【精编】人教A版高中数学必修2《三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标》教案_15.pdf

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1、直线与方程1平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上 A，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为 x1，点 B 的坐标为x2，则 A，B 两点间的距离|AB|_(2)平面直角坐标系中的基本公式：两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为d(A，B)|AB|_线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为(x，y)，则x，y.2直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴_与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角当直线 l

2、 与 x 轴_或_时，我们规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角的取值范围为 _(2)斜 率：一 条 直 线 的 倾 斜 角 的_叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k_(_)当直线平行于 x 轴或者与x 轴重合时，k_0；当直线的倾斜角为锐角时，k_0；当直线的倾斜角为钝角时，k_0；倾斜角为 _的直线没有斜率 倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k3直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a，0)的_叫做直线 l 在 x 轴上的截距，直线 l与 y 轴交点

3、(0，b)的_叫做直线l 在 y轴上的截距注：截距 _距离(填“是”或“不是”)(2)直线方程的五种形式：名称方程适用范围点斜式k 存在斜截式k 存在两点式截距式a0 且 b0 一般式平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是_的特例；截距式是_的特例(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程若 x1x2，且 y1y2时，直线垂直于x 轴，方程为 _；若 x1x2，且 y1y2时，直线垂直于y 轴，方程为 _；若 x1x20，且 y1y2时，直线即为y 轴，方程为 _；若 x1x2，且 y1y20，直线即为x 轴，方程为 _自查自纠：1(1)|x2x1|(2)()x2x12()y

4、2y12x1x22y1y222(1)正向平行重合0 90(3)y2y1x2x13(1)横坐标 a纵坐标 b不是(2)yy0k(x x0)ykxbyy1y2y1xx1x2x1 x1x2且 y1y2xayb1 AxBy C 0(A，B 不同时为 0)点斜式两点式(3)xx1yy1x 0 y0 直线xtan3 y 2 0 的倾斜角 是()A.3B.6C.23D3解：由已知可得tan tan33，因为 0，)，所以 23.故选 C.直线 l：xsin30 ycos150 10 的斜率是()A.33B.3 C3 D33解：由题意得直线l 的斜率 ksin30cos150tan3033，所以直线l 的斜率

5、为33.故选 A.过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是()A2xy120 B2xy120 或 2x 5y0 Cx 2y10 Dx 2y1 0 或 2x5y0 解：当直线过原点时所求方程为2x5y 0；当直线不过原点时，可设其截距式为xay2a1，由该直线过点(5，2)即可解得a6，对应方程为x6y121，即 2xy120.故选 B.斜率为 2的直线经过A(3，5)，B(a，7)，C(1，b)三点，则 a，b 的值分别为 _和_解：由已知得kAB75a3 2，解得a4；kACb 5132，解得 b 3.故填 4；3.若直线l 的斜率为k，倾斜角为，而 6，423，则k

6、的 取 值 范 围 是_解：因为 ktan，6，423，所以3k0，kPA0，故 k0 时，为锐角又 kPA2（1）10 1，kPB1（1）2 01，所以 1k1.又当 0k1 时，0 4；当 1k0 时，34 .故倾斜角 的取值范围为 0，434，.故填 1，1；0，434，.(2)如图所示，直线 l1的倾斜角130，直线 l1与 l2垂直，则直线l1的斜率k1 _，直线 l2的斜率 k2_解：由图可知，2190 120，则直线 l1的斜率 k1tan1tan3033，直线 l2的斜率 k2 tan2tan1203.故填33；3.点拨：直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量倾斜角是从“形

7、”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k tan联系在使用过两点的直线的斜率公式ky2y1x2x1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为 x x1.在已知两点坐标，求倾斜角的值或取值范围时，用tan ky2y1x2x1转化，其中倾斜角 0，)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题(1)(2016重庆巴蜀中学诊断)直线x(a2 1)y 1 0 的倾斜角的取值范围是()A.0，4B.3

8、4，C.0，42，D.4，234，解：依题意，直线的斜率k1a21 1，0)，因此其倾斜角的取值范围是34，.故选 B.(2)已 知 线 段PQ 两 端 点 的 坐 标 分 别 为P(1，1)和 Q(2，2)，若直线l：xmym0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是_解：如图所示，直线l：xmym0 过定点 A(0，1)，当 m0时，kQA32，kPA 2，kl1m，所以1m2 或1m32，解得 0m12或23m0；当 m0 时，直线l 的方程为x 0，与线段PQ 有交点 所以实数m 的取值范围为23，12.故填 23，12.类型二求直线方程根据所给条件求直线的方程(1)直线过点(4，0

9、)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为，则 sin 1010(0，)，从而 cos 31010，则 ktan 13.故所求直线的方程为y 13(x 4)，即x3y40.(2)若截距不为0，设直线的方程为xaya1，因为直线过点(3，4)，所以3a4a 1，解得 a1.此时直线方程为xy10.若截距为0，设直线方程为ykx，代入点(3，4)，有 4 3k，解得k43，此时直线方程为4x3y0.综上，所求直线方程为xy10 或 4x3y0.(3)由题意知，当直线

