2019-2020学年北京四中八年级下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年北京四中八年级第二学期期中数学试卷一、选择题1函数中，自变量x 的取值范围是（）Ax3Bx3Cx3Dx32以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A1，2B1，1，2C2，3，4D4，5，63下列各式中与是同类二次根式的是（）ABCD4如图，将?ABCD 的一边 BC 延长至点E，若 155，则 A（）A35B55C125D1455在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A两组对边分别平行B一组对边平行且另一组对边相等C两组邻边相等D对角线互相垂直6在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是（）A两组对边分别平行B两组对边分别相等C对角线相等D对角线互相平分7

2、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的 4 位同学拟定的方案，其中正确的是（）A测量对角线是否相互平分B测量两组对边是否分别相等C测量一组对角是否都为直角D测量其中四边形的三个角都为直角8若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x 的值为（）Ax0Bx1Cx2Dx39如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A（0，2），B（4，0），点 N 为线段 AB 的中点，则点 N 的坐标为（）A（1，2）B（4，2）C（2，4）D（2，1）10如图，RtABC 中，AB18，BC 12，B90，将 ABC 折叠，使点A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为M

3、N，则线段BN 的长为（）A8B6C4D10二、填空题（共8 小题，每题3 分，共 24 分）11 如图，在?ABCD 中，BC 9，AB5，BE 平分 ABC 交 AD 于点 E，则 DE 的长为12如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，若 BOC120，AB3，则BC 的长为13估计与 0.5 的大小关系是：0.5（填“”、“”、“”）14如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 边上的点，AECF，EFB 45，若 AB5，BC13，则 AE 的长为15如果一个无理数a 与的积是一个有理数，写出a 的一个值是16 如图，点 E 为矩形 ABCD 的边 BC

4、长上的一点，作 DF AE 于点 F，且满足 DF AB 下面结论：DEF DEC；SABESADF；AFAB；BEAF 其中正确的结论是17我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE6，正方形ODCE 的边长为2，则 BD 等于18已知：线段AB，BC求作：平行四边形ABCD 以下是甲、乙两同学的作业甲：以点 C 为圆心，AB 长为半径作弧；以点 A 为圆心，BC 长为半径作弧；两弧在 BC 上方交于点D，连接 AD，CD四边形 ABCD

5、即为所求平行四边形（如图1）乙：连接 AC，作线段AC 的垂直平分线，交AC 于点 M；连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MDMB，连接AD，CD四边形 ABCD 即为所求平行四边形（如图2）老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢的作法，他的作图依据是：三、解答题（共46 分，第 19 题 3 分，第20 题至第 22 题各 6 分，第 23 题至第 24 题各 5分，第 25 题 7 分，第 26 题 8 分）19计算：+20在平面直角坐标系xOy 中，已知A（3，2），B（1，2），C（1，1），若以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标（在平面直角坐标系中画出平

6、行四边形并标上点D 的坐标）21如图，E、F 是?ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF求证：EBDF（写出主要的证明依据）22已知，如图，等腰ABC 的底边 BC10cm，D 是腰 AB 上一点，且CD8cm，BD 6cm，求 AB 的长23下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l 及直线 l 外一点 P求作：直线PQ，使得 PQ l作法：如图，在直线 l 上取一点 A，作射线AP，以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，交AP 的延长线于点B；以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交l 于点 C（不与点A 重合），连接BC；以点 B 为圆心，BP 长

7、为半径画孤，交BC 于点 Q；作直线 PQ所以直线PQ 就是所求作的直线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：PBPA，BC，BQPB，PB PABQPQ l（）（填推理的依据）24下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程：已知：如图，在RtABC 中，ABC 90，O 为 AC 的中点，求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD 为矩形作法：作射线 BO，在线段BO 的延长线上取点D，使得 DOBO 连接 AD，CD，则四边形ABCD 为矩形根据小丁设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（

