【最新】2019-2020学年浙江省杭州市北斗联盟高二下学期期中联考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页2019-2020 学年浙江省杭州市北斗联盟高二下学期期中联考数学试题一、单选题1设集合|0AxR x或2x，1BxR x，则RAB（）A0,1B0,2C1,2D1,2【答案】A【解析】根据补集运算可得0,2RA，解绝对值不等式可得1,1B，再根据交集运算可得结果.【详解】因为|0AxR x或2x，所以0,2RA，因为1BxR x1,1，所以RAB0,1.故选：A.【点睛】本题考查了集合的补集、交交集运算，考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.2双曲线2244xy的焦点坐标为()A(3,0)B(0,3)C(0,5)D(5,0)【答案】D【解析】利用双曲线方程，化为标准方

2、程，然后求解双曲线的焦点坐标【详解】双曲线 x24y24，标准方程为：2214xy，可得 a2，b1，c5，所以双曲线的焦点坐标：（5，0）故选：D【点睛】第 2 页 共 20 页本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力3设实数x，y满足1020210 xyxyxy，则xy的最小值为（）A-2 B-1 C0 D1【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，再令zxy，化目标函数zxy为yxz，由直线在y轴的截距的范围确定目标函数的最值即可.【详解】由约束条件作出可行与如图，令zxy，则yxz，因此求xy的最小值，即是求直线yxz在y轴截距的最大值，平移直线l，由图可知，

3、当l过点（0,1）时，直线yxz截距最大，即011minz.故选：B【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，再化目标函数为直线的斜截式方程即可求解，属于基础题型.4已知复数12zii（i为虚数单位），则1z（）A2551iB2155iC2155iD2155i【答案】D【解析】先化简2zi，再化简112zi即可得出结果.【详解】12zii,2zi,211122222555iiziiii,故选：D 第 3 页 共 20 页【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.5已知21cos2fxxx,fx为fx的导函数，则fx的图象是（）ABCD【答案】A【解析】先求得函数f

4、x的导函数fx，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】依题意sinfxxx，令sinh xxx，则1coshxx.由于00f，故排除 C 选项.由于01 120h，故fx在0 x处导数大于零，故排除 B,D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.6设 a，b 是两条直线，表示两个平面，如果a，/，那么“ab”是“b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当ab时，可能有 b/、b、b与相交但不垂直、b四种情况，；当b时，根据直线与平面垂直的判定和性质可得ba，再

5、根据必要不充分条件的概念可得答案.【详解】如果a，/，当ab时，b/或b或b与相交但不垂直或b，如果a，/，当b时，可得b，可得ba，第 4 页 共 20 页所以“ab”是“b”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了必要不充分条件，考查了直线、平面的平行与垂直关系，属于基础题.7若平面向量a，b，c满足2a，4b，4a b，3cab，则cb的最大值为（）A2 133B2 133C733D733【答案】A【解析】可根据题意，把cb重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得：()(2)cbcabab，2222|2|(2)|4|444 164452

6、abababa b|2|2 13ab，2222|()()(2)|()(2)|cbcbcababcabab22|2|2|2|cos,2cababcababcab ab352232 13cos,2cabab554 39cos,2cab ab554 3925222 1333(2 133)即cb2 133故选：A.【点睛】本题主要考查根据已知向量的模，求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点，属于中档题.8已知长方体1111ABCDA B C D的底面AC为正方形，1AAa，ABb，且 ab，侧棱1CC上一点E满足13CCCE，设异面直线1A B与1AD，1A B与

7、11D B，AE与第 5 页 共 20 页11D B的所成角分别为，则ABCD【答案】A【解析】根据题意将异面直线平移到同一平面，再由余弦定理得到结果.【详解】根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然，(0,2，因为ab，异面直线1A B与1AD的夹角即角1AD C，根据三角形1AD C中的余弦定理得到222211cos21()ababa，故(0,)3，同理在三角形1A DB中利用余弦定理得到：22211cos222()1baabb，故(,)32，连接 AC，则 AC 垂直于 BD，CE 垂直于 BD，AC 交 CE 于 C 点，故可得到BD 垂直于面 ACE，进而得到BD 垂直于 A

8、E，而 BD 平行于11D B.从而得到2，故.故答案为A.【点睛】这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.9下列命题正确的是()A若lnln2abab，则0abB若lnln2abab，则0ba第 6 页 共 20 页C若lnln2abba，则0abD若lnln2abba，则0ba【答案】C【解析】构造函数lnfxxx，利用导数求得函数fx的单调性，由此判断出正确的选项.【详解】根据对数函数lnyx的定义域可知,0a b.构造函数ln0fxxx x，110fx

