【最新】2020届浙江省绍兴市柯桥区高三下学期6月高考适应性考试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 22 页2020 届浙江省绍兴市柯桥区高三下学期6 月高考适应性考试数学试题一、单选题1 已知全集2,1,0,1,2U，集合1,0,1A，集合0,1,2B则UCBA（）A2B0,1C2,1,2D2,1,0,1【答案】C【解析】先写出AB，根据补集运算即可.【详解】由 1,0,1,0,1,2AB所以0,1AB，所以()2,1,2UCAB.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集与补集，属于基础题.2若曲线C：221xym的离心率为2，则 m 等于（）A1 B2C21D2【答案】A【解析】由双曲线方程结合隐含条件求得c，再由离心率列式求解m 值【详解】由曲线 C：221xym，得0m

2、，且2am，21b221cabm，则12cmeam，解得1m故选：A【点睛】第 2 页 共 22 页本题考查双曲线的简单性质，考查离心率的求法，是基础题3若实数x，y满足3102340220 xyxyxy，则2xy的最小值是（）A3B1C0 D2【答案】B【解析】画出约束条件的可行域，求出最优解，然后求解即可【详解】解：由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，平移直线 20 xy，当直线经过可行域的C时，目标函数的截距取得最小值，此时2xy取得最小值由220310 xyxy解得(0,1)C，2xy的最小值为：1，故选：B【点睛】本题考查线性规划的简单应用，求出目标函数的最优解的

3、解题的关键，属于基础题4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）第 3 页 共 22 页A18 B36 C54 D108【答案】B【解析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体DABC如图所示：所以：1166 63632V故选：B【点睛】本题主要考查了三视图和直观图形之间的转换，几何体的的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型5已知 a，bR，则“22ab”是“|ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B 第 4 页 共 22 页【解析

4、】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质，进行判断即可.【详解】解：若2,1ab，此时22ab成立，而|ab不成立，而|ab时，由不等式的性质，两边平方得，22ab，所以“22ab”是“|ab”的必要不充分条件，故选：B【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决此题的关键，属于基础题.6在同一个坐标系中，函数1()xf xa与()lgag xx的图象可能是（）ABCD【答案】A【解析】由题意结合函数1()xf xa、()lgag xx的图象特征，逐项排除即可得解.【详解】由题意0a且1a，所以函数()lgag xx单调递减，故排除B、D；对于 A、C，由函数1()x

5、f xa的图象可知01a，对于函数()lgag xx，第 5 页 共 22 页(1)lg0ga，故A正确，C错误.故选：A.【点睛】本题考查了指数函数、对数函数图象与性质的应用，考查了函数图象的识别，属于基础题.7设 a，b 为正数，已知随机变量X 的分布列如下表格，则（）X012paabAE X有最大值，D X有最大值BE X有最大值，D X无最大值CE X无最大值，D X有最大值DE X无最大值，D X无最大值【答案】C【解析】先根据期望和方差的公式，计算出E X和D X，然后再分析最大值即可.【详解】由题意易知，21ab，12ba，01222(1 2)23E Xaababaaa，因为0a

6、，所以E X无最大值，021222D Xabaabaabb021222abaabaabb2222222aabaaabbabb222ababb264aa2327648a，第 6 页 共 22 页当34a时，D X有最大值278.故选：C.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.8在ABC中，90C，3AB，2AC，O 为ABC所在平面内一点，并且满足230OAOBOC，记1IOA OB，2IOB OC，3IOC OD，则（）A123IIIB213IIIC132IIID312III【答案】A【解析】令,AC BC的中点分别为,M N，则将230OAO

7、BOC可化简为20OMON，于是O为线段MN的靠近N的三等分点，然后建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算公式分别计算3 个数量积即可得出结论【详解】9032CABAC,，5BC，又230OAOBOC，20OAOCOBOC，设AC的中点为M，BC的中点为N，则2OAOCOM，2OBOCON，20OMON，O为线段MN的靠近N的三等分点，以C为原点，以CACB，分别为,x y轴建立如图所示的平面直角坐标系，第 7 页 共 22 页则152 0050 033ABCO,，551 2 515,333333OAOBOC，123510511055109939999III,123III.故选：A【点睛】本题考

