人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(十七)2.3.2.2探究导学课型Word版含答案.pdf

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1、课时提升作业(十七)抛物线方程及性质的应用(25 分钟60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.过抛物线 y2=4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A.有且仅有一条B.有 且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选 B.由定义|AB|=5+2=7，因为|AB|min=4，所以这样的直线有两条.【补偿训练】过点M(3，2)作直线l与抛物线 y2=8x 只有一个交点，这样的直线共有()A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条【解析】选 B.因为点 M(3，2)在抛物线 y2=8x 的内部，所以过点M平行 x 轴的直线 y=2 适

2、合题意，因此只有一条.2.(2015 全国卷)已知椭圆 E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，点 A，B 是 C的准线与 E 的两个交点，则=()A.3 B.6 C.9 D.12【解析】选B.设椭圆E 的方程为+=1(ab0)，右焦点为(c，0)，依 题 意 得解 得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆 E的方程为+=1，因为抛物线C：y2=8x的准线为x=-2，将x=-2代入到+=1，解得 A(-2，3)，B(-2，-3)，故=6.3.已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C：y2=8x 相交于 A，B 两点，F为 C的焦点.若|F

3、A|=2|FB|，则 k=()A.B.C.D.【解析】选 D.设 A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由消去 y 得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0，所以 x1+x2=，x1x2=4.由 抛 物 线 定 义 得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，又 因为|AF|=2|BF|，所 以x1+2=2x2+4，所 以x1=2x2+2 代 入x1x2=4，得+x2-2=0，所以 x2=1 或-2(舍去)，所以 x1=4，所以=5，所以 k2=，因为 k0，所以 k=.4.(2015 商丘高二检测)已知抛物线 x2=4y 上有一条长为6 的动弦AB，则 AB的中点到 x 轴的最

4、短距离为()A.B.C.1 D.2【解析】选 D.由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过 A作 AA1l于 A1，过 B作 BB1l于 B1，设弦 AB的中点为 M，过 M作 MM1l于 M1，则|MM1|=.|AB|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|6，|AA1|+|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故 M到 x 轴的距离 d2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P 是抛物线y2=2x 上的一个动点，则点P 到点(0

5、，2)的距离与点 P到该抛物线准线 的 距 离 之 和 的 最 小 值 为()A.B.3 C.D.【解析】选 A.抛物线 y2=2x 的焦点为 F，准线是l，由抛物线的定义知点 P到焦点 F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点 P到点(0，2)的距离与点 P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距离与点 P到焦点 F 的距离之和的最小值，不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离.因此所求的最小值等于=.5.(2015 青岛高二检测)在平面直角坐标系内，点P到点 A(1，0)，B(a，4)及到直线 x=-1 的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，

6、那么 a=()A.1 B.2 C.2 或-2 D.1 或-1【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个，可以从点 P满足的方程有唯一解入手.【解析】选 D.依题意得，一方面，点 P 应位于以点 A(1，0)为焦点、直线 x=-1为准线的抛物线y2=4x上；另一方面，点 P应位于线段 AB的中垂线 y-2=-(x-)上.由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组有唯一的实数解.结合选项进行检验即可.当 a=1时，抛物线 y2=4x与线段 AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当 a=-1时，线 段AB 的 中 垂 线 方 程 是y=x+2，易知方程组有唯一实数解.综上所述，a=1 或 a=-1.二、

7、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6.已知点 F 为抛物线y2=-8x 的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上 一 动 点，A 在 抛 物 线 上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值是_.【解析】由|AF|=4 及抛物线定义得A到准线的距离为4.所以 A点横坐标为-2，所以 A(-2，4)或 A(-2，-4).又原点关于准线的对称点的坐标为 B(4，0)，所 以|PA|+|PO|的 最 小 值 为|AB|=2.答案：27.(2015 延安高二检测)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F 且倾斜角为60的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是 _.【解析】设 A(x1，y1)，B(

