中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义09分式与分式方程(学生版).pdf

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1、专题 09 分式与分式方程专题总结【思维导图】【知识要点】知识点一：分式的基础概念：一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子?叫做分式，A 为分子，B 为分母。【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。与分式有关的条件：要求表示分式有意义分母 0?0分式无意义分母=0?=0分式值为0分子为 0 且分母不为0?=0,?0分式值为正或大于0分子分母 同号A0,B0 A0,B0,B0 A0分式值为1分子分母值相等A=B分式值为-1分子分母值互为相反数A+B=01（2019湖北中考模拟）无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）A?2+1?2B

2、?+1?2C?2-1?+1D?-1?2+12（2019江苏中考真题）若代数式?+1?-3有意义，则实数?的取值范围是（）A?=-1B?=3C?-1D?33（2018沭阳县马厂实验学校中考模拟）在1?,12,?2+12,3?,3?+?,?+1?中分式的个数有（）A2 个B 3 个C4 个D5 个考查题型一分式值为0的判断方法1（2018安徽中考模拟）分式?2+2?-3|?|-1的值为 0,则 x 的取值为()Ax=-3B x=3Cx=-3 或 x=1Dx=3 或 x=-12（2018云南中考模拟）当式子|?|-5?2-4?-5的值为零时，x 的值是（）A5B5C-5D5或13（2019广西中考真

3、题）若分式?2-1?+1的值为 0，则 x 的值为（）A0B 1C 1D1知识点二：分式的运算（重点）基本性质（基础）：分式的 分子和分母 同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。字母表示：?=?，?=?，其中 A、B、C 是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即?=-?-?=-?=-?-?注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0 这个限制条件和隐含条件B 0。1（2019山东中考模拟）若x，y 的值均扩大为原来的3 倍，则下列分式的值保持不变的是（）A2+?-?B2?2C2?33?2D2?2(?-?)22（2017山东

4、中考模拟）若把分式?+3?2?的 x、y 同时扩大10 倍，则分式的值（）A扩大为原来的10 倍 B缩小为原来的C不变 D缩小为原来的3（2017河北中考模拟）若分式2?+?中的 a、b 的值同时扩大到原来的3 倍，则分式的值（）A不变B是原来的3倍C是原来的6倍D是原来的9倍分式的约分约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。分式约分步骤：1）提分子、分母公因式2）约去公因式3）观察结果，是否是最简分式或整式。注意：1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的

5、，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式1（2016山东中考真题）下列分式中，最简分式是（）A?2-1?2+1B?+1?2-1C?2-2?+?2?2-?D?2-362?+122（2018山东中考模拟）下列分式中，最简分式是()A?2+?2+2?+?2B2?+8?2-16C?2+1?2-1D?2-9?2+6?+93（2019山东中考真题）计算?2?-1-?-1的正确结果是()A-1?-1B1?-1C-2?-1?-1D2?-1?-1分式的通分通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与 原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的

6、积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。分式通分的 关键：确定最简公分母确定分式的最简公分母的方法1.因式分解2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；3.字母：各分母的所有字母的最高次幂4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂5.积约分与通分的相同点：1（2019广西中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（）A?+1?2-1约分的结果是1?B分式211x与1?-1的最简公分母是x1C2?2约分的结果是1D化简?2?2-1211x的结果是12（2014广西中考真题）下列三个分式、的最简公分母是（）A4（mn）x B2（mn）x2CD4（mn）x23下列各题所求的最简公分母，错误的是()

7、A13?与26?2的最简公分母是6x2B13?2?与12?2?的最简公分母是6a2b2cC13+?与1-3-?的最简公分母是x2-9D1?(?+?)与1?(?-?)的最简公分母是mn(x+y)(x-y)4（2017江苏宜陵镇中学初二月考）把分式xxy，yxy，1?2-?2进行通分，它们的最简公分母是（）A?-?B?+?C()()xyxyD(?+?)(?-?)(?2-?2)考查题型二分式的变形求值的方法1（2019四川省成都市簇锦中学中考模拟）已知?=23，则?+?的值是 _2（2019上海中考模拟）如果?-?=53，那么?=_3（2012广西中考模拟）已知，则的值为。分式的四则运算与分式的乘方