8、查了平面向量共线定理的应用以及数量积运算，解答本题确定O点位置是解题关键，本题属于中档题9设 a，bR，函数3221,0,0 xaxax xfxxx，若函数g xfxaxb有四个零点，则（）A0a，0bB0a，0bC0a，0bD0a，0b【答案】C【解析】依题意，函数322(1),0(),0 xaxxG xxax x的图象与直线yb有四个交点，取特殊值，不妨取2a，作出函数()G x的图象，观察图象即可得出结论【详解】解：依题意，函数322(1),0(),0 xaxb xg xxaxb x有四个零点，即函数322(1),0(),0 xaxxG xxax x的图象与直线yb有四个交点，第 8 页

9、 共 22 页若0a，不妨取2a，则3223,0()2,0 xxxG xxx x，当0 x时，2()363(2)G xxxx x，此时函数()G x在(,2)单调递减，在(2,0)单调递增，当0 x时，2()2G xxx 在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增，作出函数()G x的图象如下图所示，由图象可知，当0b时，可以满足条件，结合选项可知，选项C满足题意若0a时，当0 x时32()(1)G xxax，则2()32(1)321G xxaxxxa，令()0G x，解得0 x或213ax，当10a时，函数在21,3a上单调递减，21,03a上单调递增，当1a时函数在,0上单调递减，当0 x时

10、2()G xxax，对称轴为02ax，函数在0,上单调递增，且00G，所以直线yb与函数G x最多两个交点，故0a不成立；故选：C【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，将问题转化为函数322(1),0(),0 xaxxG xxax x第 9 页 共 22 页的图象与直线yb有四个交点，然后通过取特殊值，采用数形结合是解决本题的关键，属于中档题10 如图，在矩形ABCD中，将ACD沿AC翻折至ACD，设直线AD与直线BC所成角为，直线AD与平面ABC所成角为，二面角ACDB的平面角为，当 为锐角时（）ABCD【答案】D【解析】根据几何体的对称性将二面角ACDB的平面角等价于二面角CABD的平面

11、角，直线AD与直线BC所成角等价于直线AD与直线AD所成角；过点D做垂线，分别找到，根据直角三角形中边的大小关系，结合利用其正弦余弦值，即可比较其大小.【详解】根据几何体的对称性知道二面角ACDB的平面角等于二面角CABD的平面角.作D E平面ABCD于点E，则D EAB.作D FAB于点F，连接EFAE，.由于D ED FD，则AB平面D EF.故ABEF，则D FE即为二面角CABD的平面角，即=D FE.由于D E平面ABCD，则ED A即为直线AD与平面ABC所成角.即D AE.由于D FAB，则D FD A，而sinD ED F，sinD ED A，则sinsin，又因为为锐角，即.

12、由于四边形ABCD为矩形，则AD/BC，故直线AD与直线BC所成角等于直线AD与直线AD等于所成角，第 10 页 共 22 页即D AD.作D GAD于点G，连接EG，则EGAD，而EFAB，则四边形AFEG 为矩形，则AGEF.在AD G中，cosAGAD;在D EF中，cosEFD F.而ADD F，则coscos，又因为锐角，所以.故.故选:D.【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，属于中档题.解本题的关键在于将所要比较的几个角放在一起，再利用角的正余弦值的大小关系来比较角的大小.二、双空题11 已知复数z满足121i z（i 为虚数单位），则复数z_，z_.【答案】1255i55【