9、x，故fx在0,上是增函数.故当lnln2abba，即lnlnnaabbbl bb时，根据单调性可知0ab.故选 C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10 已知数列na满足：1102a，1ln 2nnnaaa.则下列说法正确的是（）A2020322aB2020312aC2020112aD2020102a【答案】C【解析】构造函数()ln(2),(0,2)f xxxx，利用导数判断函数的单调性，可得1na，结合()fx 的单调性和数列na的递推式可得1231012naaaa，可得出选项【详解】令ln 202fxxxx，由111022x

10、fxxx可得fx在0,1上单调递增，由0fx可得fx在1,2单调递减，且11fxf，可得1na，又11f恒成立，若1na，则数列na为常数列，不满足1102a，所以1na，且10ln 2ln2fe，211102afafa，则3212()()af af aa，4323()()af af aa，依些递推，得1231012naaaa，第 7 页 共 20 页所以2020112a，故选：C【点睛】本题考查了数列和导数的综合问题，考查了学生利用导数判断函数的单调性，同时考查了学生转化问题的能力和计算能力，属于难题.二、填空题11祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂

11、势既同，则积不容异”，称为祖暅原理.利用这个原理求半球O 的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_，表面积为_.【答案】23(32)【解析】由题意可知，此几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，所以体积等于圆柱体积的三分之二，表面积等于圆柱的底面面积加侧面面积，再加上圆锥的侧面面积.【详解】解：由题意知，此几何体为一个圆柱中挖去一个圆锥，底面半径为1，高为 1的几何体，所以几何体的体积为22211=33几何体的表面积为211+2121 1(32)2故答案为：23；(32)第 8 页 共 20 页【点睛】此题考查了由几何体的三视图求体积和表面积，属于基础题.12 若函数

12、的1,2ln,xm xefxxx xe的值域是1,e，其中 e 是自然对数的底数，则实数 m 的最小值是 _.【答案】312e【解析】利用导数可求得当xe时，函数fx的值域是1,e；当xe时，函数的值域是,2em，从而可得,2em1,e，进而可得结果.【详解】当xe时，1(ln)10,xxx此时函数fx在,e上递增，值域是1,e.当xe时，12xm是减函数，其值域是,2em.因为函数1,2,xm xefxxlnx xe的值域是1,e，所以,2em1,e.于是1,2eme解得312em，即实数m的最小值是312e.故答案为：312e.【点睛】第 9 页 共 20 页本题主要考查分段函数的值域问题

13、，以及利用导数求函数的最值，考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.13已知椭圆22221(0)xyabab长轴的右端点为A，其中 O 为坐标原点若椭圆上不存在点P，使 AP 垂直 PO，则椭圆的离心率的最大值为_.【答案】22【解析】由AP垂直PO，可得P点满足方程22yaxx，代入椭圆22221(0)xyabab得222322()0baxa xa b在(0，a)上有解，据此能求出椭圆的离心率e的范围其补集即为不存在点P，使AP垂直PO时的离心率，可得离心率的最大值【详解】设点00,P xy，假设 AP垂直 PO，根据题意得，点P 在圆22222aaxy上

14、，2200222200010 xyabxaxy，整理得222322000abxa xa b，即222()()0 xaabxab解得2022abxab，或0 xa（舍去）又因为00 xa，2220abaab，化简得：2212ca，22e，又因为01e，第 10 页 共 20 页212e，若椭圆上不存在点P，使 AP 垂直 PO，椭圆离心率的取值范围为202e即椭圆离心率的最大值为22故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查满足AP 垂直 PO 的点 P 的轨迹方程，一元二次方程的根，属于中档题14若不等式210 xaxxa在x的定义域内恒成立，则3a的取值范围是_.【

15、答案】33 30,2a【解析】讨论0a成立，0a时，1yxa与2yx的图象有一个交点，如图1，不成立，0a时，计算得到3210 xa x，令321fxxa x，根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】当0a时显然成立；当0a时，不等式化为21xaxxa，当0 x时显然成立，而当0 x时1yxa与2yx的图象有一个交点，如图1，其横坐标记为t，渐近线xa在y轴右侧，在交点左侧.当xt时，0ax，210 xxa，矛盾，故0a不成立.当0a时，不等式化为21xaxxa.当0 x时显然成立，而当0 x时，注意到yax与2yx交于点2,a a.第 11 页 共 20 页当 xa 时不等式21xaxxa

16、显然成立，只需考虑0ax时的不等式，此时2yx在yax图象下方，为保证0ax时不等式成立，需如图2所示，1yxa必须在yax上方，于是去绝对值得210 xaxxa，即3210 xa x.令321fxxa x，0ax，223fxxa，则fx在,3aa上单增，在,03a上单减，故03af恒成立，解得33 32a.综上，33 30,2a.故答案为：33 30,2a.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题关键，意在考查学生的分类讨论的能力，综合应用能力.三、双空题15已知圆 M 的半径长是r，圆心坐标是0,0 x.若直线230 xy与圆 M 相切于点3,3A，则0 x_，