10、的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x50.当直线斜率存在时，设其方程为y10 k(x5)，即 kxy(10 5k)0.由点到直线的距离公式，得|105k1k25，解得 k34.此时直线方程为3x4y25 0.综上知，所求直线方程为x5 0 或 3x4y250.点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y 4x 的斜率的13的直线方程(

11、2)求经过点A(5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的2 倍的直线方程解：(1)设直线的斜率为k，则 k 41343，又直线经过点A(1，3)，故所求直线方程为y343(x1)，即 4x3y 130.(2)当直线不经过原点时，设直线方程为x2aya 1(a0)，将点A(5，2)代入方程，解得a12，所以直线方程为x 2y1 0；当直线经过原点时，设直线方程为ykx，则 5k2，解得 k25，所以直线方程为y25x，即 2x5y0.综上可知，所求直线方程为2x5y0 或x2y 10.类型三直线方程的应用(1)已知点A(4，1)，B(8，2)和直线l：x y10，动点 P(x，y)在

12、直线 l 上，则|PA|PB|的最小值为 _解：设点 A1(x1，y1)与 A(4，1)关于直线 l对称，P0为 A1B 与直线l 的交点，所以|P0A1|P0A|，|PA1|PA|.所 以|PA|PB|PA1|PB|A1B|A1P0|P0B|P0A|P0B|.当 P 点运动到P0点时，|PA|PB|取到最小值|A1B|.因为点A，A1关于直线l 对称，所以由对称的充要条件知，y11x14 1 1，x142y1 1210，解 得x10，y13，即A1(0，3)所以(|PA|PB|)min|A1B|82（1）265.故填65.点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的

13、理论基础求A 关于 l 的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据(2)直线 l 过点 P(1，4)，且分别交x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于A，B 两点，O 为坐标原点当|OA|OB|最小时，求l 的方程；若|PA|PB|最小，求l 的方程解：依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线 l 的斜率为k，则直线 l 的方程为 y4k(x1)(k0)令 y0，可得 A 14k，0；令 x 0，可得 B(0，4 k)|OA|OB|14k(4 k)5k4k5 k4k549.所以当且仅当k4k且 k0，即 k 2 时，|OA|OB|取最小值这时 l 的方程为 2xy60.|PA

14、|PB|4k2 161 k241k（k）8(k0)，当且仅当1k k 且 k0，即 k 1 时，|PA|PB|取最小值这时 l 的方程为 xy50.点拨：直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y 的关系，将问题转化为关于x(或 y)的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决(1)在等腰直角三角形ABC 中，ABAC4，点 P 是边 AB 上异于 A，B 的一点，光线从点P 出发，经BC，CA 反射后又回到点P(如图)

15、若光线QR 经过 ABC 的重心，则AP等于()A2 B1 C.83D.43解：以 AB，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得 ABC的重心D43，43，设 P(m，0)，m(0，4)，则点 P 关于直线BC，AC 的对称点分别为P1(4，4m)，P2(m，0)，由于 D，P1，P2三点共线，所以 kP1DkP2D，即43（4m）4344343 m，解得m43或 0.又因为m(0，4)，所以m43.故选D.(2)已知直线l：kxy1 2k0(k R)证明：直线l 过定点；若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；若直线l 交

16、x 轴负半轴于点A，交 y 轴正半轴于点 B，AOB 的面积为S(O 为坐标原点)，求 S的最小值并求此时直线l 的方程解：证明：将直线l 的方程变形得k(x2)(1 y)0，令x20，1y0，解得x 2，y1，所以无论k 取何值，直线l 过定点(2，1)当直线l 的倾斜角 0，90 时，直线 l 不经过第四象限，所以k0.由 l 的方程，得A 12kk，0，B(0，12k)依题意得12kk0，解得 k0.因为 S 12|OA|OB|1212kk|1 2k|12（12k）2k124k1k 4 12(22 4)4，当且仅当4k1k且 k0，即 k12时等号成立，所以 Smin4，此时直线l 的方

17、程为x 2y40.1直线的倾斜角和斜率的关系，可借助ktan的图象(如图)来解决 这里，0，)，k 的范围是两个不连续的区间这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论2直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为 0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为 0 的情况3在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单4对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”

18、栏目在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2B20而出现增解1下列命题中，正确的是()A直线的斜率为tan，则直线的倾斜角是B直线的倾斜角为，则直线的斜率为tanC直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D直线的倾斜角 0，22，时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率k tan，且 0，)时，才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角 0，)

19、，而当 2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当 0，2时，斜率大于0；当 2，时，斜率小于0，C 不对 故选 D.2过点(3，2)的直线l 经过圆 x2y22y0 的圆心，则直线l 倾斜角的大小为()A30B60C120D150解：依题意可知圆心坐标为(0，1)，则斜率ktan 21303，所以倾斜角 120.故选 C.3若方程(2 m2m3)x(m2 m)y4m1 0 表示一条直线，则参数m 满足的条件是()Am32Bm0 Cm0 且 m1 Dm1 解：由2m2m30，m2m0得 m1，故 m1时方程表示一条直线故选 D.4(2016银川月考)在等腰三角形AOB 中，AOAB，点 O(0，