13、解析】根据复数z满足121i z，利用复数的除法求解即可.然后利用复数的模的模的公式求解.【详解】因为复数z 满足1 21i z，所以11+212=+12121255iziiii，所以22125=+555z，故答案为：1255i；55第 11 页 共 22 页【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12函数2sin2 2 cos42xyx的最小正周期为_，最大值为 _.【答案】212【解析】由辅助角公式、二倍角公式对所给解析式进行整理可得sin24yx，从而可求最小正周期和最值.【详解】解：21cossin2 2 cossincoscos sin2 24

14、2442xxyxxx2222sincos22 cossincos2sin222224xxxxxx，当2,42xkkZ时，函数有最大值，为12，所以最小正周期为2，最大值为12.故答案为:2;12.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了三角函数的性质.本题的关键是对解析式进行整理化简.13已知二项式5baxx（0a，0b）关于 x 展开式中，所有项的项系数之和为 32，设展开式中x 和2x的系数之和分别为m，n，若2mn，则a_，b_.【答案】4 2【解析】由题意利用二项式系数的性质，求得所有项的系数之和为(a-b)5=32,再根据通项公式求得a=2b，由

15、求得a、b 的值.【详解】因为二项式5baxx（0a，0b）关于 x 展开式中，所有项的项系数之和为32，第 12 页 共 22 页令1x，5()32ab，设展开式中的通项公式为5 35215()rrrrrTCbax，令5312r，解得1r，可得x的系数为45mb a，令5322r，解得3r，可得2x的系数为3210nba，若2mn，则432520b aba，即2ab则由 解得4,2ab，故答案为：4；2【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.14已知圆 C 的圆心在直线0 xy上，且与直线2yx相切于点1,2P，则圆 C的圆心坐标为_，半径为

16、 _.【答案】5,53 5【解析】根据题意，设圆C 的圆心坐标为,m n，半径为r，分析可得02112mnnm，解可得 m、n 的值，即可得圆心的坐标，求出PC的值，可得圆的半径，即可得答案【详解】根据题意，设圆C 的圆心坐标为,m n，半径为r，又由圆 C 的圆心在直线0 xy上，且与直线2yx相切于点1,2P，则有02112mnnm，解可得55mn，即 C 的坐标为5,5，则圆的半径22(1 5)(25)3 5rCP；故答案为：5,5；3 5第 13 页 共 22 页【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题三、填空题15 从 4个男生和6 个女生的10 个候选

17、人中，挑选 3 人分别担任“班长”，“副班长”和“体育委员”，要求 3 人中至少有2 个男生，这样的挑选方法共有_种.【答案】240【解析】根据题意，分2 步进行分析：先从 10 人中任选3人，要求至少有2 个男生，将选出的 3 人全排列，分别担任“班长”，“副班长”和“体育委员”，由分步计数乘法原理计算可得答案【详解】根据题意，分2步进行分析：先从 10人中任选3 人，要求至少有2 个男生，有21346436440C CC种情况，将选出的3 人全排列，分别担任“班长”，“副班长”和“体育委员”，有336A种情况，由分步乘法计数原理知，则有406240种不同的挑选方法；故答案为：240【点睛】

18、本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题16已知椭圆C 的两个焦点为11,0F，21,0F，过1F的直线与椭圆C 交于 A、B两点，若113BFAF，2ABBF，则 C 的方程为 _.【答案】2212xy【解析】设1AFx，根据题意以及椭圆的定义可得，1223,23,2BFx BFax AFax，根据勾股定理可得，2224232xaxax，22232324xaxc，即可解出2a，然后根据,a b c的关系求出2b，从而得到C 的方程【详解】第 14 页 共 22 页如图所示：设1AFx，1223,23,2BFx BFax AFax因为2ABBF，所以2224232xaxax

19、，22232324xaxc，而1c，解得22a，又2221bac，所以 C 的方程为2212xy故答案为：2212xy【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法以及几何性质的应用，属于基础题17已知函数1xfxxaeb，若存在bR，对于任意1,2x，都有2efx，则实数a 的取值范围是_.【答案】11,1ee【解析】设()(1)xg xxae，问题转化为对于任意1,2x，都有maxmin()()g xg xe，利用导数研究()g x的最值，建立关于a的不等式即可求解.【详解】设()(1)xg xxae，由 b 的任意性，结合题意可知，对于任意1,2,()22eexf x，即maxmin()()g x