17、r_.【答案】923 52【解析】由过切点的半径与切线垂直可求得0 x，然后由两点间距离求得r.【详解】第 12 页 共 20 页由题意031132x，解得：092x，所以2293 5(3)(30)22r，故答案为：92；3 52【点睛】本题考查圆的切线的性质，掌握切线性质是解题关键，考查计算能力，属于基础题.性质：过切点的半径与切线垂直.16在ABC中，内角,A B C所对的边分别是,a b c.若sinsinbAaC，1c，则b_，ABC面积的最大值为_.【答案】112【解析】由正弦定理，结合sinsinbAaC，1c，可求出b；由三角形面积公式以及角 A的范围,即可求出面积的最大值.【详

18、解】因为sinsinbAaC，所以由正弦定理可得baac，所以1bc;所以111S222ABCbcsinAsinA，当1sinA，即90A时，三角形面积最大.故答案为(1).1 (2).12【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.17若正实数a、b满足23abab，则ab的最小值为 _；a b的最小值为_【答案】2452 6【解析】由已知条件得出321ab，利用基本不等式可求得ab的最小值，将代数式a b与32ab相乘，展开后利用基本不等式可求得a b的最小值.【详解】正实数a、b满足23abab，321ab，由基本不等式得323 22 612

19、aba bab，可得24ab，当且仅当23ab时，等号成立，即ab的最小值为24.第 13 页 共 20 页由基本不等式得32323255252 6babaababababab，当且仅当2223ab时，等号成立，即a b的最小值为52 6.故答案为：24；52 6.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及1的妙用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题18已知函数2()2sincos12sinf xxxx.（）求()f x 的最小正周期；（）求()f x 在区间,34上的最大值与最小值.【答案】()；()最大值2，最小值为312.【解析】试题分析：（）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅

20、助角公式化简2sin24fxx，根据周期公式可得结果；（由34x，可得5321244x，结合正弦函数的图象可得8x时，fx取得最大值2，3x时，fx的最小值为312.试题解析：（）sin2cos22sin24fxxxx，所以fx的最小正周期为.（）因为34x，所以5321244x.当242x，即8x时，fx取得最大值2；当52412x，即3x时，2231sincos3332fxf.即fx的最小值为312.19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB平面ABCD，第 14 页 共 20 页,45PBPCABC，点E是线段PA上靠近点A的三等分点（1）求证：ABPC（2）若PA

21、B是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值【答案】（）见解析;（）37.【解析】试题分析：（）由平面PAB面ABCDPO面ABCD再证POBPOCOBOCOCABAB面POCABPC；（）建立空间坐标系，求得面PBC的法向量为4333,3,1,1,cos,337n DEnDEn DEn DE.试题解析：（）作POAB于O,连接OC，平面PAB平面ABCD，且PABABCDAB面面，PO面ABCD.PBPC，POBPOC,OBOC，又45ABC，OCAB又POCOO,由，得AB面POC，又PC面POC，ABPC.（）PAB是边长为2的等边三角形，3,1POOAOBOC如图建立

22、空间坐标系，0,0,3,1,0,0,0,1,0,1,0,0PBCA第 15 页 共 20 页设面PBC的法向量为,nx y z，1,0,3,1,1,0PBBC300n PBxzn BCxy，令3x，得3,3,1n1131,0,3,0,333APAEAP，1,1,0CBDA43,1,33DEDAAE，设DE与面PBC所成角为4 333333sincos,7163133 199n DEn DEn DE直线DE与平面PBC所成角的正弦值37.20已知数列na满足11(33)461,nnnanaanNn.（1）证明：数列2nan是等比数列；（2）令132nnnba，用数学归纳法证明：122412,52

23、1nnnbbbnnNn【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）由数学归纳法的证明步骤，先证明2n时，不等式成立；再假设当(2)nk k时，不等式成立，然后证明1nk时不等式成立即可.【详解】证明：（1）令2nnacn，则11334623322233111nnnnnnnannaaanccnnn nn，第 16 页 共 20 页11210ca，0nc，即13nncc，数列nc是等比数列，故2nan是等比数列；（2）由（1）得123nnan，132nnan，1312nnnban，下面用数学归纳法证明当2n，*nN时，12241521nnnbbbn当2n时，