8、保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：点O 为 AC 的中点，AOCO又 DOBO，四边形ABCD 为平行四边形（）ABC 90，?ABCD 为矩形（）25常常听说“勾3 股 4 弦 5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长 a，b 与斜边长c 之间满足等式：a2+b2 c2”的一个最简单特例我们把满足a2+b2c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p 合适的数值：abcabc345435512m681072425p15179n41102426116061123537平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做

9、整点（格点）过x 轴上的整点作y轴的平行线，过y 轴上的整点作x 轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB 的两端点是格边上的点时，称为AB 在格边上顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣（2）已知 ABC 三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点ABC 并计算其面积26如图，矩形ABCD 中，点 E 为矩形的边CD 上的任意一点，点P 为线段 AE 的中点，连接 BP 并延长与边AD 交于点 F，点 M 为边 CD 上的一点，且CM D

10、E，连接 FM（1）依题意补全图形；（2）求证 DMF ABF 三、B 卷27（1）小 My 同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a 的等边三角形面积是（用含 a 的代数式表示）；（2）小 My 同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？如果将一个边长为2 的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是；小 My 同学按下图切割方法将正方形ABCD 剪拼成一个等边三角形EFG：M、N 分别为 AB、CD 边上的中点，P、Q 是边 BC、AD 上两点，G 为 MQ 上一点，且 MGPPGN NGQ60请补全图形，画出拼成正

11、三角形的各部分分割线，并标号；正方形 ABCD 的边长为2，设 BPx，则 x228如图，双边直尺有两条平行的边，但是没有刻度，可以用来画等距平行线：我们也可用工具自制（如图）：下面是小My 同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的双边直尺作图过程（1）根据小 My 同学的作图过程，请证明O 为 PH 中点（2）根据小 My 同学的作图过程，请证明PQl参考答案一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题意共10 小题，每小题3 分，共 30 分）1函数中，自变量x 的取值范围是（）Ax3Bx3Cx3Dx3【分析】根据二次根式有意义的条件，即根号下大于等于0，求出即可解：有意义的条件是：x3

12、0 x3故选：B2以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A1，2B1，1，2C2，3，4D4，5，6【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系定理逐个判断即可解：A、12+（）222，以 1，2 为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；B、1+12，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、22+32 42，以 2，3，4 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、42+52 62，以 4，5，6 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A3下列各式中与是同类二次根式的是（）ABCD【分析】根据同类二次根式的定义逐个判

13、断即可解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B、3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、2，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D、3，与是同类二次根式，故本选项符合题意；故选：D4如图，将?ABCD 的一边 BC 延长至点E，若 155，则 A（）A35B55C125D145【分析】根据平行四边形的对角相等得出A BCD，再根据平角等于180列式求出BCD125，即可得解解：四边形ABCD 是平行四边形，A BCD，155，BCD 180 1 125，A BCD 125故选：C5在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A两组对边分别平行B一组对边平行且另一组对边相

14、等C两组邻边相等D对角线互相垂直【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意；C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：A6在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是（）A两组对边分别平行B两组对边分别相等C对角线相等D对角线互相平分【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得 A、B、D 正确 C 错误即可解：平行四边形的

15、对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，选项 A、B、D 正确 C 错误故选：C7在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的 4 位同学拟定的方案，其中正确的是（）A测量对角线是否相互平分B测量两组对边是否分别相等C测量一组对角是否都为直角D测量其中四边形的三个角都为直角【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边

16、形中三个角都为直角，能判定矩形故选：D8若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x 的值为（）Ax0Bx1Cx2Dx3【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可解：最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，x+32x，解得：x3，故选：D9如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A（0，2），B（4，0），点 N 为线段 AB 的中点，则点 N 的坐标为（）A（1，2）B（4，2）C（2，4）D（2，1）【分析】根据三角形的中位线定理和坐标解答即可解：过 N 作 NEy 轴，NF x 轴，点 A（0，2），B（4，0），点 N 为线段 AB 的中点，NE 2，NF 1，点 N

