2019-2020学年北京市海淀区八年级上学期期末数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题1斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）ABCD22019 年被称为“5G 元年”据媒体报道，5G 网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M 的照片只需要0.002s，将 0.002 用科学记数法表示为（）A2102B2103C0.2102D0.21033下列运算结果为a6的是（）Aa3?a2Ba9a3C（a2）3Da18a34在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（）Ax2+2x+

2、4（x+2）2Bx24（x+4）（x 4）Cx24x+4（x2）2Dx2+4（x+2）25如图，经过直线AB 外一点 C 作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点 K 和点 C 在 AB 的两旁（2）以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点 D 和 E（3）分别以点D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F（4）作直线CF 则直线CF 就是所求作的垂线根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A CDFB CDKC CDED DEF6有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示右

3、边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）AB1CDa+b7如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的动点（点D 与 B，C 不重合），ABD和 ACD 的面积分别表示为S1和 S2，下列条件不能说明AD 是 ABC 角平分线的是（）ABD CDB ADB ADCCS1 S2DAD BC8如图，左边为参加2019 年国庆 70 周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与ABC 全等的三角形是（）A AEGB ADFC DFGD CEG9若 ab 4，其中 ab，以下分式中一定比大的是（）ABCD10已知长方形AB

4、CD 可以按图示方式分成九部分，在a，b 变化的过程中，下面说法正确的有（）图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD 的周长 长方形 ABCD 的长宽之比可能为2 当长方形ABCD 为正方形时，九部分都为正方形 当长方形ABCD 的周长为60 时，它的面积可能为100ABCD二、填空题（本大题共16 分，每小题2分）11请写出一个只含有字母x 的分式，当x3 时分式的值为0，你写的分式是12计算：（2a）3?（a）4a213如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线 BF 上的两点 C，D，使 BCCD，再画出BF 的垂线 DE，使 E 与 A，C 在一条直

5、线上若想知道两点 A，B 的距离，只需要测量出线段即可14如图，已知空间站A 与星球 B 距离为 a，信号飞船C 在星球 B 附近沿圆形轨道行驶，B，C 之间的距离为b数据S 表示飞船C 与空间站A 的实时距离，那么S 的最大值是15平面直角坐标系xOy 中，点 A（4，3），点 B（3，0），点 C（5，3），点 E 在 x 轴上当 CEAB 时，点 E 的坐标为16北京大兴国际机场于2019 年 9 月 25 日正式投入运营小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：出行方式途径站点路程地铁草桥大兴新城大兴机场全程约 43 公里公交北京站蒲黄榆

6、榴乡桥大兴机场全程约 54 公里由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程：17如图，ABC 中，AD 平分 BAC，CDAD，若 ABC 与 ACD 互补，CD5，则BC 的长为18如图，已知MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5，在边OM上顺次取点P2，P4，P6，使得OP1P1P2P2P3 P3P4P4P5，得到等腰OP1P2，P1P2P3，P2P3P4，P3P4P5（1）若 MON 30，可以得到的最后一个等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是P3P4P5，则

7、 MON的度数 的取值范围是三、解答题（本大题共54 分，第 19 题 8 分，2022 题每题 5 分，第 2326 每题 6 分，第27 题 7 分）19（1）计算：（3）03836+（）1；（2）因式分解：3x212y220如图，已知ABAC，E 为 AB 上一点，ED AC，ED AE求证：BD CD21已知 a22ab+b20，求代数式a（4ab）（2a+b）（2ab）的值22如图，ABAC，ABAC，过点 B，C 分别向射线AD 作垂线，垂足分别为E，F（1）依题意补全图形；（2）求证：BEEF+FC 23已知 xa+b2，y2aba2+b2（1）用 x 表示 y；（2）求代数式（

8、x）?+的值24如图所示，将两个含30角的三角尺摆放在一起，可以证得ABD 是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半交换命题的条件和结论，得到下面的命题：在直角 ABC 中，ACB 90，如果CBAB，那么 BAC 30请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由25对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质例如代数式Ax24x+5，若将其写成 A（x2）2+1 的形式，就能看出不论字母x 取何值，它都表示正数；若将它写成 A（x1）22（x1）+2 的形式，就能与代数式Bx22x+2 建立联系下面我们改变 x