24、不等式的左边341173412bb，右边413555，而73125，2n时，不等式成立；假设当(2)nk k时，不等式成立，即12241521kkkbbbk；当1nk时，1 11 22(1)12221221kkkkkkkkkbbbbbbbbb4111152121221kkkk411522141521415211kkkk当1nk时，不等式也成立由可得，当2n，*nN时，12241521nnnbbbn【点睛】本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了数学归纳法，属中档题.21已知抛物线2:Cyx，过点(1,2)M的直线l交 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在点 A第 17 页 共 20 页处的

25、切线与在点B 处的切线交于点P（1）若直线l的斜率为1，求AB；（2）求PAB面积的最小值【答案】（1）10AB；（2）PAB面积的最小值为2【解析】试题分析：（1）直线l的方程为1yx，代入2:Cyx消去 y，求出方程的根，即可求出AB；（2）设直线l的方程为(1)2yk x，代入2:Cyx消去 y，整理得：220 xkxk，利用韦达定理，结合弦长公式求出AB，表示出点P 的坐标到直线l的距离，即可求出PAB面积的最小值为试题解析：（1）设点1122(,),(,),A xyB xy由题意知，直线l的方程为1yx，由21yxyx消去 y 解得，1152x，2152x所以151521022AB（

26、2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)2yk x，设点1122(,),(,),A xyB xy2(1)2yk xyx消去 y，整理得：220 xkxk，12xxk，122x xk，又，所以抛物线2yx在点 A，B 处的切线方程分别为2112yx xx，2222yx xx第 18 页 共 20 页得两切线的交点(,2)2kPk，所以点 P 到直线l的距离224821kkdk又222212121()41?48ABkxxx xkkk设PAB的面积为 S，所以2311?(2)4)224SABdk（当2k时取得等号）所以PAB面积的最小值为2【考点】1、弦长公式；2、直线与抛物线的位置关系；3

27、、面积的最值问题【思路点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系、弦长的求法、面积的求法等，属于难题；主要考查抛物线的综合应用，解题是要理清条件和待求的量之间的关系；直线和圆锥曲线联立时一定要细心不出错，点到直线的距离公式，弦长公式2212121()4ABkxxx x的正确运用是解答本题的关键，先表示出三角形的面积，再根据二次函数的最值求得面积的最小值22设,a bR，已知函数()lnfxax，2()g xxbxb.（）设2()()xf xF xa，求()F x在,2 aa上的最大值.（）设()()()G xf xg x，若()G x的极大值恒小于0，求证：4abe.【答案】（）max1l

28、n04()12ln 24aaF xaa,（）证明见解析【解析】（）对函数()F x求导，得出()F x的单调性，因为()F x在区间1(0,)e单调递减，在区间1(,)e单调递增，所以函数()F x在闭区间,2 aa上的最大值就是区间,2 aa端点的函数值中最大的一个，利用作差法比较它们的大小，即可得到函数()F x在,2 aa上的最大值.（）利用导数求出函数()G x的极大值2111G()lnxaxxab，构造函数2()lnK xaxxab，(0,)2ax，利用导数得出3()()ln0222aaaK xKab，从而得到3ln22aaba，第 19 页 共 20 页5ln222aaaab，通过

29、换元并构造函数()ln5m tttt，利用导数得出函数()m t的最大值，即可证明4abe.【详解】（）由题知0a，1()(1ln)Fxxa当10 xe时，()0Fx；当1xe时，()0Fx从而()F x的单调递增区间是1(,)e，递减区间是1(0,)e从而，max()max(2),()F xFaF a,于是2(2)()ln 4lnln 4FaF aaaa；当14a时，(2)()FaF a，所以max()(2)2ln 2F xFaa;当104a时，(2)()FaF a，所以max()()lnF xF aa；综上所得max1ln04()12ln 24aaF xaa（）依题知2G()ln(1)xa

30、xxb x，则22()2(0)axbxaG xxbxxx，因为()G x存在极大值，则关于x 的方程220 xbxa，有两个不等的正根，不妨12xx，则122ax x，得0a，且102ax,设2()2p xxbxa列表如下：x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x()p x+0 0+()G x+0 0+第 20 页 共 20 页()G x单调递增极大值单调递减极小值单调递增从而极大值21111()ln(1)G xaxxb x，又211(2)bxxa，从而2111G()ln0 xaxxab，对102ax恒成立,设2()lnK xaxxab，(0,)2ax，则22()axKxx因为2(,)20 xa，所以22()0axK xx所以()K x在(0,)2a上递增，从而3()()ln0222aaaK xKab所以3ln22aaba，55lnln22222aaaaaaba,设,(0)2att，则()ln5m tttt，又()4lnm tt.若4(0,)te，()0m t；若4(,)te，()0m t；从而44444()()ln5m tm eeeee，即4abe.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数在给定区间的最值以及证明不等式，考查学生的计算和推理能力，属于难题.