20、g xe，又()()xg xxa e，易知函数()g x在(,)a单调递减，在(,)a上单调递增，当1a时，()g x在1,2上单调递增，则2maxmin()(2)(1),()(1)g xga eg xgae故2maxmin()()(1)g xg xa eaee，解得1a，此时无解.当2a时，()g x在1,2上单调递减，第 15 页 共 22 页则2maxmin()(1),()(2)(1)g xgaeg xga e故2min()max(1)g xaea ee，解得121eae当12a时，()g x在上单调递减，在(,2a上单调递增，则minmax()(),()max(1),(2)ag xg

21、aeg xgg,故只需(1)()agg aeaee且2(2)()(1)agg aea ee记函数()am aeaee，则()0am aee，函数()m a在(1,2)上递增，则2()(2)3(3)0m ameee e，记函数2()(1)an aea ee则2()0an aee，函数()n a在(1,2)上递减，则1()(1)00n anee故当12 a时，(1)()gg ae且(2)()gg ae恒成立，满足题意，综上所述，实数a 的取值范围为11,1ee，故答案为：11,1ee【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，查了不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，考查了推理能力与计算能

22、力，属于难题.四、解答题18在四边形ABCD中，45CAB，2AB，90ACD，3BC.（1）求cos ACB的值.（2）若22DC，求对角线BD的长度.【答案】（1）7cos3ACB；（2）5.第 16 页 共 22 页【解析】（1）在ACB中，根据正弦定理可求出sinACB，再根据大边对大角可知ACB 为锐角，然后根据平方关系即可求出cosACB的值；（2）在BCD中，先根据诱导公式求出cosBCD，再根据余弦定理即可求出BD的长度【详解】（1）在ACB中，由正弦定理得：222sinsin323ABACBCABBC，因为ABBC，所以ACB 为锐角，所以27cos1sin3ACBACB（2

23、）在BCD中，2coscos 90sin3BCDACBACB，由余弦定理可得，2222cos892 2 2353BDCDBCCD BCBCD【点睛】本题主要考查正弦、余弦定理解三角形，涉及到大边对大角，平方关系，诱导公式的应用，属于基础题19如图，斜三棱柱111ABCA B C中，1112A AA BAC，33ACBC，ACBC，D 是1AA的中点.（1）证明：平面11ABB A平面ABC；（2）求直线DB与平面1A BC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）21035.【解析】(1)取 AB的中点 M，连接 CM，1A M，由已知求解三角形可得1A MAB，第 17 页 共 22

24、页1A MCM，由直线与平面垂直的判定可得1A M平面ABC，从而得到平面11ABB A平面 ABC；(2)设1A M与 BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，则.MEBC结合(1)可证得BC平面1A ME，得到平面1A ME平面1.A BC过 O 作1ONA E于 N，则OBN即为所求角，再求解三角形可得直线DB 与平面1A BC所成角的正弦值【详解】（1）取AB中点 M，连结CM，如图因为90C，故2AB，所以1CM，又因为112AAA B，所以1A MAB，且11A M，所以22211AMCMAC，所以1A MCM，所以1A M平面ABC，而1A M平面11ABB A，所以平面11AB

25、B A平面ABC（2）设1AM与BD相交于 O，过 O 作1ONA E于 N E 为BC的中点，则MEBC，所以BC 平面1A ME，所以平面1A ME平面1A BC，第 18 页 共 22 页因为1ONA E，则OBN即为所求的角，易知1A AB为等腰直角三角形，且O 为其重心，故12233AOAM，21033BOBD，又因为1AON与1A EM相似，所以112 2121AONOMEAE，所以210sin35ONOBNOB【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查了直线与平面所成角的求法，考查计算能力，是中档题20设数列na的前 n 项和为nS，na是 2 与nS

