【精准解析】山东省泰安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题.pdf

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1、-1-高二年级考试数学试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列有关不等式的推理（1）abba（2）abacbc（3）,0ab cacbc（4）22abab其中，正确推理的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质，对选项进行一一判断，即可得到答案.【详解】对（1），满足不等式的传递性，故（1）正确；对（2），满足不等式的可加性，故（2）正确；对（3），不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，故（3）正确；对（4），只有当两个数都是正数的时候，才能成立，故（4）错误.故

2、选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查对概念的理解，属于基础题.2.“120 xx”是“1x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次方程，再利用集合间的关系进行判断，即可得到答案.【详解】120 xx，“1x或2x”，“1x或2x”推不出“1x”，而后面可以推前面，-2-“120 xx”是“1x”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查简易逻辑的知识，求解时注意将问题转化为集合之间的关系.3.已知抛物线2:Cyx的焦点为F，00(,)A xy是C上一点，05|4AFx，则0 x（）A.4B.2C.1D.8【答案

3、】C【解析】点 A 到抛物线的准线：14x的距离为：014dx，利用抛物线的定义可得：001544xx，求解关于实数0 x的方程可得：01x.本题选择C 选项.4.若1231,4a aa成等比数列，1233,5b b b成等差数列，则22ab的值为（）A.12B.12C.2D.12【答案】B【解析】【分析】根据等比中项和等差中项的性质，可分别求得2a、2b的值，进而得到答案.【详解】2221 42aa，221aaq，20a，22a，222354bb，2212ab.故选：B.【点睛】本题考查等比中项和等差中项的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考-3-查运算求解能力，求解时注意判断20a

4、.5.如图，底面是平行四边形的棱柱ABCDA B C D，O是上底面的中心，设,ABa ADb AAc，则AO（）A.111222abcB.1122abcC.12abcD.12abc【答案】B【解析】【分析】利用空间向量加法和减法的几何意义、数乘向量，以,a b c为基底，利用空间向量基本定理，将AO表示出来.【详解】1111()2222AOACC OabcACabcababc.故选：B【点睛】本题考查空间向量加法和减法的几何意义、数乘向量，考查运算求解能力，求解时注意基底的选择.6.等比数列na中，38a，61a，则数列2logna的前n项和的最大值为（）A.15B.10C.1218D.21

5、21log8【答案】A【解析】【分析】由38a，61a，可得215181a qa q求出首项与公比的值，可得等比数列na的通项，从而可-4-得2log6nan，可判断第七项以后的每一项都是负数，可得nb前6项或前 5 项和最大，从而可得结果.【详解】设首项为1a，公比为q，则21151328112aa qqa q，612nna，2log6nan，60b，即第七项以后的每一项都是负数，所以nb前6项或前 5 项和最大，最大值为165650661522bbSS，故选 A.【点睛】本题主要考查等比数列通项公式基本量的运算以及等差数列的性质，属于中档题.求等差数列前n项和的最大值的方法通常有两种：将前

6、n项和表示成关于n的二次函数，nS2AnBn，当2BnA时有最大值（若2BnA不是整数，n等于离它较近的一个或两个整数时nS最大）；可根据0na且10na确定nS最大时的n值.7.已知0,0ab，且1ab，则49abab的最大值为（）A.124B.125C.126D.127【答案】B【解析】【分析】将等式49abab化成149()()abba，再利用基本不等式求最大值.【详解】1111494949251324 9()()13ababababbaba，等号成立当且仅当32,55ab.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，求解时注意“1”的代换.-5-8.如图，在正三棱柱1

7、11ABCA B C中，若12ABBB，则1AB与1C B所成角的大小为（）A.90 B.75 C.60 D.45【答案】A【解析】【分析】将正三棱柱组成一个底面为菱形的直四棱柱，连结1AD，11B D，则1D AB异面直线1AB与1C B所成的角，再利用勾股定理进行求解.【详解】如图所示，将正三棱柱组成一个底面为菱形的直四棱柱，连结1AD，11B D，1D AB异面直线1AB与1C B所成的角，12ABBB，设11BB，2AB，则116B D，13AD，22211111ADA BB D，190D AB.故选：A.【点睛】本题考查1AB与1C B所成角的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想

8、，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意补形法的应用.-6-9.数列na满足11221nnnnaa，且11a，若15na，则n的最小值为()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】依题意，得11221nnnnaa，可判断出数列2nan为公差是1 的等差数列，进一步可求得21a1=2，即其首项为 2，从而可得an=12nn，继而可得答案【详解】11221nnnnaa，即11221nnnnaa，数列 2nan为公差是1 的等差数列，又 a1=1，21a1=2，即其首项为 2，2nan=2+（n1）1=n+1，an=12nna1=1，a2=34，a3=12，a4=51615，a5=63