17、 的坐标为（2，1），故选：D10如图，RtABC 中，AB18，BC 12，B90，将 ABC 折叠，使点A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为MN，则线段BN 的长为（）A8B6C4D10【分析】设BN x，则由折叠的性质可得DN AN18 x，根据中点的定义可得BD 6，在 RtBND 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解解：设 BNx，由折叠的性质可得DN AN 18x，D 是 BC 的中点，BD 6，在 Rt NBD 中，x2+62（18x）2，解得 x8即 BN 8故选：A二、填空题（共8 小题，每题3 分，共 24 分）11 如图，在?ABCD 中，BC9，AB5，

18、BE 平分 ABC 交 AD 于点 E，则 DE 的长为4【分析】根据四边形ABCD 为平行四边形可得AEBC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出ABE AEB，继而可得ABAE，然后根据已知可求得DE 的长度解：四边形ABCD 为平行四边形，AE BC，AEB EBC，BE 平分 ABC，ABE EBC，ABE AEB，AB AE，BC 9，CD5，DE ADAE95 4故答案为：412如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，若 BOC120，AB3，则BC 的长为3【分析】根据矩形的性质求出AC2AO，AO BO，根据等边三角形的判定得出AOB是等边三角形，求出ABAO

19、3，求出 AC，再根据勾股定理求出BC 即可解：BOC 120，AOB 60，四边形ABCD 是矩形，ABC 90，AC BD，AOOC，BO DO，AOBO，AOB 是等边三角形，AB AOBO，AB 3，AO3，AC 2AO6，由勾股定理得：BC 3，故答案为：313估计与 0.5 的大小关系是：0.5（填“”、“”、“”）【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小解：0.5，20，0，0.5故答案为：14如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 边上的点，AECF，EFB 45，若 AB5，BC13，则 AE 的长为4【分析】过 E 作 EM

20、BC 于 M，根据矩形的性质得出A B 90，求出四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM AB5，AEBM，求出 EM FM 5，根据BC13 和 AECF BM 求出即可解：如图，过 E 作 EM BC 于 M，则 EMF EMB 90，四边形ABCD 是矩形，A B90，四边形ABME 是矩形，AB 5，EM AB 5，AEBM，EFB 45，EMF 90，MEF 45 EFB，EM FM 5，BC 13，AE CFBM，2AE+513，解得：AE4，故答案为：415 如果一个无理数a 与的积是一个有理数，写出 a 的一个值是（答案不唯一）【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的

21、值解：2，无理数a 与的积是一个有理数，a 的值可以为：（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）16 如图，点 E 为矩形 ABCD 的边 BC 长上的一点，作 DF AE 于点 F，且满足 DF AB 下面结论：DEF DEC；SABESADF；AFAB；BEAF 其中正确的结论是【分析】证明 RtDEF Rt DEC 得出 正确；在证明 ABE DFA 得出 SABESADF；正确；得出BEAF，正确，不正确；即可得出结论解：四边形ABCD 是矩形，C ABE 90，ADBC，ABCD，DF AB，DF CD，DF AE，DFA DFE 90，在 Rt DEF 和 Rt DEC 中，RtDE

22、F RtDEC（HL），正确；AD BC，AEB DAF，在 ABE 和 DFA 中，ABE DFA（AAS），SABESADF；正确；BE AF，正确，不正确；故答案为：17我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE6，正方形ODCE 的边长为2，则 BD 等于4【分析】设BD x，正方形ODCE 的边长为2，则 CDCE 2，根据全等三角形的性质得到 AFAE，BF BD，根据勾股定理即可得到结论解：设正方形ODCE 的边长为2，则 CD

