弹性力学试题参考答案与弹性力学复习题.pdf

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1、文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.弹性力学复习资料一、简答题1试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数 x、y、xy=yx，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。平面问题的几何方程:揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。平面问题中的物理方程：揭示的是形变

2、分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。2按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。3弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负

3、号？答：弹性体任意一点的应力状态由6 个应力分量决定，它们是：x、y、z、xy、yz、zx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。4在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。（2）假定物体是完全弹性的。（3）假定物体是均匀的。（4）假定物体是各向同性的。（5）假定位移和变形是微小的。符合（1）（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。5 什么叫平面应力问题？什么

4、叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板支墩就属于此类。平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作用都不沿长度而变化。6在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？答：在弹性力学利分析问题，要从3 方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.平面问题

5、的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平面问题中的物理方程。7按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类？试作简要说明答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类：（1）平面应力问题：很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在yxxyyx、三个应力分量。（2）平面应变问题：很

6、长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力也平行于横截面且不沿长度变化。这一类问题可以简化为平面应变问题。例如挡土墙和重力坝的受力分析。该种问题并不等于零。而一般zzyyzzxxz0;08什么是圣维南原理？其在弹性力学的问题求解中有什么实际意义？圣维南原理可表述为：如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那麽近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将面力分布不明确的情况转化为静力等效但分布表达明确的情况而将问题解决。还可解决边界条件不完全满足的问题的求解。9

7、 什么是平面应力问题？其受力特点如何，试举例予以说明。答：平面应力问题是指很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在yxxyyx、三个应力分量。10什么是“差分法”？试写出基本差分公式。答；所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。基本差分公式如下：二、计算题1 已 知 过P 点 的 应 力 分 量,15Mpax,25MpayMpaxy20。求 过 P 点，0060cos30cosml、斜

8、面上的NNNNYX、。解：MpamlXxyxN99.222060cos1530cos002在物体内的任一点取一六面体，x、y、z 方向的尺寸分别为dx、dy、dz。试依据下图证明：0Yxzyxyzyy。证明：化简并整理上式，得：3 图 示 三 角 形 截 面 水 坝，材 料 的 比 重 为，承 受 比 重 为液 体 的 压 力，已 求 得 应 力 解 为文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.aydxgydycxbyaxxyyx，试写出直边及斜边上的边界条件。解：由边界条件左边界：sin,cosml右边界：0,1 ml4已知一点处的应力分量,30Mpax,25MpayM

9、paxy50，试求主应力21、以及1与 x 轴的夹角。解：5在物体内的任一点取一六面体，x、y、z 方向的尺寸分别为dx、dy、dz。试依据下图证明：0zyxzyzxzz。证明：化简并整理上式：6 图示悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，设应力函数3223DyCxyyBxAx恒能满足双调和方程。试求应力分量并写出边界条件。解：所设应力函数。相应的应力分量为：22yx=2Cx+6Dy 边界条件为：上表面（y=0），要求XN=（0)0yyx，B=0 0)(0yyYN，A=0 斜边界：,cos,sin,mlaxytg边界条件得：弹性力学试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题 4 分）1

10、最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。2一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。3等截面直杆扭转问题中，MdxdyD2的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.截面内的扭矩M。4 平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,ijijX，)(21,ijjiijuu。二、简述题（每小题6 分）1试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物

11、体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效 的面力（主矢与主矩相同），则 近处的应力 分布将有 显著的改变，但 远处的应力 所受 影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。题二（2）图（a）)(),(),(222frrcybxyaxyx（b）)(),(),(33223frrdycxyybxaxyx3图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比已知。试求薄板面积的改变量S。题二（

12、3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l。由qE)1(1得，设板在力P 作用下的面积改变为S，由功的互等定理有：将l代入得：显然，S与板的形状无关，仅与E、l 有关。4图示曲杆，在br边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。题二（4）图（1）0,brrbrrq；（2）0,0arrarr（3）sincosPdrPdrbarba5试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.Love、Galerki

13、n 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数),(),(),(yxwyxvyxu或),(),(rurur为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1 图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设 间 距d 很 小。试 求 其 应 力 分 量，并 讨 论 所 求 解 的 适 用 范 围。（提 示：取 应 力 函 数 为BA2sin）（13 分）题三（1）图解

14、：d很小，PdM，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。将应力函数),(r代入，可求得应力分量：2sin4112222Arrrrr；022r；边界条件：（1）0,00000rrr；0,000rrr代入应力分量式，有0)2(12BAr或02BA（1）（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：rr,，和 M=Pd 由该脱离体的平衡，得将r代入并积分，有02sin22MBA得0MB（2）联立式（1）、（2）求得：PdMB，2PdA代入应力分量式，得22sin2rPdr；0；22sin2rPdr。结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用

15、。文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.2图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出yxy,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。（12 分）题三（2）图解：（1）求横截面上正应力x任意截面的弯矩为306xlqM，截面惯性矩为123hI，由材料力学计算公式有yxlhqIMyx3302（1）（2）由平衡微分方程求xy、y平衡微分方程：(3)0(2)0YyxXyxyyxxyx其中，0,0 YX。将式（1）代入式（2），有积分上式，得利用边界条件：02hyxy，有0)(4312230 xfhxlhq即2230143)(h