8、1）分式的乘除法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：?=?分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为?=?=?1（2018 山东中考模拟）计算22baa的结果为（）AbBbCabDba2（2018山东中考模拟）化简221x11x的结果是()A21xB2xC21xD2(x1)3（2019江西中考真题）计算1?(-1?2)的结果为（）A?B-?C-1?3D1?34（2019天津中考模拟）计算2231366xxxxx的结果为()A6xxB6xxC6xxD6x5（2019山东中考模拟）化简：2()nnmmm的结果是（）A1mB1mCmnmDmnn6

9、（2019河北中考模拟）化简2211xax的结果是21x，则 a 的值是（）A1B 1C2D 22）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子(?)?=?注意：1.分式乘方要把分子、分母分别乘方。2.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。1（2019内蒙古中考模拟）计算：232nm_；baabab_2（2018上海中考模拟）计算：（1）（23ba）2=_；（2）210abc54ac=_3（2018湖北中考模拟）计算：32()xy=_3）分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为?=?异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减

10、。式子表示为?=?1（2019天津中考模拟）化简2111aa的结果是()A31aB31aC11aD11a2（2013福建中考真题）计算a5a5a5的结果是（）A1B 1C0Da54）整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1 的分式，再通分。1（2019天津中考模拟）化简2(1)1aaa的结果是（）A211aaB11aC211aaD11a2（2019天津中考模拟）计算4+1x5的结果为（）A1xx5B15xxC5x5D44x3（2019广东中考模拟）计算：|32|+231()A 1B 1C23D2335)分式混合运算的运算运算顺序：1.先把除法统一成乘法

11、运算；2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.1（2019北京中考模拟）已知11(1)11Axx，则 A()A21xxxB21xxC211xDx212（2019四川中考真题）化简2babaaa的结果是()Aa-bB a+bC1abD1ab3（2019河北中考模拟）若分式?2?-1?-1运算结果为?，则在“”中添加的运算符号为()A+BC或D+或整数指数幂?=?+?(?)?=?(?)?=?=?-?（?0）?(?)?=?-?=1?（?0）?0=1（?0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中 m，n 均为整数。1（2018山东中考模拟）下列

12、计算正确的是（）Aa2?a3a6B（2a）3 6a3C322463aaaD（3.14）002（2019广西中考模拟）把实数36.12 10用小数表示为（）A0.0612B 6120C0.00612D6120003（2017天津中考模拟）下列计算正确的是（）A221=-1B341242xxxC(2x2)3=6x6D222734xxx4（2016山东中考模拟）若2x3,4y5，则 2x2y的值为()A35B 2C3 55D65科学记数法有了负整数指数幂后，小于1 的正数也可以用科学记数法表示。即小于1 的正数可以用科学记数法表示为a 10-n的形式.(1 a 10，n 是正整数)注意：1）1 a

13、102）n 是正整数，n 等于 原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0 的个数。(包括 小数点前面的0）1（2019山东中考模拟）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036 毫米，数据 0.0000036 用科学记数法表示正确的是（）A3.6 105B0.36 105C3.6 106D0.36 1062（2019湖南中考模拟）据经济日报2018 年 5 月 21 日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到 7nm（1nm=109m），主流生产线的技术水平为1428nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm将 28nm 用科学记数法可表示为（）A28 109m B2.8 1

14、08m C28 109m D2.8 108m3（2019河南中考模拟）全球芯片制造已经进入10 纳米到 7 纳米器件的量产时代中国自主研发的第一台7 纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7 纳米就是0.000000007 米数据0.000000007用科学记数法表示为（）A0.7 108B 7 108C7 109D7 1010考查题型三分式的化简求值1（2019湖北中考真题）已知二元一次方程组1249xyxy，则22222xxyyxy的值是（）A5B 5C6D62（2019北京中考模拟）如果30 xy，那么代数式2222xyxyxxyy的值为（）A27B27C72D723（201