8、x2，y2)，且 x1x2，易知直线AB 的方程为y=x-p，代入抛物线方程y2=2px，可得 3x2-5px+p2=0，所以 x1+x2=p，x1x2=，可得x1=p，x2=，可得=3.答案：3 8.(2015 黄石高二检测)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线 C 相交于 A，B 两点.若 AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为 _.【解析】容易求得抛物线方程为y2=4x.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=4x1，=4x2，两 式 相 减 得-=4(x2-x1).整理得=，由于kAB=，而 AB中点为(2，2)，所以y2+y1=4，于是 kAB=

9、1，因此直线方程为 y-2=x-2，即 y=x.答案：y=x 三、解答题(每小题 10 分，共 20分)9.已 知 抛 物 线y2=-x与 直 线y=k(x+1)相交于 A,B 两点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB的面积等于时,求 k的值.【解析】(1)如图所示,由消去 x 得,ky2+y-k=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-1,y1+y2=-.因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上,所以=-x1,=-x2,所以 =x1x2.因为 kOAkOB=-1,所以 OA OB.(2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k0.令 y=0,得 x=-1,即

10、N(-1,0).因为=+=|ON|y1|+|ON|y2|=|ON|y1-y2|,所以=1=.因为=,所以=,解得 k=.10.(2015 大连高二检测)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.(2)当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.【解题指南】(1)利用点P(1，2)在抛物线上可求方程.(2)倾斜角互补意味着斜率互为相反数，然后利用点差法求解.【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p0).因为点 P(1，2)在抛物线上，

11、所以22=2p1，解得 p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是 x=-1.(2)设直线 PA 的斜率为kPA，直线PB的斜率为 kPB，则 kPA=(x11)，kPB=(x21)，因为 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补，所以 kPA=-kPB.由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以=-，所以=-，所以 y1+2=-(y2+2).所以 y1+y2=-4.由-得，-=4(x1-x2)，所以 kAB=-1(x1x2).(20 分钟40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1.(2015 银川高二检测)已知抛物线 y2=2px(p0)，过点E(m，0)(m0

12、)的直线交抛物线于点M，N，交y 轴于点 P，若=，=，则+=()A.1 B.-C.-1 D.-2【解析】选 C.由题意设过点E的直线方程为 y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1+x2=，x1x2=m2.由可得则+=+=-1.【补偿训练】设双曲线-=1(a0，b0)的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 等 于()A.B.2 C.D.【解析】选 C.双曲线的渐近线方程为 y=x.因为渐近线与y=x2+1 相切，所以 x2+x+1=0 有两相等根，所以=-4=0，

13、所以 b2=4a2，所以 e=.2.(2014 四川高考)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A，B在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，=2(其中 O 为坐标原点)，则 ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2 B.3 C.D.【解析】选 B.可设直线 AB的方程为：x=ty+m，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AB与 x 轴的交点 M(m，0)，由?y2-ty-m=0，所以y1y2=-m，又=2?x1x2+y1y2=2?(y1y2)2+y1y2-2=0，因为点 A，B在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以y1y2=-2，故 m=2，又 F，于是 S ABO+S AFO=2

14、|y1-y2|+|y1|=|y1+|+|y1|=|y1|+2=3，当且仅当|y1|=，即|y1|=时取“=”，所以 ABO与AFO面积之和的最小值是 3.【补偿训练】(2015龙岩模拟)已知 P是抛物线 y2=4x上的一个动点，Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点，N(1，0)是 一 个 定 点，则|PQ|+|PN|的最小值为()A.3 B.4 C.5 D.+1【解析】选 A.N 恰好为抛物线的焦点，|PN|等于 P到准线的距离，要想|PQ|+|PN|最小，过圆心(3，1)作抛物线 y2=4x的准线 x=-1 的垂线交抛物线于点P，交圆于Q，最小值等于圆心(3，1)到准线 x=-1