23、CE2，设 BD x，AFO AEO，BDO BFO，AF AE，BF BD，AB x+6，AC6+28，BC x+2，AC2+BC2 AB2，（x+2）2+82（x+6）2，x4，故答案为：418已知：线段AB，BC求作：平行四边形ABCD 以下是甲、乙两同学的作业甲：以点 C 为圆心，AB 长为半径作弧；以点 A 为圆心，BC 长为半径作弧；两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD四边形 ABCD 即为所求平行四边形（如图1）乙：连接 AC，作线段AC 的垂直平分线，交AC 于点 M；连接 BM 并延长，在延长线上取一点D，使 MD MB，连接 AD，CD四边形 ABCD 即为所求平行四边形

24、（如图2）老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢甲或乙的作法，他的作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题解：甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形故答案为：甲或乙，两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形三、解答题（共46 分，第 19 题 3 分，第20 题至第 22 题各 6 分，第 23 题至第 24 题各 5分，第 25 题 7 分，第 26 题 8 分）19计算：+【分析】先化简二次根式，计算二次根式的除法，再合并同类二次

25、根式即可得解：原式 3+420在平面直角坐标系xOy 中，已知A（3，2），B（1，2），C（1，1），若以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D 的坐标）【分析】根据平行四边形的判定即可得点D 的坐标解：如图，A（3，2），B（1，2），C（1，1），以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，点 D 的坐标为：（5，1）或（1，5）或（3，3）21如图，E、F 是?ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF求证：EBDF（写出主要的证明依据）【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，可得A

26、BCD，ABCD，根据两直线平行，内错角相等，可得FCD EAB，由已知AECF，可证得 FCD EAB（SAS），所以EBDF【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD，ABCD（平行四边形的对边平行且相等），FCD EAB（两直线平行，内错角相等），AE CF，FCD EAB（SAS），EB DF 22已知，如图，等腰ABC 的底边 BC10cm，D 是腰 AB 上一点，且CD8cm，BD 6cm，求 AB 的长【分析】根据勾股定理的逆定理求出BDC 90，求出 ADC 90，在Rt ADC中，由勾股定理得出a2（a6）2+82，求出 a 即可解：设 ABACacm，BC 10

27、cm，CD8cm，BD 6cm，BD2+CD2BC2，BDC 90，即 ADC 90，在 Rt ADC 中，由勾股定理得：AC2 AD2+CD2，即 a2（a6）2+82，解得：a，即 ABcm23下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l 及直线 l 外一点 P求作：直线PQ，使得 PQ l作法：如图，在直线 l 上取一点 A，作射线AP，以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，交AP 的延长线于点B；以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交l 于点 C（不与点A 重合），连接BC；以点 B 为圆心，BP 长为半径画孤，交BC 于点 Q；作直线 PQ所以直线P

28、Q 就是所求作的直线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：PBPA，BCBA，BQPB，PB PABQQCPQ l（三角形的中位线定理）（填推理的依据）【分析】（1）根据要求画出图形（2）利用三角形的中位线定理证明即可解：（1）直线 PQ 即为所求（2）证明：PBPA，BCBA，BQ PB，PB PABQQCPQ l（三角形的中位线定理）故答案为：BA，QC，三角形的中位线定理24下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程：已知：如图，在RtABC 中，ABC 90，O 为 AC 的中点，求作：四边形ABC

29、D，使得四边形ABCD 为矩形作法：作射线 BO，在线段BO 的延长线上取点D，使得 DOBO 连接 AD，CD，则四边形ABCD 为矩形根据小丁设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：点O 为 AC 的中点，AOCO又 DOBO，四边形ABCD 为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）ABC 90，?ABCD 为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）【分析】（1）根据要求画出图形即可（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明解：（1）如图，矩形ABCD 即为所求（2）理由：点O 为 AC 的中点，AOCO又 DOBO

30、，四边形ABCD 为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）ABC 90，?ABCD 为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形25常常听说“勾3 股 4 弦 5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长 a，b 与斜边长c 之间满足等式：a2+b2 c2”的一个最简单特例我们把满足a2+b2c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p 合适的数值：abcabc345435512m681072425p15179n411024261160