20、0)，A(1，3)，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为()A3xy8 0 B3x y10 0 C3xy0 D3xy60 解：因为AOAB，所以 AOBABO，即 kAB kOA 3.所以直线AB 的方程为y3 3(x1)，即 3xy60.故选 D.5将直线 l 沿 y 轴的负方向平移a(a0)个单位，再沿x 轴正方向平移a1 个单位得直线l，此时直线l与 l 重合，则直线l的斜率为()A.aa1Baa1C.a1aDa1a解：设直线l 的倾斜角为，则根据题意，有 tan()tan aa1，所以k tan aa 1.故选 B.6(2015湖南模拟)过点(1，3)作直线 l，若经过点

21、(a，0)和(0，b)，且 aN*，bN*，则可作出的直线l 的条数为()A1 B 2 C3 D4 解：设直线 l 的方程为xayb1，由题意得1a3b1，变形得(a1)(b3)3.又 aN*，bN*，所以a2，b6或a4，b4.故选 B.7(2016柳州月考)直线l：(a 2)x(a1)y60，则直线 l 恒过定点 _解：直线 l 的方程变形为a(xy)2xy60，由xy0，2xy60，解得 x 2，y 2，所以直线l 恒过定点(2，2)故填(2，2)8 (2016郑州一模)若 直 线l：xayb1(a0，b0)经过点(1，2)，则直线 l 在 x 轴和 y轴上的截距之和的最小值是_解：由直

22、线 l：xayb 1(a0，b0)可知直线在 x 轴上的截距为a，直线在 y 轴上的截距为b，即求 ab 的最小值由直线经过点(1，2)得1a2b1.因此a b(ab)1a2b3ba2ab，因为ba2ab 2ba2ab22(当且仅当ba2ab时取等号)，所以 a b322.故填 322.9(2015陕西校级期末)分别求满足下列条件的直线方程，并化为一般式(1)经过点 P(1，2)，且斜率与直线y2x3 的斜率相同；(2)经过两点A(0，4)和 B(4，0)；(3)经过点(2，4)且与直线3x4y5 0垂直解：(1)过点P(1，2)，斜率与直线y2x3 的斜率相同的直线方程是y22(x1)，化为

23、一般式方程为2xy40.(2)过两点 A(0，4)和 B(4，0)的直线方程是x4y4 1，化为一般式方程为xy40.(3)设与直线3x4y50 垂直的直线方程为 4x3ym0，且该直线过点(2，4)，则有42 3(4)m0，解得m4，所以所求的直线方程为4x3y40.也可直接由点斜式求解10已知 ABC 的三个顶点分别为A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程解：(1)因为直线BC 经过 B(2，1)和 C(2，3)两点，所以由两点式得BC 的方程为y131x222，即 x2y

24、40.(2)易得 BC 边的中点 D 的坐标为(0，2)，因为 BC 边的中线AD 过点 A(3，0)，D(0，2)两点，所以由截距式得AD 所在直线方程为x3y21，即 2x3y60.(3)由(1)知，直线 BC 的斜率 k112，则直线 BC 的垂直平分线DE 的斜率 k22.由(2)知，点 D 的坐标为(0，2)由点斜式得直线DE 的方程为y22(x0)，即 2xy20.11已知直线l 过点 P(3，2)，且与 x 轴、y轴的正半轴分别交于A，B 两点，如图所示，求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程解法一：设直线l 的方程为xayb 1(a0，b0)，将点P(3，2)代入得3a2

25、b126ab，得 ab24，从而 SAOB12ab12，当且仅当3a2b时等号成立，这时kba23，从而所求直线l的方程为2x3y120.解法二：依题意知，直线l 的斜率 k 存在且k0，可设直线l 的方程为y2k(x3)(k0)，则 A 32k，0，B(0，23k)，SABO12(2 3k)32k1212（9k）4k12122（9k）4k12(12 12)12，当且仅当9k4k，即 k23时，等号成立所以 ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x3y 120.已知 ABC 中，顶点 A(4，5)，点 B在直线 l：2xy20上，点 C在 x轴上，求 ABC周长的最小值解：设点 A 关于直线l：2xy20 的对称点为 A1(x1，y1)，点 A 关于 x 轴的对称点为A2(x2，y2)，连接 A1A2交 l 于点 B，交 x 轴于点 C，则此时ABC 的周长取最小值，且最小值为|A1A2.因为 A1与 A 关于直线l：2x y20 对称，所以y15x142 1，2x142y1 5220，解得x10，y17.所以 A1(0，7)易求得A2(4，5)，所 以 ABC周 长 的 最 小 值 为|A1A2（40）2（57）2410.