9、2=316315=15，若15na，则 n 的最小值为5，故选 C【点睛】本题考查数列递推式，判断出数列2nan为公差是1 的等差数列，并求得an=12nn是关键，考查分析应用能力属于中档题10.椭圆22221(0)xyabab的焦距为 2c，过点2,0aPc作圆222xya的两条切线，切点分别为,M N.若椭圆离心率的取值范围为12,22，则MPN的取值范围为（）A.,64B.,63C.,43D.,32【答案】D【解析】【分析】-7-由题意得2MPNMPO，利用直角三角形中正弦函数的定义可得sinMPOca，利用离心率的取值范围，求得,6 4MPO，即可得答案.【详解】在直角三角形OMP中，

10、21s2,22inOMacMPOaOPac，,64MPO，2MPNMPO，,32MPN.故选：D.【点睛】本题考查圆的切线、椭圆的准线方程，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.11.已知函数4,2xfxxg xax，若11,22x，21,3x，使得12f xg x恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.2aB.2aC.4aD.4a【答案】C【解析】【分析】由题意得：12minmaxfxg x，利用函数的单调性分别求得1min4fx，2max8g xa，代入不等式即可求得答案.【详解】由题意得：12minmaxfxg x，24()10fxx对1,22x恒成立，fx在1

11、,22单调递减，1min4fx；2xg xa 在1,3单调递增，2max8g xa，484aa.故选：C.【点睛】本题考查简易逻辑中“任意”问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查-8-逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.12.过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点F且平行于其一条渐近线的直线l与另一条渐近线交于点A，直线l与双曲线交于点B，且2BFAB，则双曲线的离心率为（）A.2 33B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用几何法先分析出AB、的坐标，B代入方程即可【详解】由图像，利用几何关系解得A,2 2c bca，因为2BFAB，利

12、用向量的坐标解得2B,33c bca，点B在双曲线上，故222222331e3e3cbcaab，故答案为C.【点睛】利用几何中的线量关系，建立a,b,c的关系式，求离心率，不要盲目的列方程式算二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知命题p：“000,10 xxR ex”，则p为_.【答案】,10 xxR ex。【解析】-9-【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题，即可得答案.【详解】命题p：“000,10 xxR ex”，p为,10 xxR ex.故答案为：,10 xxR ex.【点睛】本题考查特称命题的否定，考查对概念的理解，求解时注意存在要改成任意.14.设向

13、量,4,3,3,2,axby，且/a brr，则xy_.【答案】9.【解析】【分析】根据向量平行其坐标成比例，从而得到方程4332xy，解方程即可得到答案.【详解】/a b，6,43332.2xxyy9xy.故答案为：9.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题.15.关于 x 的不等式22280(0)xaxaa的解集为12,x x，且2112xx，则a_.【答案】2.【解析】【分析】解一元二次不等式得到解集为(4,2)aa，从而得到12,x x 的值，再带入方程2112xx，即可得答案.【详解】22280(04)(2)xxaxaaax，又0a，124,2xa xa，2122412x

14、xaaa.-10-故答案为：2.【点睛】本题考查已知一元二次不等式的解集求参数的值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.16.若双曲线221412xy的左焦点为F，点 P 是双曲线右支上的动点，已知1,4A，则PFPA的最小值是 _.【答案】9.【解析】【分析】设1F双曲线的右焦点，则1(4,0)F，再利用双曲线的定义，三角形的两边之差小于第三边，即可得答案.【详解】设1F双曲线的右焦点，则1(4,0)F，2211224(14)49PFPAaPFPAaAF，等号成立当且仅当,A P F共线.故答案为：9.【点睛】本题考查双曲线的定义、三角形的两边之差小于第三边，考

15、查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意利用定义进行转化问题.三、解答题：本题共6 个小题，共 0 分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知2:210pxx，:34qx，22:120(0)rxaxaa.（1）判断是p 是 q 什么条件；（2）如果 q 是 r 的充要条件，求a的值.【答案】（1）p是 q 的充分不必要条件；（2）1a【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，将问题转化为集合之间的关系；（2）将充要条件转化为两个集合相等，即可求得a的值.-11-【详解】（1）因为2210 xx，整理得2210 xx，解方程2210 xx，得两根121,12xx，所以

16、2210 xx的解集为1|12xx.因为1,1 3,42，所以 p 是 q 的充分不必要条件.（2）因为 q 是 r 的充要条件，所以不等式22120(0)xaxaa的解集是34xx.因此，3,4是方程22120(0)xaxaa的两根，由方程根与系数的关系（即韦达定理）得：234(3)412aa，解得1a.【点睛】本题考查充分不必要条件、充要条件的应用，考查运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系，属于基础题.18.已知等差数列na满足1210aa，432aa.（1）求数列na的通项公式；（2）设等比数列nb满足23ba，37ba，求数列nna b的前 n 项和nS.【答案】（1）*2

17、2nannN；（2）32nnSn.【解析】【分析】（1）利用基本量法，求出等差数列的首项和公差，即可求得通项公式；（2）求出等比数列12nnb，再利用错位相减法求和.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，因为43aad，所以2d.又因为1210aa，所以1210ad，解得14a.所以*42(1)22nannnN-12-（2）设等比数列nb的公差为q，因为238ba，3716ba，所以2q=，14b，所以12nnb从而2(1)2nnna bn.34512223 2422(1)2nnnSnn，4562322232422(1)2nnnSnn，由-得：3452322222(1)2nnnSn33332