9、 的值，研究一下A，B 两个代数式取值的规律：x210123Bx22x+2105215A（x 1）22（x1）+217105（1）完成上表；（2）观察表格可以发现：若xm 时，Bx22x+2n，则 xm+1 时，Ax24x+5n我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1 若代数式D 参照代数式B 取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；已知代数式ax2 10 x+b 参照代数式3x2 4x+c 取值延后，请直接写出b c 的值：26如图，在ABC 中，ABAC，BAC 90，点 D 是边 BC 上的动点，连接AD，点C 关于直线AD 的对称点为点E，射线 BE 与射线 AD

10、 交于点 F（1）在图中，依题意补全图形；（2）记 DAC （45），求 ABF的大小；（用含 的式子表示）（3）若 ACE 是等边三角形，猜想EF 和 BC 的数量关系，并证明27在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为一、三象限角平分线点P 关于 y 轴的对称点称为 P 的一次反射点，记作P1；P1关于直线l 的对称点称为点P 的二次反射点，记作P2例如，点（2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）根据定义，回答下列问题：（1）点（2，5）的一次反射点为，二次反射点为；（2）当点 A 在第一象限时，点M（3，1），N（3，1）Q（1，3）中可以是点A的二次反射点的是；（3）若

11、点 A 在第二象限，点A1，A2分别是点A 的一次、二次反射点，OA1A2为等边三角形，求射线OA 与 x 轴所夹锐角的度数附加问题：若点 A 在 y 轴左侧，点 A1，A2分别是点A 的一次、二次反射点，AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A 在平面直角坐标系xOy 中的位置参考答案一、选择题（本大题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中共30 分，每小题3 分）1斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利

12、用排除法求解解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误故选：A22019 年被称为“5G 元年”据媒体报道，5G 网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M 的照片只需要0.002s，将 0.002 用科学记数法表示为（）A2102B2103C0.2102D0.2103【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定解：用科学记数法表示0.002

13、2103故选：B3下列运算结果为a6的是（）Aa3?a2Ba9a3C（a2）3Da18a3【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可解：Aa3?a2a5，故本选项不合题意；B a9与 a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C（a2）3a6，故本选项符合题意；Da18a3a15，故本选项不合题意故选：C4在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（）Ax2+2x+4（x+2）2Bx24（x+4）（x 4）Cx24x+4（x2）2Dx2+4（x+2）2【分析】各项分解得到结果，即可作出判断解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式

14、（x+2）（x2），不符合题意；C、原式（x2）2，符合题意；D、原式不能分解，不符合题意，故选：C5如图，经过直线AB 外一点 C 作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点 K 和点 C 在 AB 的两旁（2）以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点 D 和 E（3）分别以点D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F（4）作直线CF 则直线CF 就是所求作的垂线根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A CDFB CDKC CDED DEF【分析】依据尺规作图，即可得到CDCK，CDCE，DF EF，进而得出

15、CDK，CDE，DEF 都是等腰三角形解：由作图可得，CD，DF，CF 不一定相等，故CDF 不一定是等腰三角形；而 CDCK，CDCE，DF EF，故 CDK，CDE，DEF 都是等腰三角形；故选：A6有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）AB1CDa+b【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽（a2+b2+2ab）2（a+b）（a+b）22（a+b）解：左边场地面积a2+b2+2ab，左边场地的面积与右边场地的面积相等，宽（a2+b2+2ab）2（a+b）（a+b）2 2（

16、a+b），故选：C7如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的动点（点D 与 B，C 不重合），ABD和 ACD 的面积分别表示为S1和 S2，下列条件不能说明AD 是 ABC 角平分线的是（）ABD CDB ADB ADCCS1 S2DAD BC【分析】由全等三角形的判定和等腰三角形的性质，依次进行推理判断即可求解解：若 BDCD，ABAC，ADAD，ABD ACD（SSS）BAD CAD，AD 是 ABC 角平分线；故 A 选项不符合题意；若 ADB ADC，且 ADB+ADC180，ADB ADC90，且 ABAC，AD 是 ABC 角平分线；故 B 选项不符合题意；若 S1S2

17、，BD CD，且 AB AC，AD 是 ABC 角平分线；故 C 选项不符合题意；若 AD BC，无法证明AD 是 ABC 角平分线；故选：D8如图，左边为参加2019 年国庆 70 周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与ABC 全等的三角形是（）A AEGB ADFC DFGD CEG【分析】根据勾股定理和线段的和可得ABC 和 DFG 三边分别相等，从而得结论解：设小正方形的边长为1，如图，则 ABDF 3，BCDG，ACFG，ABC FDG（SSS），故选：C9若 ab 4，其中 ab，以下分式中一定比大的是（）