15、 的距离减去半径，即4-1=3.二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3.(2015 南通高二检测)过抛物线y2=2px(p0)的焦点 F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点 A在抛物线的准线上的射影为C，若=，=36，则抛物线的方程为_.【解题指南】利用向量的数量积构造关于常数 p 的方程求解.【解析】由=知 F 为 AB的中点，设准线与x 轴的交点为D，则|DF|=|AC|=p，所以|AC|=2p=|AF|=|FB|，|AB|=4p，所以 ABC=30，|BC|=2p，=|BA|BC|cos 30=4p2p=36，解 得p=，所 以y2=2 x.答案

16、：y2=2 x 4.已知抛物线 y2=2x,点 A的坐标为,P 为抛物线上的点,当|PA|最小时,P 的坐标为 _;当 P 到直线 x-y+3=0 的距离最短时,最短距离是 _.【解 析】(1)设P(x,y),则|PA|2=+y2=+2x=+.因为 x0 且在此区间上函数单调递增,故当 x=0 时,|PA|有最小值,离 A点最近的点 P(0,0).(2)设点 P(x0,y0)是抛物线 y2=2x 上任一点,则 P 到直线 x-y+3=0 的距离为d=,所以当 y0=1,d 有最小值.答案:(0,0)【误区警示】本题易忽略抛物线的范围而出错.【补偿训练】设圆C 位于抛物线y2=2x 与直线 x=

17、3 所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆 C的半径能取到的最大值为 _.【解析】依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于 x 轴上且与 x=3 相切时才有可能，可设圆心坐标是(a，0)(0a3)，则由条件知圆的方程是(x-a)2+y2=(3-a)2.由消去y得x2+2(1-a)x+6a-9=0，结合图形分析可知，当=2-4(6a-9)=0且 0a0)的焦点为 F,直线y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C的交点为 Q,且|QF|=|PQ|.(1)求 C的方程.(2)过 F 的直线l与 C 相交于 A,B两点,若 AB的垂直平分线l与 C相交于 M,N 两点,且

18、 A,M,B,N 四点在同一圆上,求l的方程.【解题指南】(1)设点 Q的坐标为(x0,4),把点 Q的坐标代入抛物线C的方程,求得 x0=,根据|QF|=|PQ|求得 p 的值,可得 C的方程.(2)设l的方程为x=my+1(m 0),代入抛物线方程化简,利用根与系数的关系、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|,把直线l的方程线代入抛物线方程化简,利用根与系数的关系、弦长公式求得|MN|,由于 MN 垂直平分线段AB,故 A,M,B,N四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,求得 m的值,可得直线l的方程.【解析】(1)设点 Q的坐标为(x0,4),把 点Q 的 坐 标 代 入 抛 物 线

19、C:y2=2px(p0),可 得x0=,因 为 点P(0,4),所 以|PQ|=.又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,所以+=,求得 p=2,或 p=-2(舍去).故 C的方程为 y2=4x.(2)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,设l的方程为x=my+1(m 0),代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),显然判别式=16m2+160,y1+y2=4m,y1y2=-4,所以 AB的中点坐标为D(2m2+1,2m),弦长|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又直线l的斜率为-m,所 以 直 线l 的 方 程 为x=-y+2m2+3.把直线l的方程代入抛物线方程可得 y2+y-4(2m2+3)=0,设 M(x3,y3),N(x4,y4),所以 y3+y4=,y3y4=-4(2m2+3).故线 段 MN 的中 点 E 的 坐标 为(+2m2+3,),所以|MN|=|y3-y4|=,因 为MN 垂 直 平 分 线 段AB,故A,M,B,N四 点 共 圆 等 价 于|AE|=|BE|=|MN|,所以|AB|2+|DE|2=|MN|2,所以4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2=,化简可得 m2-1=0,所以 m=1,所以直线l的方程为x-y-1=0,或x+y-1=0.关闭 Word文档返回原板块