2019-2020学年上海市复旦附中高一下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷一、填空题（共12 小题）.1一个面积为1 的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是弧度2计算 sin40sin100 sin50sin103函数 ysinx，?2，?的反函数记为g（x），则?(12)=4在 ABC 中，若?=?，b1，A60，则 B5已知等比数列an中，a24，a6 8，则 a106已知等差数列an，若 a1+a5+a94，则 sin（a2+a8）7已知数列 an（n N*）中，a11，an+1=?2?+1，则 an8把函数?=?(?+4?3)-?的图象向右平移（0）个单位，使得点(?2，-?)成为图象的一个对

2、称中心，则的最小值是9函数 f（x）=2+?+?3-?2?（x R）的最小值为10正整数列 an满足 a1a，且对于n N*有 an+1=?+?，?是奇数?2，?是偶数，若 a61，则 a的所有可能取值为11定义在R 上的奇函数yf（x）满足 f（tanx）sin（2x）对任意?(?，?2)成立，则f（x）值域为12 T1是一个边长为1 的正三角形，T2是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依此类推Tn+1是对 Tn中所含有的所有正三角形都去 掉 中 间 一 份（如 图），记Sn为Tn的 面 积，Qn S1+S2+Sn，则Qn二.选择题13在 ABC 中

3、，“sinA22”是“A3?4”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分又非必要14以下哪个不是?2-5?2?+1可能的取值（）A2B 1C-52D 715 若等差数列 an首项为 2，公差为 2，其前 n 项和记为Sn，则数列 1?前 n 项和为（）A2?+1B?+1C1?(?+1)D?2(?+1)16已知函数f（x）Asin（x+）（其中A、均为正的常数）的最小正周期为?2，当?=?3时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）Af（1）f（1）f（0）Bf（0）f（1）f（1）Cf（1）f（0）f（1）Df（1）f（0）f（1）三.解答题17已知 cos（+）=255，t

4、an =17，且 、?(?，?2)（1）求 cos2 sin2+sin cos的值；（2）求 2+的值18已知函数?(?)=?(?+?)（1）求 yf（x）的单调减区间；（2）当 x?6，?3时，求 f（x）的最大值和最小值19 ABC 中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知b+c1，且（a+c）（ac）b（bc）（1）求角 A 的大小；（2）求三角形面积SABC的最大值20设数列 an的前 n 项和为 Sn，且（Sn1）2anSn（n N*），设 bn（1）n+1（n+1）2?anan+1（n N*），数列 bn的前 n 项和 Tn（1）求 S1、S2、S3的值；（2）利用“归纳猜

5、想证明”求出Sn的通项公式；（3）求数列 Tn的通项公式21已知数列 an和bn满足 a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+1 3bnan 4（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求 an和bn的通项公式；（3）令?=?是奇数?是偶数，求数列 cn的前 n 项和 Sn的通项公式，并求数列1?的最大值、最小值，并指出分别是第几项参考答案一.填空题1一个面积为1 的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是12弧度【分析】利用扇形面积公式即可算出结果解：扇形面积公式为S=12?，1=12?，r2，扇形的圆心角|=?=12，故答案为：122计算 sin40sin100

6、 sin50sin1012【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用求出结果解：算sin40sin100 sin50sin10=?-?=?(?-?)=12故答案为：123函数 ysinx，?2，?的反函数记为g（x），则?(12)=5?6【分析】令函数ysinx=12，解得 x，从而得出结论解：函数y sinx，?2，?的反函数记为g（x），令函数 ysinx=12，解得 x=5?6，故 g（12）=5?6，故答案为：5?64在 ABC 中，若?=?，b1，A60，则 B?6【分析】利用正弦定理即可算出结果解：根据正弦定理，得?=?，sinB=12，又 B（0，），baB=?6，故答案为：?65

7、已知等比数列an中，a24，a6 8，则 a1016【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解解：因为等比数列an中，a24，a68，q4=?6?2=2，则 a10=?=8216故答案为：166已知等差数列an，若 a1+a5+a94，则 sin（a2+a8）32【分析】a1+a5+a9 4，利用等差数列的性质可得：3a54，a5，可得 sin（a2+a8）sin（2a5）解：a1+a5+a94，3a5 4，a5=4?3，则 sin（a2+a8）sin（2a5）sin8?3=sin2?3=32故答案为：327已知数列 an（n N*）中，a11，an+1=?2?+1，则 an12?-1【分析