18、ABCD【分析】根据分式的约分和减法进行分析即可解：A、，故此选项不合题意；B、ab 40，0，故此选项不合题意；C、，故此选项不合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D10已知长方形ABCD 可以按图示方式分成九部分，在a，b 变化的过程中，下面说法正确的有（）图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD 的周长 长方形 ABCD 的长宽之比可能为2 当长方形ABCD 为正方形时，九部分都为正方形 当长方形ABCD 的周长为60 时，它的面积可能为100ABCD【分析】根据正方形定义和长方形的周长公式判断，假设长方形的长宽比是2，推到出与已知的矛盾，排除 ，根据长方形的周长为60，推到出该

19、长方形的面积大于100，从而说明 错误解：四边形 AEFG、FHKM、SKWC 的周长之和等于长方形ABCD 的周长；长方形的长为a+2b，宽为 2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则 a+2b 2（2a+b）解得 a0这与题意不符，故 的说法不正确；当长方形ABCD 为正方形时，2a+ba+2b所以 ab，所以九部分都为正方形，故 的说法正确；当长方形ABCD 的周长为60 时，即 2（2a+b+a+2b）60整理，得a+b 10所以四边形GHWD 的面积为100故当长方形ABCD 的周长为60 时，它的面积不可能为100，故 的说法不正确综上正确的是 故选：B二、填空题（本大题共16 分，

20、每小题2分）11请写出一个只含有字母x 的分式，当x3 时分式的值为0，你写的分式是（答案不唯一）【分析】根据题意可得分子为x3，再确定分母即可解：由题意得：，故答案为：12计算：（2a）3?（a）4a28a5【分析】原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可求出值解：原式 8a3?a4a28a5，故答案为：8a513如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线 BF 上的两点 C，D，使 BCCD，再画出BF 的垂线 DE，使 E 与 A，C 在一条直线上若想知道两点 A，B 的距离，只需要测量出线段DE即可【分析】根据全等三角形的判定进

21、行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法解：利用CD BC，ABC EDC，ACB ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即 ASA 这一方法，可以证明ABC EDC，故想知道两点A，B 的距离，只需要测量出线段DE 即可故答案为：DE14如图，已知空间站A 与星球 B 距离为 a，信号飞船C 在星球 B 附近沿圆形轨道行驶，B，C 之间的距离为b数据 S 表示飞船C 与空间站A 的实时距离，那么S 的最大值是a+b【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A 与星球B、飞船 C 在同一直线上时，S 取到最大值，据此求解即可解：空间站A 与星

22、球 B、飞船 C 在同一直线上时，S取到最大值a+b故答案为：a+b15平面直角坐标系xOy 中，点 A（4，3），点 B（3，0），点 C（5，3），点 E 在 x 轴上当 CEAB 时，点 E 的坐标为（4，0）或（6，0）【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论解：点A（4，3），点 C（5，3），AC x 轴，AC1，连接 AC，过 C 作 CEAB 交 x 轴于 E，AB CE，BEAC 1，点 B（3，0），E（4，0），以 C 为圆心，CE 为半径画弧交x 轴于 E，则 CECE AB，过 C 作 CDx 轴于 D，DE DE 1，E（6，0），当 CEAB 时

23、，点 E 的坐标为（4，0）或（6，0），故答案为：（4，0）或（6，0）16北京大兴国际机场于2019 年 9 月 25 日正式投入运营小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：出行方式途径站点路程地铁草桥大兴新城大兴机场全程约 43 公里公交北京站蒲黄榆榴乡桥大兴机场全程约 54 公里由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半 小 时 到 达 机 场 若 设 公 交 的 平 均 速 度 为x 公 里/时，根 据 题 意 可 列 方 程：【分析】若设公交的平均速度为x 公里/时，则地铁的平均速度为2x 公里/