16、xlhqxf)41(322230hyxlhqxy（4）将式（4）代入式（3），有0)41(62230yhyxlhqy或)41(62230hyxlhqyy积分得利用边界条件：xlqhyy02，02hyy得：由第二式，得将其代入第一式，得xlqxlqxlq00022自然成立。文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.将)(2xf代入y的表达式，有xlqyhyxlhqy2)413(602330（5）所求应力分量的结果：)41(322230hyxlhqxy（6）校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x=0）：0220hhxxdy，0220hhxxydy代入后可见：自然满足。（

17、2）梁右端的边界（x=l）：可见，所有边界条件均满足。检验应力分量yxyx,是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为将应力分量yxyx,式（6）代入应力相容方程，有xylhqxyx302212)(，xylhqyyx302212)(显然，应力分量yxyx,不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度 EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数)(xw；（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1 项待定系数）。（

18、13 分）题二（3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为)()(23212xAxAAxxw多项式函数形式)2cos1()(1nmmlxmAxw三角函数形式此时有：即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为取：21)(xAxw，有文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.1222Adxwd，21)(lAlw代入总势能计算式，有由0，有代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为4 已知受力物体内某一点的应力分量为：0 x，MPa2y，MPa1z，MPa1xy，0yz，MPa2zx，试求经过该点的平面13zyx上的正应力。（12 分）解：由平面方程13zyx，得其法线方向单位矢量的方向余

19、弦为1111311222l，1131313222m，1111311222n102021210ij，131111nmlL弹性力学课程考试试卷学号：姓名：工程领域：建筑与土木工程题号一二三四五总分得分考试时间：120 分钟考试方式：开卷任课教师：杨静日期：2007 年 4 月 28 日一、简述题（40 分）1.试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系。2.弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？3.写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？4.写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。5.求解弹性力学问题时，为什么需要利用

20、圣维南原理？6.试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性?7.试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）)(22yxCx，2Cyy，Cxyxy2。8.试写出应力边界条件：（1）（a）图用极坐标形式写出；（2）（b）图用直角坐标形式写出。文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.（a）图（b）图二、计算题（15分）已知受力物体中某点的应力分量为：0 x，ay2，az，axy，0yz，azx2。试求作用在过此点的平面13zyx上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。三、计算题（15 分）图示矩形截面悬臂梁，长为l，高

21、为h，在左端面受力P作用。不计体力，试求梁的应力分量。（试取应力函数BxyAxy3）四、计算题（15 分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设 间 距d很 小。试 求 其 应 力 分 量，并 讨 论 所 求 解 的 适 用 范 围。（试 取 应 力 函 数BA2sin）五、计算题（15 分）如图所示的悬臂梁，其跨度为l。抗弯刚度为EI，在自由端受集中力P作用。试用最小势能原理求最大挠度。（设梁的挠度曲线)2cos1(lxAw）弹性力学试题（答题时间：120 分钟）班级姓名学号题号一二三总 分（1）（2）（3）（4）得分一、填空题（每小题

22、 4 分）1用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足：。2弹性多连体问题的应力分量应满足，。3拉甫（Love）位移函数法适用空间问题；伽辽金（Galerkin）位移函数法适用于空间问题。4圣维南原理的基本要点有，。5有限差分法的基本思想为：，。二、简述题（每小题5 分）1试比较两类平面问题的特点，并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.2试就下列公式说明下列问题：（1）单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关；（2）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。式中：)(),(11zz均为解析函数；)(),(11zz均为

23、单值解析函数。3试列写图示半无限平面问题的边界条件。题二（3）图4图示弹性薄板，作用一对拉力P。试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量S与板的形状无关，仅与材料的弹性模量E、泊松比、两力 P 作用点间的距离l 有关。题二（4）图5下面给出平面问题（单连通域）的一组应变分量，试判断它们是否可能。),(22yxCx,2CyyCxyxy2。6等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数),(yx应满足：式中：G 为剪切弹性模量；K 为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。三、计算题1 图示无限大薄板，在夹角为90的凹口边界上作用有均匀分布剪应力q。已知其应力函数为：不计体力，试求其应力分量。（

24、13 分）题三（1）图2图示矩形截面杆，长为l，截面高为h，宽为单位1，受偏心拉力N，偏心距为e，不计杆的体力。试 用 应 力 函 数23ByAy求 杆 的 应 力 分 量，并 与 材 料 力 学 结 果 比 较。（12 分）题三（2）图3图示简支梁，其跨度为l，抗弯刚度EI 为常数，受有线性分布载荷q 作用。试求：（1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w）近似函数的表达式；（2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种，用最小势能原理或Ritz 法求梁挠度（w）的近似解（取2 项待定系数）。（13 分）题三（3）图4图示微小四面体OABC，OA=OB=OC，D 为 AB 的中点。设O 点的应变张量为：试求 D 点处单位矢量v、t 方向的线应变。（12 分）题三（4）图