26、的等差中项，*nN.（1）求数列na的通项公式；（2）设2nnnabS，*nN，证明：12112nnbbb【答案】（1）2nna；（2）证明见解析.【解析】（1）由题设得出22nnSa，类比写出1122nnSa，两式相减得到12nnaa，并求出首项，从而得出等比数列的通项公式；（2）由（1）求出2 21nnS，所以有21112 2122 2121nnnnnnb，之后结合不等式的性质，利用等比数列求和公式，证得结果.【详解】（1）由题设得22nnSa，1122nnSa，两式相减得：12nnaa，又12a，所以数列na是公比为2的等比数列，所以12 22nnna（2）由（1）得，2 21nnS，第

27、 19 页 共 22 页解法 1：所以2221112 2122 212 2121nnnnnnnnb，所以12211111112211222212nnnnbbb不等式12112nnbbb对任意*nN都成立解法 2：数学归纳法，（）当1n时，左边13，右边11122，不等式成立，（）假设nk时，不等式成立，即12112kkbbb，则111212211121211222 212 2121kkkkkkkkkbbbb111111111222 21222kkkkk1111111222kkk.由（）、（）可知，不等式12112nnbbb对任意*nN都成立【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等

28、差中项的特征，利用递推公式求数列的通项公式，等比数列求和公式，放缩法证明不等式，属于中档题目.21已知0m，抛物线C：22ymx的焦点到直线l：40mxy的距离为55.（1）求 m 的值.（2）如图，已知抛物线C的动弦AB的中点 M 在直线 l 上，过点 M 且平行于x 轴的直第 20 页 共 22 页线与抛物线C 相交于点N，求ABN面积的最大值.【答案】（1）2m；（2）16.【解析】(1)列出抛物线的焦点到直线l 的距离公式即可求解；(2)设出直线AB的方程与抛物线联立，即可得出点M,N 坐标，求出点N 到直线AB的距离及弦AB的长度，即可表示出ABN的面积，结合二次函数的性质即可求解.

29、【详解】（1）抛物线C 的焦点,02mF.由题设得，2255216mm，解得24m，因为0m，所以2m（2）设直线AB方程为xtyn，代入抛物线方程24yx得，2440ytyn，则216160tn，设11,A x y，22,B xy，00,Mxy，则124yyt，所以12022yyyt，2002xtyntn，因为点 M 在 l 上，则有0020 xy，即242ntt，将代入得240tt，解得04t，易得 N 的坐标为2,2tt，则点 N 到直线AB的距离222222411ttnttdtt，22222221212121161614 41ABxxyytyytntttt第 21 页 共 22 页，所

30、以33222212 4224162NABSABdttt，当2t时取到等号，所以NAB面积的最大值为16【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式及直线与抛物线的位置关系，属于能力提升题.22已知函数1xefxx，ln1g xkxe（1）求fx在0,上的单调性；（2）若fxg x在0,上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）fx在0,上单调递增；（2）0,1k.【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解;(2)结合反证法，利用函数与导数关系及函数的性质即可求解.【详解】（1）21xxxeefxx，令1xxxxee，则0 xxxxxexeexe，所以x在0,的单调递增所以00

31、x，所以0fx，所以fx在0,上单调递增（2）假设k0，设1ln1xeh xkxex，则h x在0,单调递增，由（1）可知，当0.1x时，112xeex，当21ekxe时，2ln1xek，所以210min0.1,ekxe时，010002ln120 xeh xkxekxk，与题设矛盾，所以0k，又1110hek e，所以1k第 22 页 共 22 页下面证明当01k是符合题意的，设1ln1xeFkxekx，0,1k，要使0F k恒成立，必须0010FF，即101ln10 xxexexex，当0 x时，显然成立，设1ln1xexxex，则211xxexx，所以x在0,1单调递减，在1,单调递增，故10 x，即也成立，综上，k 的取值范围是0,1k【点睛】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用，属于难题.