24、时，根据“小贝比小京少用了半小时到达机场”列出方程即可解：若设公交的平均速度为x 公里/时，根据题意可列方程：故答案是：17如图，ABC 中，AD 平分 BAC，CDAD，若 ABC 与 ACD 互补，CD5，则BC 的长为10【分析】延长AB、CD 交于点E，证明 ADE ADC（ASA），得出ED CD5，E ACD，证出 E ACD CBE，得出 BCCE2CD10 即可解：延长AB、CD 交于点 E，如图：AD 平分 BAC，CDAD，EAD CAD，ADE ADC 90，在 ADE 和 ADC 中，ADE ADC（ASA），ED CD5，E ACD，ABC 与 ACD 互补，ABC

25、与 CBE 互补，E ACD CBE，BC CE2CD 10，故答案为：1018如图，已知MON，在边 ON 上顺次取点P1，P3，P5，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6，使得OP1P1P2P2P3 P3P4P4P5，得到等腰OP1P2，P1P2P3，P2P3P4，P3P4P5（1）若 MON 30，可以得到的最后一个等腰三角形是P1P2P3；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是P3P4P5，则 MON的度数 的取值范围是18 22.5【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出OP2P3即可判断（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是P3P4P5，需要满足：P4P3P54

26、90且 MP4P55 90，解不等式即可解决问题解：（1）OP1P1P2 P2P3，OP2P1 O30，P2P1P3 P2P3P160，OP2P390，P2P3P4不存在，以得到的最后一个等腰三角形是P1P2P3故答案为 P1P2P3（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是P3P4P5，需要满足：P4P3P54 90且 MP4P55 90，18 22.5，故答案为18 22.5三、解答题（本大题共54 分，第 19 题 8 分，2022 题每题 5 分，第 2326 每题 6 分，第27 题 7 分）19（1）计算：（3）03836+（）1；（2）因式分解：3x212y2【分析】（1）原式

27、利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及同底数幂的除法法则计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可解：（1）原式 132+319+3 5；（2）原式 3（x24y2）3（x+2y）（x2y）20如图，已知ABAC，E 为 AB 上一点，ED AC，ED AE求证：BD CD【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得EAD DAC，由“SAS”可证ADB ADC，可得 BDCD【解答】证明：ED AC，EDA DAC，ED AE，EAD EDA，EAD DAC，在 ADB 和 ADC 中，ADB ADC（SAS），BD CD21已知 a22ab+b20，求代数式a（4ab）（

28、2a+b）（2ab）的值【分析】根据完全平方公式求出ab，再根据单项式乘以多项式和平方差公式算乘法，合并同类项，代入求出即可解：a22ab+b20，（ab）20，ab，a（4ab）（2a+b）（2ab）4a2 ab4a2+b2 ab+b2 a2+a2022如图，ABAC，ABAC，过点 B，C 分别向射线AD 作垂线，垂足分别为E，F（1）依题意补全图形；（2）求证：BEEF+FC【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）证明 ABE CAF（AAS）得出BE AF，AECF 即可得出结论【解答】（1）解：依题意补全图形：（2）证明：ABAC，BEAD，CF AD，BAE+CAF 90，BAE+

29、B90，CFA AEB 90 CAF B在 ABE 和 CAF 中，ABE CAF（AAS）BE AF，AECFAF AE+EF，BE EF+CF23已知 xa+b2，y2aba2+b2（1）用 x 表示 y；（2）求代数式（x）?+的值【分析】（1）先由已知条件得到a+b x+2，ya2+2ab+b2（a+b）2，然后利用整体代入的方法可用x 表示 y；（2）先把 y（x+2）2代入得到关于x 的代数式，再把括号内通分，约分后进行同分母的加法运算即可解：（1）xa+b2，y2aba2+b2，a+bx+2，y a2+2ab+b2（a+b）2y（x+2）2；（2）原式?+124如图所示，将两个含

30、30角的三角尺摆放在一起，可以证得ABD 是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半交换命题的条件和结论，得到下面的命题：在直角 ABC 中，ACB 90，如果CBAB，那么 BAC 30请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由【分析】延长BC 至点 D，使 CDBC，连接 AD，证明 ABD 是等边三角形，得到BAD 60，根据等腰三角形的三线合一证明即可解：此命题是真命题，理由如下：延长BC 至点 D，使 CDBC，连接 AD，ACB 90，CDBC，AC 是线段 BD 的垂直平分线，AB AD，CBAB，B