15、9天津二十中中考模拟）已知1112ab，则abab的值是（）A12B12C2D 24（2019北京中考模拟）如果a+b12，那么ababba22的值是（）A12B14C2D45（2018北京中考模拟）如果2220mm，那么代数式2442mmmmm的值是()A2B1C2D3知识点三分式方程解分式方程的基本1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为 1)。3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则 x=a 不是分式方程的解若最简公分母不为0，则 x=a 是分式方程的解4）写出答案1（2019山东中考真题）解分式方程

16、11222xxx时，去分母变形正确的是（）A11 22xxB11 22xxC11 2 2xxD11 22xx2（2018辽宁中考模拟）方程23x11x的解为()Ax3B x4Cx5Dx 53（2019山东中考模拟）解分式方程2x23x11x时，去分母后变形为（）A2x23 x1B2x23 x1C2x23 1?xD2x23 x1增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根。考查题型四根据分式方程的解确定字母参数的方法1（2018山东中考模拟）若关于x 的分式方程11mx=2 的解为非负数，则

17、m 的取值范围是（）Am 1B m 1Cm 1 且 m 1Dm 1 且 m 12（2019 云南中考模拟）已知关于x 的分式方程+=1 的解是非负数，则 m 的取值范围是（）Am2B m 2Cm 2且 m 3Dm2 且 m 33（2018黑龙江中考模拟）已知关于x 的分式方程a21x1的解是非正数，则a 的取值范围是（）Aa 1B a 1 且 a 2Ca1且 a 2Da1考查题型五根据分式方程的增根确定字母参数的方法1（2017四川中考模拟）若关于x 的方程3111kxx有增根，则k 的值为()A3B 1C0D 12（2018四川中考真题）若分式方程231222xaxxxx有增根，则实数a 的

18、取值是（）A0 或 2B 4C8D4 或 83（2018四川中考真题）若x=4 是分式方程213axx的根，则a的值为()A6B 6C4D 4分式方程解决实际问题的步骤：1.根据题意找等量关系2.设未知数3.列出方程4.解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5.写答案考查题型六列分式方程解决实际问题1（2019河北中考模拟）甲、乙两人分别从距目的地6 千米和 10 千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20 分钟到达目的地，求甲、乙的速度若设甲的速度为3x 千米/时，乙的速度为4x千米/时则所列方程是()A63x+20=104xB63x104x+20C63x+2060104

19、xD63x104x+20602（2019新疆中考模拟）A、B 两地相距48 千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回 A 地，共用去9 小时，已知水流速度为4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（）A4848944xx；B4848944xx；C48x+4=9；D9696944xx；考查题型七列分式方程解决行程问题1（2019新疆中考模拟）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000 米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程4000400010 xx20，根据此情景，题中用“”表示的缺失的

20、条件应补为（）A每天比原计划多铺设10 米，结果延期20 天完成B每天比原计划少铺设10 米，结果延期20 天完成C每天比原计划多铺设10 米，结果提前20 天完成D每天比原计划少铺设10 米，结果提前20 天完成2（2018辽宁中考模拟）施工队要铺设一段全长2000 米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50 米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是（）A20002000250 xxB20002000250 xxC20002000250 xxD20002000250 xx考查题型八列分式方程解决工程问题1（2016山

21、东中考模拟）小明上月在某文具店正好用20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1 元，结果小明只比上次多用了4 元钱，却比上次多买了2 本若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程（）A24x2-20 x=1B20 x-24x2=1C24x-20 x2=1D20 x2-24x=12.（2019 尉氏县十八里镇实验中学中考模拟）“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180 元出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了 3 元车费若小组原有x 人，则所列方程为（）A18018032

22、xxB18018032xxC18018032xxD18018032xx考查题型九分式方程与不等式结合解决实际问题1（2017广西中考模拟）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5 倍；用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10 本（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40 本，且投入的经费不超过1050 元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？2.（2019辽宁中考真题）某超市用1200 元购进一批甲玩具，用800 元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的54，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1 元（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2 倍多 60 件，求：该超市用不超过2100 元最多可以采购甲玩具多少件？