8、】由an+1=?2?+1，取倒数，可得1?是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，即可得出结论解：an+1=?2?+1，1?+1-1?=2，1?是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，1?=2n1，an=12?-1故答案为：12?-18把函数?=?(?+4?3)-?的图象向右平移（0）个单位，使得点(?2，-?)成为图象的一个对称中心，则的最小值是5?6【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论解：把函数?=?(?+4?3)-?的图象向右平移（0）个单位，可得 y3sin（x+4?3）1 的图象，使得点(?2，-?)成为图象的一个对称中心，则 3s

9、in（?2-+4?3）0，?2-+4?3=k，k Z故当 k1 时，得到的最小正值为5?6，故答案为：5?69函数 f（x）=2+?+?3-?2?（x R）的最小值为2-24【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换和关系式的恒等变换的应用和函数的最值的应用求出结果解：函数f（x）=2+?+?3-?2?（x R），sinx+cosx=?(?+?4)，当 x=-3?4时，(?+?)?=-?，（sin2x）min 1所以(2+?+?3-?2?)?=2-23+1=2-24故答案为：2-2410正整数列 an满足 a1a，且对于n N*有 an+1=?+?，?是奇数?2，?是偶数，若 a61，则 a的所

10、有可能取值为4、5 或 32【分析】因为数列an的各项都为正整数，由a61 一直倒推至a1即可解题解：a61，a52，a44，a38 或 1，当 a38 时，a216，a132 或 5，当 a31 时，a22，a14，综上所述，a 的所有可能取值为4、5 或 32，故答案为：4、5 或 3211定义在R 上的奇函数yf（x）满足 f（tanx）sin（2x）对任意?(?，?2)成立，则f（x）值域为1，1【分析】根据题意，分析可得f（tanx）sin（2x）2sinxcosx=2?2?+?2?=2?2?+1，进而可得f（x）在 x0 时的解析式，据此可得当x 0 时，有 0f（x）1，结合奇函

11、数的性质可得f（0）0，且当 x0 时，1 f（x）0，综合可得答案解：根据题意，f（tan x）sin（2x）2sinxcosx=2?2?+?2?=2?2?+1，若?(?，?2)，则 tan x 0，则当 x0 时，f（x）=2?2+1=2?+1?，又由 x+1?2，（当且仅当x1 时等号成立），即0f（x）1，又由 f（x）为定义在R 上的奇函数，则f（0）0，且当 x0 时，1f（x）0，综合可得：1f（x）1，即 f（x）的值域为 1，1；故答案为：1，112 T1是一个边长为1 的正三角形，T2是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依此类推Tn

12、+1是对 Tn中所含有的所有正三角形都去掉中间一份（如图），记Sn为Tn的面积，Qn S1+S2+Sn，则Qn?(?-(34)?)【分析】观察图形得到三角形个数的规律，边长的规律，从而得到三角形的面积Sn，发现数列 Sn是公比为(32)?=34，首项为 34的等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式即可算出结果解：对于T1：三角形个数为301，边长为1，对于 T2：三角形个数为313，边长为（12）1=12，对于 T3：三角形个数为329，边长为（12）2=14，对于 T4：三角形个数为3327，边长为（12）3=18，对于 Tn：三角形个数为3n1，边长为（12）n1，S1134?=34，S

13、2334(12)?=34(32)?，?=?34(12)?=34(32)?，S42734(12)?=34(32)?-?，?=?-?34(12)?-?，数列 Sn是公比为(32)?=34，首项为 34的等比数列，Qn=34 1-(34)?1-34=?1（34）n，故答案为：?1（34）n一、选择题13在 ABC 中，“sinA22”是“A3?4”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分又非必要【分析】在ABC 中，“sinA22”?4A3?4，即可判断出关系解：在 ABC 中，“sinA22”?4A3?4?A3?4，反之不成立“sinA22”是“A3?4”的充分非必要条件故选：A14以下

14、哪个不是?2-5?2?+1可能的取值（）A2B 1C-52D 7【分析】通过q 的取值，判断表达式的极限，推出选项即可解：当 1q1 时，?2-5?2?+1=2-02 0+1=2，所以 A 正确；当 q1 时，?2-5?2?+1=?2-52+1=-1，所以B正确；当|q|1 时，?2-5?2?+1=?2?-52+1?=0-52+0=-52，所以 C 正确；当 q 1 不存在极限故选：D15 若等差数列 an首项为 2，公差为 2，其前 n 项和记为Sn，则数列 1?前 n 项和为（）A2?+1B?+1C1?(?+1)D?2(?+1)【分析】先由题设条件求出Sn与1?，再利用裂项相消法求数列1?

