260=150 故答案为：30 或 150 6（呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点 M 是边 BA延长线上的动点（不与点 A 重合），且 AMAB，CBE由DAM 平移得到若过点E 作 EH AC，H为垂足，则有以下结论：点M 位置变化，使得 DH

6、C=60 时，2BE=DM；无论点 M 运动到何处，都有 DM=HM；无论点 M 运动到何处，CHM一定大于 135 其中正确结论的序号为【分析】先判定 MEHDAH（SAS），即可得到 DHM 是等腰直角三角形，进而得出 DM=HM；依据当 DHC=60 时，ADH=60 45=15，即可得到 RtADM 中，DM=2AM，即可得到 DM=2BE；依据点 M 是边 BA延长线上的动点（不与点 A 重合），且 AMAB，可得 AHMBAC=45 ，即可得出 CHM135【解答】解：由题可得，AM=BE，AB=EM=AD，四边形 ABCD是正方形，EH AC，EM=AH，AHE=90 ，MEH=

7、DAH=45=EAH，EH=AH，第 5 页 共 16 页MEHDAH（SAS），MHE=DHA，MH=DH，MHD=AHE=90 ，DHM 是等腰直角三角形，DM=HM，故正确；当DHC=60 时，ADH=60 45=15，ADM=45 15=30，RtADM 中，DM=2AM，即 DM=2BE，故正确；点 M 是边 BA延长线上的动点（不与点A 重合），且 AMAB，AHMBAC=45 ，CHM135，故正确；故答案为：7（青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为 5，点 E、F分别在 AD、DC上，AE=DF=2，BE与 AF相交于点 G，点 H为BF的中点，连接 GH，则GH的长为【分析

8、】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得 BAE=D=90 ，然后利用“边角边”证明 ABE DAF 得ABE=DAF，进一步得AGE=BGF=90 ，从而知 GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案【解答】解：四边形ABCD为正方形，第 6 页 共 16 页BAE=D=90 ，AB=AD，在ABE和DAF中，ABE DAF（SAS），ABE=DAF，ABE+BEA=90 ，DAF+BEA=90 ，AGE=BGF=90 ，点 H 为 BF的中点，GH=BF，BC=5、CF=CD DF=52=3，BF=，GH=BF=，故答案为：8（咸宁）如图，将正方形OEFG 放在

9、平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 E的坐标为（2，3），则点 F的坐标为（1，5）【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G 的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点 F的坐标【解答】解：如图，过点E作 x 轴的垂线 EH，垂足为 H过点 G作 x 轴的垂线EG，垂足为 G，连接 GE、FO交于点 O 四边形 OEFG是正方形，第 7 页 共 16 页OG=EO，GOM=OEH，OGM=EOH，在OGM与EOH中，OGMEOH（ASA）GM=OH=2，OM=EH=3，G（3，2）O （，）点 F与点 O 关于点 O 对称，点 F的坐标为（1，5）故答案是：（1，5）9（江西）在正方形ABCD

10、中，AB=6，连接 AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若 PD=2AP，则 AP的长为2 或 2或【分 析】根 据 正 方 形 的 性 质 得 出AC BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，ABC=90 ，根据勾股定理求出AC、BD、求出 OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=6，AC BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，ABC=DAB=90 ，在 RtABC中，由勾股定理得：AC=6，第 8 页 共 16 页OA=OB=OC=OD=3，有三种情况：点P

11、在 AD 上时，AD=6，PD=2AP，AP=2；点 P在 AC上时，设 AP=x，则 DP=2x，在 RtDPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，（2x）2=（3）2+（3x）2，解得：x=（负数舍去），即 AP=；点 P在 AB上时，设 AP=y，则 DP=2y，在 RtAPD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=（2y）2，解得：y=2（负数舍去），即 AP=2；故答案为：2 或 2或第 9 页 共 16 页10（潍坊）如图，正方形ABCD的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点 A 逆时针

12、旋转 30 至正方形 ABCD 的位置，BC与 CD相交于点 M，则点 M 的坐标为（1，）【分析】连接 AM，由旋转性质知 AD=AB=1、BAB=30、BAD=60，证 RtADMRtAB M 得DAM=BAD=30，由 DM=ADtanDAM 可得答案【解答】解：如图，连接AM，将边长为 1 的正方形 ABCD绕点 A 逆时针旋转 30 得到正方形 ABCD，AD=AB=1，BAB=30，BAD=60，在 RtADM 和 RtAB M 中，RtADMRtAB M（HL），DAM=BAM=BAD=30，DM=ADtanDAM=1=，点 M 的坐标为（1，），故答案为：（1，）11（台州）如