31、D AB，ABD 是等边三角形，BAD 60，AC BD，BACBAD 3025对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质例如代数式Ax24x+5，若将其写成 A（x2）2+1 的形式，就能看出不论字母x 取何值，它都表示正数；若将它写成 A（x1）22（x1）+2 的形式，就能与代数式Bx22x+2 建立联系下面我们改变 x 的值，研究一下A，B 两个代数式取值的规律：x210123Bx22x+21052125A（x 1）22（x1）+217105212（1）完成上表；（2）观察表格可以发现：若xm 时，Bx22x+2n，则 xm+1 时，Ax24x+5n我们把这种现象称为代数式A 参照

32、代数式B 取值延后，此时延后值为1 若代数式D 参照代数式B 取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；已知代数式ax210 x+b 参照代数式3x2 4x+c 取值延后，请直接写出bc 的值：7【分析】（1）分别将x 代入即可求得；（2）D（x2）22（x2）+2x26x+10；由 可得 a3，3x24x+c3（xm）x2 10（x m）+b，则 6m10 4，cb+3m210，则可求bc7解：（1）将 x2 代入 B x22x+2 中，得 B4 4+2 2；将 x1 代入 A（x1）22（x1）+2 得，A2，将 x2 代入 A（x1）22（x1）+2 得，A1，将 x3 代入 A（x1）2

33、2（x1）+2 得，A2，故答案为2，2，1，2；（2）代数式D 参照代数式B 取值延后，相应的延后值为2，D（x2）22（x 2）+2 x26x+10；由 可得 a3，3x24x+c3（xm）210（xm）+b，6m10 4，m 1，c b+3 10，bc 7，故答案为726如图，在ABC 中，ABAC，BAC 90，点 D 是边 BC 上的动点，连接AD，点C 关于直线AD 的对称点为点E，射线 BE 与射线 AD 交于点 F（1）在图中，依题意补全图形；（2）记 DAC （45），求 ABF的大小；（用含 的式子表示）（3）若 ACE 是等边三角形，猜想EF 和 BC 的数量关系，并证明

34、【分析】（1）根据轴对称即可得出结论；（2）先判断出AEAC，再表示出BAE，即可得出结论；（3）先判断出 BCF 是直角三角形，结合ACE 是等边三角形，即可得出结论解：（1）如图 1 所示；（2）如图 2，连接 AE，由题意可知，EAD CAD ，ACAE，BAE 90 2，AB AC，AB AE，ABE AEB，；（3），证明：如备用图，连接AE，CF，由（2）可知，AEB ABF 45+，AB AC，ABC 45，CBF ，点 C 关于直线AD 的对称点为点E，ACF AEF 135 ，BCF 90 ，CBF+BCF 90，BCF 是直角三角形 ACE 是等边三角形，30 CBF 30

35、27在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为一、三象限角平分线点P 关于 y 轴的对称点称为 P 的一次反射点，记作P1；P1关于直线l 的对称点称为点P 的二次反射点，记作P2例如，点（2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）根据定义，回答下列问题：（1）点（2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）；（2）当点 A 在第一象限时，点M（3，1），N（3，1）Q（1，3）中可以是点A的二次反射点的是N 点；（3）若点 A 在第二象限，点A1，A2分别是点A 的一次、二次反射点，OA1A2为等边三角形，求射线OA 与 x 轴所夹锐角的度数附加问题：若点 A 在 y

36、轴左侧，点 A1，A2分别是点A 的一次、二次反射点，AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A 在平面直角坐标系xOy 中的位置【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可（2）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可（3）由题意点A 在第二象限，推出点A1，A2均在第一象限由OA1A2为等边三角形，A1，A2关于 OB 对称，推出A1OB A2OB30，分两种情形分别求解即可解决问题解：（1）由题意：点（2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）故答案为（2，5），（5，2）（2）由题意点A 的二次反射点在第四象限，故答案为N 点（3）点 A 在第二象限，点 A1，A2均在第一象限 OA1A2为等边三角形，A1，A2关于 OB 对称，A1OB A2OB30分类讨论：若点A1位于直线l 的上方，如图1所示，此时 AOC A1OC15，因此射线OA与 x 轴所夹锐角为75 若点 A1位于直线l 的上下方，如图2 所示，此时AOC A1OC75，因此射线OA 与 x 轴所夹锐角为15综上所述，射线OA 与 x 轴所夹锐角为75或 15附加题：若点A 在 y 轴左侧，点A1，A2分别是点A 的一次、二次反射点，AA1A2是等腰直角三角形，则点A 在平面直角坐标系xOy 中的位置：x 轴负半轴或第三象限的角平分线