15、前 n 项和解：由题意知：Sn2n+?(?-1)2?=n（n+1），1?=1?(?+1)=1?-1?+1，数列 1?前 n 项和为11-12+12-13+?+1?-1?+1=1-1?+1=?+1故选：B16已知函数f（x）Asin（x+）（其中A、均为正的常数）的最小正周期为?2，当?=?3时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）Af（1）f（1）f（0）Bf（0）f（1）f（1）Cf（1）f（0）f（1）Df（1）f（0）f（1）【分析】首先利用函数的最小正周期为?2和?=?3时，函数f（x）取得最小值，求出函数的关系式，进一步利用函数的单调性的应用求出结果解：已知函数f（x）As

16、in（x+）（其中 A、均为正的常数）的最小正周期为2?=?2，4当?=?3时，函数f（x）取得最小值，故4?3+2k-?2，k Z，整理得 2k-11?6，当 k1 时，=?6则：f（x）Asin（4x+?6）所以 f（0）Asin?6=?20，f（1）Asin（?6-?）Asin（3，48）Asin0.34?6f（1）Asin（4+?6）sin（4.52）0所以 f（1）f（1）f（0）故选：A三.解答题17已知 cos（+）=255，tan =17，且 、?(?，?2)（1）求 cos2 sin2+sin cos的值；（2）求 2+的值【分析】（1）利用角的变换的应用和三角函数关系式的恒

17、等变换求出结果（2）利用角的恒等变换的应用求出结果解：（1）已知 cos（+）=255，tan =17，且 、?(?，?2)所以 0+，故?(?+?)=55，tan（+）=12，由于?(?+?)=?+?1-?=12，解得 tan?=13所以 cos2 sin2+sin cos=?2?-?2?+?2?+?2?=1-?2?+?1+?2?=1110（2）tan（2+）tan（+）+=?(?+?)+?1-?(?+?)?=12+131-16=?所以 2+=?418已知函数?(?)=?(?+?)（1）求 yf（x）的单调减区间；（2）当 x?6，?3时，求 f（x）的最大值和最小值【分析】利用倍角公式降幂

18、，再由辅助角公式化积（1）利用复合函数的单调性求解函数的单调减区间；（2）由 x 的范围求得相位的范围，进一步求解函数的最值解：?(?)=?(?+?)=?+?=32?+1-?2?2=32?-12?+12=?(?-?6)+12（1）由?2+?-?63?2+?，解得 k?+?3 xk?+5?6，k Zy f（x）的单调减区间为?+?3，?+5?6（k Z）；（2）当 x?6，?3时，2x-?6?6，?2，则当 2x-?6=?6时，f（x）取得最小值12+12=?，当 2x-?6=?2时，f（x）取得最大值1+12=32f（x）的最大值为32，最小值为119 ABC 中，内角A、B、C 的对边分别为

19、a、b、c，已知b+c1，且（a+c）（ac）b（bc）（1）求角 A 的大小；（2）求三角形面积SABC的最大值【分析】（1）根据余弦定理求出cosA 和 A 的值；（2）利用基本不等式求出bc 的最大值，再求三角形面积SABC的最大值解：（1）ABC 中，由（a+c）（ac）b（bc），得 a2c2b2 bc，b2+c2a2 bc，所以 cosA=?2+?2-?22?=?2?=12；又 A（0，），所以 A=?3；（2）由 b+c1，A=?3，所以 bc(?+?2)?=(12)?=14，当且仅当ab=12时取等号，所以三角形面积SABC的最大值为：Smax=12bcsinA=1214 si