18、 122(1)2212nnnnSnn所以32nnSn.【点睛】本题考查等差数列中基本量运算、错位相减法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.19.已知抛物线2:2(0)Cypx p，其准线方程为1x.准线与 x 轴的交点为M，过 M 点做直线 l 交抛物线于A、B 两点.若点 A 为 MB 中点，求直线l 的方程.【答案】43 240 xy或43 240 xy.【解析】【分析】设直线 l 的方程为1xmy，221212,44yyAyBy，将直线方程代入抛物线的方程，利用韦达定理和中点坐标公式，求得m的值，即可求出直线方程.【详解】抛物线的准线方程为1x，1,22pp抛物线

19、的方程为24yx.显然，直线l 与坐标轴不平行，且1,0M.设直线l的方程为1xmy，221212,44yyAyBy.联立直线与抛物线的方程214xmyyx，得2440ymy.-13-216160m，解得1m或1m.点 A 为 MB 的中点，2102yy，即212yy212124y yy，解得12y124yym，422 2m或422 2m.324m.直线方程为43 240 xy或43 240 xy【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、中点坐标公式、韦达定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20.如图，在三棱柱111ABCA B C中，1BC平面ABC

20、，1,2,4ABBC ABBCBB.（1）求证：AB平面11BB C C，并求1BC的长度；（2）若 M 为1CC 的中点，求二面角1AB MB的余弦值.【答案】（1）证明见解析；12 3BC；（2）22.【解析】【分析】（1）证明ABBC，1ABBC，即可证得结论；进而可求出1BC的长度；（2）如图所示，分别以1,BC AB BC所在的直线为x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系，则110,0,0,0,2,0,2,0,0,2,0,2 3,0,0,2 3BACBC，求出平面1AB M的一个法向量为1,2,3n，平面1BMB的一个法向量0,2,0BA，带入向量的夹角公式，即可得答案.-14

21、-【详解】（1）1BC平面ABC，,AB BC平面ABC，11,BCAB BCBC，1,ABBC BCBCB，1,BC BC平面11BB C C，AB平面11BB C C又2ABBC，14BB，12 3BC.（2）如图所示，分别以1,BC AB BC所在的直线为x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系，则110,0,0,0,2,0,2,0,0,2,0,2 3,0,0,2 3BACBC，易知1,0,3M，11,2,3,22 2 3AMAB，设平面1AB M的一个法向量为,nx y z，100n AMn AB，即230222 30 xyzxyz，令1x，得3,2zy，1,2,3n易知0,2,0

22、BA为平面1BMB的一个法向量则2cos2|n BAn BAnBA，由题意知：二面角1AB MB的余弦值为22【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意坐标系的建立.21.销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式1atPt；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Qbt，其中a，b为常数现将 3 万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为94万-15-元；若全部投入乙种商品，所得利润为1 万元，若将 3 万元资金中的x万元

23、投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元（1）求函数()fx 的解析式；（2）怎样将3 万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值【答案】（1）31()(3)13xf xxx，03x；（2）故对甲种商品投资2 万元，对乙种商品投资为1 万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元【解析】【分析】（1）因 为 对 甲 种 商 品 投 资x万 元，所 以 对 乙 种 商 品 投 资 为3x万 元，由 题 意 知：()(3)1axf xPQbxx，代值计算即可（2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决

24、问题【详解】解：（1）因为对甲种商品投资x万元，所以对乙种商品投资为3x万元由题意知：()(3)1axf xPQbxx，当3x时，9()4f x，当0 x时，()1f x，则394431ab，解得3a，13b，则31()(3)13xf xxx，03x，（2）由（1）可得313(1)31()(3)11313xxf xxxxx133113317(1)23133133xxxx，当且仅当2x时取等号，故对甲种商品投资2 万元，所以对乙种商品投资为1 万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题需要对知识熟练的掌握并应

25、用，属于中档题-16-22.如图，12FF、分别为椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，O 为坐标原点，121OFOF.椭圆 E 经过点31,2A.（1）求椭圆E 的方程；（2）若 B、C 是椭圆 E 上两个动点，直线AB的斜率与直线AC的斜率互为相反数，证明：直线BC的斜率为定值，并求出这个定值.【答案】（1）22143xy；（2）该定值为12，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求出,a b c的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线AB的方程为3(1)2yk x，1122,B x yC xy，将直线BC的斜率表示成关于k的表达式，从而得到定值.【详解】（1）212

26、OFOFc，1c，因为31,2A在椭圆上，所以2219114bb解得23b，234b（舍去），椭圆方程为22143xy；（2）设直线AB的方程为3(1)2yk x，代入22143xy得2223344(32)41202kxkk xk，-17-设1122,B x yC xy，因为点31,2A在椭圆上，21112341232,342kxykxkk，又直线AC的斜率与AB的斜率互为相反数，在上式中以k代 k，可得22222341232,342kxykxkk，直线BC的斜率12212121212BCk xxkyykxxxx直线BC的斜率为定值，该定值为12.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法、定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用.