重要高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比.pdf

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1、重要!高中数学圆锥曲线-圆锥曲线的性质对比-1-/9 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上f(x0,y0)0。两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为 f1(

2、x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1，C2的交点0),(0),(002001yxfyxf方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集 MOM=r，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2(2)一般方程：当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方

3、，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-2D,-2E);当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0)，则MCr点 M 在圆 C 内，MC=r点 M 在圆 C 上，MCr点 M 在圆 C 内，其中 MC=2020b)-(ya)-(x。（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)

4、判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离22BACBbAad与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1 到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比

5、为定值 e 的点的轨迹.（0e1）1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.重要!高中数学圆锥曲线-圆锥曲线的性质对比-2-/9 轨迹条件点集：(M MF1+MF2=2a,F 1F22a点集：M MF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M 到直线 l 的距离.图形方程标准方程12222byax(ba0)12222byax(a0,b0)pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数)范围a xa，b yb|x|a，yR x0 中心原点 O（0，0）原点 O

6、（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)0,2(pF准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c（c=22ba）2c（c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共轭双曲

7、线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为重要!高中数学圆锥曲线-圆锥曲线的性质对比-3-/9 0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线：（1）抛物线2y=2px(p0)的焦点坐标是(2p,0)，准线方程 x=-2p，开口向右；抛物线2y=-2px(p0)的焦点坐标是(-2p,0)，准线方程 x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p0

8、)的焦点坐标是(0,2p)，准线方程 y=-2p，开口向上；抛物线2x=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-2p），准线方程 y=2p，开口向下.（2）抛物线2y=2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离20pxMF；抛物线2y=-2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB=21x

9、x+p 或2sin2pAB(为直线 AB 的倾斜角)，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF 叫做焦半径).五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy 中的坐标是 9x,y)，在新坐标系 x O y中的坐标是),(yx.设新坐标系的原点O 在原坐标系 x

10、Oy 中的坐标是(h,k)，则kyyhxx或kyyhxx叫做平移(或移轴)公式.（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1(c+h,k)x=ca2+h x=h y=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1(h,c+k)y=ca2+k x=h y=k 双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1(c+h,k)x=ca2+k x=h y=k 重要!高中数学圆锥曲线-圆锥曲线的性质对比-4-/9 22k)-(ya-22h)-(xb=1(h,c+h)y=ca2+k x=h y=k 抛物线(y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k)x

11、=-2p+h y=k(y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k)x=2p+h y=k(x-h)2=2p(y-k)(h,2p+k)y=-2p+k x=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-2p+k)y=2p+k x=h 六、椭圆的常用结论：1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P处的外角.2.PT 平分 PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的

12、椭圆的切线方程是00221x xy yab.6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc00(,)M xy).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点

13、F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab；重要!高中数学圆锥曲线-圆锥曲线的性质对比-5-/9【推论】：1、若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则

14、过 Po的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab。椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2、过椭圆22221xyab(a0,b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3、若 P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22accoac.4、设椭圆22221xyab（ab

15、0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF,12PF F,12F F P，则有sinsinsincea.5、若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6、P 为椭圆22221xyab（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112|2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立.7、椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222

16、200()A aB bAxByC.8、已知椭圆22221xyab（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab.9、过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN.10、已知椭圆22221xyab（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x,则22220ababxaa.11、设 P 点是椭圆22221x

17、yab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2)122tan2PF FSb.重要!高中数学圆锥曲线-圆锥曲线的性质对比-6-/9 12、设 A、B 是椭圆22221xyab（ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.13、已知椭圆22221xyab（ab0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C

18、 在右准线 l 上，且 BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点 P 处的切线 P

19、T 平分PF1F2在点 P 处的内角.2、PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab.6、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过 Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy

20、yab.7、双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co.8、双曲线22221xyab（a0,bo）的焦半径公式：(1(,0)Fc,2(,0)Fc）当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa；当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa。9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点F 的直线与双

21、曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11、AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则被 Po所平分的中点弦的方程是重要!高中数学圆锥曲线-圆锥曲线的性质对比-7-/9 2200002222x xy yxyabab.13、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是2

22、2002222x xy yxyabab.【推论】：1、双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2、过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3、若 P为双曲线22221xyab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）

23、.4、设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记12F PF,12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea.5、若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6、P 为双曲线22221xyab（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且 P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立.7

24、、双曲线22221xyab（a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC.8、已知双曲线22221xyab（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba.9、过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN.10、已知双曲线22221xyab（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与

25、 x 轴相交于点0(,0)P x,则220abxa或220abxa.11、设 P点是双曲线22221xyab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，重要!高中数学圆锥曲线-圆锥曲线的性质对比-8-/9 则(1)2122|1cosbPFPF.(2)122cot2PF FSb.12、设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.13、已知双曲线22

26、221xyab（a0,b0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A、B 两点,点C 在右准线 l 上，且 BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17、双曲线焦三角形中,其焦点所

27、对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.八、抛物线的常用结论：xcbyay2顶点)244(2ababac.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x

28、轴y轴顶点（0,0）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF重要!高中数学圆锥曲线-圆锥曲线的性质对比-9-/9 圆锥曲线的性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 ab0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0 y2=2px p0 范围x-a,a y-b,b x(-,-aa,+)yR x0,+)y R 对称性关于 x 轴,y 轴,原点对称关于 x 轴,y 轴,原点对称关于 x 轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)【其中 c2=a2-b2】(c,0

29、),(-c,0)【其中 c2=a2+b2】(p/2,0)准线x=(a2)/c x=(a2)/c x=-p/2 渐近线y=(b/a)x 离心率e=c/a,e(0,1)e=c/a,e(1,+)e=1 焦半径PF1=a+ex PF2=a-ex PF1=ex+a PF2=ex-aPF=x+p/2 焦准距p=(b2)/c p=(b2)/c p 通径(2b2)/a(2b2)/a 2p 参数方程x=acos y=bsin，为参数x=asec y=btan,为参数x=2pt2 y=2pt,t 为参数过圆锥曲线上一点(x0 x/a2)+(y0y/b2)=1(x0,y0)的切线方程(x0 x/a2)-(y0y/b2)=1 y0 y=p(x+x0)斜率为 k的切线方程y=kx (a2)(k2)+b2y=kx (a2)(k2)-b2 y=kx+p/2k