31、61123537平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）过x 轴上的整点作y轴的平行线，过y 轴上的整点作x 轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB 的两端点是格边上的点时，称为AB 在格边上顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣（2）已知 ABC 三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点ABC 并计算其面积【分析】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13 和 15 的边，再根据三角形的面积公式计算即

32、可解：（1）52+122132，m13；92+402412，n40，82+152172，p8（2）如图所示：在 ABC 中，AB15，BC 4，AC13，SABCSABDSACD2426如图，矩形ABCD 中，点 E 为矩形的边CD 上的任意一点，点P 为线段 AE 的中点，连接 BP 并延长与边AD 交于点 F，点 M 为边 CD 上的一点，且CM DE，连接 FM（1）依题意补全图形；（2）求证 DMF ABF【分析】（1）按要求画图；（2）延长 BF 交 CD 的延长线于点N，首先证明APB 和 EPN 全等，得到ENAB，再根据已知条件证明FN FM，可得结论【解答】（1）解：如图所示

33、，（2）证明：延长BF 交 CD 的延长线于点N，点 P 为线段 AE 中点，AP PE，AB CD，PEN PAB，2 N，在 APB 和 EPN 中，APB EPN（AAS），AB EN，AB CDEN，EN DN+DE，CD DM+CM，DE CM，DN DM，FD MN，FN FM，N 1，1 2，即 DMF ABF 三、B 卷27（1）小 My 同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a 的等边三角形面积是a2（用含 a 的代数式表示）；（2）小 My 同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？如果将一个边长为2 的正方

34、形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是；小 My 同学按下图切割方法将正方形ABCD 剪拼成一个等边三角形EFG：M、N 分别为 AB、CD 边上的中点，P、Q 是边 BC、AD 上两点，G 为 MQ 上一点，且 MGPPGN NGQ60请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；正方形 ABCD 的边长为2，设 BPx，则 x21【分析】（1）如图 1，过 A 作 AD BC 于 D，根据等边三角形的性质得到BDCDBCa，由勾股定理得到AD a，于是得到SABCBC?ADa2；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；补全图形如图2 所示；由题意知，PGPE，GNNF，推出

35、PN 是 GEF 的中位线，得到PNEF，根据勾股定理即可得到结论解：（1）如图，过A 作 ADBC 于 D，ABC 是等边三角形，BD CDBCa，AD a，SABCBC?ADa2；（2）边长为2 的正方形的面积4，剪拼成的等边三角形的面积4，a24，a2，即该三角形边长的平方是；补全图形如图2 所示；由题意知，PG PE，GNNF，PN 是 GEF 的中位线，PNEF，N 为 AB 边上的中点，BN AB1，边长为2 的正方形的面积4，剪拼成的等边三角形的面积4，a24，a2，即 GEF 边长的平方是，EF，PN，PN2BN2+BP2，+1x2，x21；故答案为：（1）a2；（2）；1；2

36、8如图，双边直尺有两条平行的边，但是没有刻度，可以用来画等距平行线：我们也可用工具自制（如图）：下面是小My 同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的双边直尺作图过程（1）根据小 My 同学的作图过程，请证明O 为 PH 中点（2）根据小 My 同学的作图过程，请证明PQl【分析】（1）根据小My 同学的作图过程可得，四边形PMHN是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可得结论；（2）作 OKTH 交 QI 于点 K，由作图过程可证明OQK TOH（ASA），可得OQOT，进而可以得结论解：（1）根据小My 同学的作图过程可知：四边形 PMHN 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，所以 O 为 PH 中点（2）如图，作OKTH 交 QI 于点 K，由作图过程可知：PH QI，OKHI TH，QOK OTH，OKQ QIH OHT，OQK TOH（ASA），OQOT，OP OH，四边形PQHT 是平行四边形，PQ l