20、n?3=31620设数列 an的前 n 项和为 Sn，且（Sn1）2anSn（n N*），设 bn（1）n+1（n+1）2?anan+1（n N*），数列 bn的前 n 项和 Tn（1）求 S1、S2、S3的值；（2）利用“归纳猜想证明”求出Sn的通项公式；（3）求数列 Tn的通项公式【分析】（1）分别令n1，2，3 计算 an，再计算Sn；（2）根据（1）的结果猜想，再利用数学归纳法证明；（3）讨论 n 的奇偶性，再根据裂项法求和解：（1）当 n1 时，（a1 1）2a12，解得：a1=12，当 n 2 时，（12+a21）2 a2（12+a2），解得：a2=16，当 n 3 时，（12+1

21、6+a31）2a3（12+16+a3），解得：a3=112S1a1=12，S2a1+a2=23，S3a1+a2+a3=34（2）猜想：?=?+1（n N）；证明：当n1 时，猜想显然成立，假设 nk 时猜想成立，即?=?+1，由（Sn1）2 anSn（n N*）可得：（Sn+11）2an+1Sn+1，即（Sn+an+11）2an+1（Sn+an+1），（an+1-1?+1）2an+1（?+1+an+1），an+1=1(?+1)(?+2)，Sn+1Sn+an+1=?+1+1(?+1)(?+2)=?+1?+2当 nk+1 时，猜想成立，所以：?=?+1（n N）（3）由（Sn1）2anSn可得 a

22、n=(?-1)2?=1?(?+1)，bn（1）n+1（n+1）2?anan+1=(-1)?+1?(?+2)=（1）n+1?12（1?-1?+2），若 n 为奇数（n3），b1+b3+b5+bn=12（1-13+13-15+?+1?-1?+2）=12（1-1?+2），b2+b4+b6+bn1=-12（12-14+14-16+?+1?-1-1?+1）=-12（12-1?+1）=12（1?+1-12），Tn=12（12+1?+1-1?+2）=12（12+1(?+1)(?+2)）若 n 为偶数，b1+b3+b5+bn1=12（1-13+13-15+?+1?-1-1?+1）=12（1-1?+1），b2+

23、b4+b6+bn=-12（12-14+14-16+?+1?-1?+2）=12（1?+2-12），Tn=12（12+1?+2-1?+1）=12（12-1(?+1)(?+2)）综上，?=12(12+(-1)?+1(?+1)(?+2)21已知数列 an和bn满足 a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+1 3bnan 4（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求 an和bn的通项公式；（3）令?=?是奇数?是偶数，求数列 cn的前 n 项和 Sn的通项公式，并求数列1?的最大值、最小值，并指出分别是第几项【分析】（1）由 4an+13anbn+4，4bn+13bnan4

24、，两式相加推证an+bn是等比数列，两式相减推证anbn是等差数列；（2）由（1）先求出 an+bn（12）n1，anbn1+2（n1）2n1，再利用两式相加、相减求出通项公式即可；（3）由（2）先求出 cn=12?+（1）n1（n-12），再求其前n 项和 Sn的通项公式，进而求 1?的最值解：（1）证明：a1 1，b10，a1+b1a1b11又 4an+13an bn+4，4bn+13bnan4，由 +可得：4（an+1+bn+1）2（an+bn），即?+1+?+1?+?=12，数列 an+bn是首项为1，公比为12的等比数列；由 可得：4（an+1bn+1）4（anbn）+8，即（an+

25、1 bn+1）（anbn）2，数列 anbn是首项为1，公差为 2 的等差数列（2）解：由（1）知：an+bn（12）n1，anbn1+2（n1）2n1，由 +整理得：?=?-12+12?；由 整理得：?=-?+12+12?，故?=?-12+12?，?=-?+12+12?；（3）解：由（2）得 cn=?-12+12?，?为奇数-?+12+12?，?为偶数，即 cn=12?+（1）n1（n-12）当 n 为偶数时，Sn=121-(12)?1-12+（1-12）（2-12）+（3-12）（4-12）+（n1-12）（n-12）1-?2-12?；当 n 为奇数时，Sn=121-(12)?1-12+（1-12）（2-12）+（3-12）（4-12）+（n2-12）（n1-12）+n-12=?2+1-12?，即 Sn1（12）n-?(-1)?2易知：1?的最大值为1?1=1，为第一项；最小值为1?2=-4，为第二项