13、图，在正方形 ABCD中，AB=3，点 E，F分别在 CD，AD上，CE=DF，第 10 页 共 16 页BE，CF相交于点 G若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为 2：3，则BCG的周长为+3【分析】根据面积之比得出BGC的面积等于正方形面积的，进而依据 BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长【解答】解：阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为 2：3，阴影部分的面积为9=6，空白部分的面积为96=3，由 CE=DF，BC=CD，BCE=CDF=90 ，可得 BCE CDF，BCG的面积与四边形 DEGF的面积相等，均为3=，设 BG=a，CG=b，则ab

14、=，又a2+b2=32，a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，a+b=，即 BG+CG=，BCG的周长=+3，故答案为：+3三解答题（共6 小题）12（盐城）在正方形 ABCD中，对角线 BD所在的直线上有两点E、F满足 BE=DF，第 11 页 共 16 页连接 AE、AF、CE、CF，如图所示（1）求证：ABE ADF；（2）试判断四边形 AECF的形状，并说明理由【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形 AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）正方形 ABCD，AB=AD，ABD=ADB，ABE=ADF

15、，在ABE与ADF中，ABE ADF（SAS）；（2）连接 AC，四边形 AECF是菱形理由：正方形 ABCD，OA=OC，OB=OD，AC EF，OB+BE=OD+DF，即 OE=OF，OA=OC，OE=OF，四边形 AECF是平行四边形，第 12 页 共 16 页AC EF，四边形 AECF是菱形13（吉林）如图，在正方形ABCD中，点 E，F分别在 BC，CD上，且 BE=CF，求证：ABE BCF【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；【解答】证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90 ，在ABE和BCF中，ABE BCF 14（白银）已知矩形ABCD中，E是

16、 AD 边上的一个动点，点F，G，H 分别是BC，BE，CE的中点（1）求证：BGF FHC；（2）设 AD=a，当四边形 EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可【解答】解：（1）点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE的中点，FH BE，FH=BE，FH=BG，第 13 页 共 16 页CFH=CBG，BF=CF，BGF FHC，（2）当四边形 EGFH是正方形时，可得：EF GH且 EF=GH，在 BEC中，点，H 分别是 BE，CE的中点，GH=，且 GHBC，EF BC，ADB

17、C，ABBC，AB=EF=GH=a，矩形 ABCD的面积=15（潍坊）如图，点M 是正方形 ABCD边 CD上一点，连接 AM，作 DE AM于点 E，BFAM 于点 F，连接 BE（1）求证：AE=BF；（2）已知 AF=2，四边形 ABED的面积为 24，求 EBF的正弦值【分析】（1）通过证明 ABF DEA得到 BF=AE；（2）设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于 ABE的面积与ADE的面积之和得到?x?x+?x?2=24，解方程求出 x 得到 AE=BF=6，则 EF=x2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解【解答】（1）证明

18、：四边形 ABCD为正方形，BA=AD，BAD=90 ，DE AM 于点 E，BFAM 于点 F，AFB=90 ，DEA=90 ，第 14 页 共 16 页ABF+BAF=90 ，EAD+BAF=90 ，ABF=EAD，在ABF和DEA中，ABF DEA（AAS），BF=AE；（2）解：设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，四边形 ABED的面积为 24，?x?x+?x?2=24，解得 x1=6，x2=8（舍去），EF=x 2=4，在 RtBEF中，BE=2，sinEBF=16（湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与 DF相交于点 O（1）求证：DAF ABE；（2）求 AO

19、D的度数【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，DAB=ABC=90 ，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出 ADF=BAE，进而求出 ADF+DAO=90 ，最后用三角形的内角和定理即可得出结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD是正方形，DAB=ABC=90 ，AD=AB，第 15 页 共 16 页在DAF和ABE中，DAF ABE（SAS），（2）由（1）知，DAF ABE，ADF=BAE，ADF+DAO=BAE+DAO=DAB=90 ，AOD=180 （ADF+DAO）=90 17（遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点 E、F分别在 AB、BC上（AE BE），且

20、EOF=90 ，OE、DA的延长线交于点 M，OF、AB的延长线交于点 N，连接 MN（1）求证：OM=ON（2）若正方形 ABCD的边长为 4，E为 OM 的中点，求 MN 的长【分析】（1）证OAMOBN即可得；（2）作 OHAD，由正方形的边长为4 且 E为 OM 的中点知 OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM【解答】解：（1）四边形 ABCD是正方形，OA=OB，DAO=45，OBA=45 ，OAM=OBN=135 ，EOF=90 ，AOB=90 ，AOM=BON，OAMOBN（ASA），OM=ON；第 16 页 共 16 页（2）如图，过点 O 作 OHAD于点 H，正方形的边长为4，OH=HA=2，E为 OM 的中点，HM=4，则 OM=2，MN=OM=2