2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟(三模)数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页2020 届广西柳州市高三毕业班4 月模拟（三模）数学（文）试题一、单选题1已知R是实数集，集合|2AxZx，|210Bxx，则RAC BI（）A1,12B1C1,0D1,2【答案】C【解析】先求得的集合1,0,1A，1|2Bx x，进而得到RC B，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合|21,0,1AxZx，1|210|2Bxxx x，所以1|2RC Bx x，所以1,0RAC BI.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2已知复数51izi（

2、i为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算，求得复数23zi，再结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，根据复数的除法运算，可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2iiiiziiii，则在复平面内z 所对应的点为2,3，在第一象限.故选：A.【点睛】第 2 页 共 20 页本题主要考查了复数的几何意义，以及复数的除法运算，其中解答中熟练应用复数的除法运算，求得复数的代数形式是解答的关键，着重考查了计算能力.3在区间1,10上任取一个整数x，则满足ln1x的概率为（）A15B45C109eD19【答案】

3、B【解析】根据题意，找出基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，在区间1,10上任取一个整数x，共有 10 种可能，而满足ln1x，即xe有 3，4，5，6，7，8，9，10，共 8 种可能，所以所求概率是45.故选：B.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数和所有事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4某工厂的每月各项开支x与毛利润y（单位：万元）之间有如下关系，y与x的线性回归方程$6.5yxa，则a（）x2 4 5 6 8 y30 40 60 50

4、 70 A17.5 B17 C15 D15.5【答案】A【解析】根据表中的数据，求得样本中心为(5,50)，代入回归方程为$6.5yxa，即可求解.【详解】由题意，根据表中的数据，可得2456855x，第 3 页 共 20 页3040605070505y，即样本中心为(5,50)，代入y与x的线性回归方程为$6.5yxa，解得17.5a.故选：A.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线的方程必过样本中心这一基本特征是解答的关键，着重考查了计算能力.5若函数2sin0,0fxx的相邻两条对称轴间的距离为2，且在6x取得最大值2，则4f（）A2B1 C2 D3【答案】D【

5、解析】由函数相邻两条对称轴间的距离为2，求得2，再由函数图象经过点,26，求得6，得出函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，函数2sin0,0fxx的相邻两条对称轴间的距离为2，可得2，解得2，所以2sin 2fxx，又因为函数图象经过点,26，所以sin13，因为0，可得6，所以2sin26fxx，所以2sin3426f.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.6已知nS是等比数列na的前n项和，748aa，445S，则1a（）第 4 页 共 20 页A3 B5 C-3 D-5【

6、答案】A【解析】设等比数列的公比为q，由748aa，求得2q=，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】设等比数列的公比为q，因为748aa，即3748aqa，解得2q=，又由等比数列求和公式得144124512Sa，解得13a.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力.7设x，y满足约束条件2020210yxxy，则23zxy的最大值与最小值的和为（）A283B283C103D103【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，

7、代入即可求解.【详解】由题意，不等式所表示的平面区域，如图阴影所示：目标函数23zxy可化为直线23yxz，当直线23yxz平移到过A点时，此时在y轴上的截距最大，z 取得最大值，联立20210 xxy得2,5A，此时目标函数的最大值为193z；当直线23yxz平移到过B点时，此时在y轴上的截距最小，z 取得最小值，第 5 页 共 20 页联立20210yxy得3,22B，此时目标函数的最小值为3z，故最大值与最小值的和为103.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着

8、重考查了数形结合思想，及推理与计算能力8函数cos xfxx在3x处的切线斜率为（）A293 322B293 322C293 322D293 322【答案】D【解析】求得函数导数，进而得到函数在3x处的导数值，根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，函数cosxfxx，可得211cossinfxxxxx，所以229393 3cossin33322f，即函数fx在3x处的切线斜率为293 322.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，熟练应用第 6 页 共 20 页导数的四则运算法则求得函数的导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9在直

9、棱柱111ABCA B C中，若ABCV为等边三角形，且13BBAB，则1AB与1C B所成角的余弦值为（）A38B14C34D58【答案】D【解析】由题意，设1AB，13BB，取AC中点N，连结MN，BN，得出1AB与1C B所成角即为NMB或其补角，利用余弦定理，即可求解.【详解】由题意，设1AB，13BB，则连结1B C交1BC于点M，取AC中点N，连结MN，BN，则1/ABMN且11131122MNAB，则1AB与1C B所成角即为NMB或其补角，又由32BN，1112BMBC，由余弦定可得22231 154cos22 1 18BMMNBNNMBBM MN.故选：D.【点睛】本题主要考

10、查了空间几何体的结构特征，以及异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了转化思想，以及计算能力.10执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为1，1，则输出的S是（）第 7 页 共 20 页A41 B17 C12 D3【答案】B【解析】执行程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】由题意，执行程序框图，可知1a，1b，4n；第 1 次循环：3S，1a，3b，3n，不满足判断条件；第 2 次循环：7S，3a，7b，2n，不满足判断条件；第 3 次循环：17S，7a，17b，1n，满足判断条件，跳出循环体，输出17S.故选：B.【

11、点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中根据程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了计算能力.11 已知函数1112xfxe，若1.32af，0.74bf，3log 8cf，则a，b，c的大小关系为（）AcabB acbCbacDabc第 8 页 共 20 页【答案】C【解析】由指数函数的性质，求得函数fx是减函数，再利用指数函数与对数函数的性质，得到1.30.73log 824，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得函数e1xy为单调递增函数，可得函数1112xfxe是定义域R上的单调递减函数，又因为1.31.40.73log 82224，所以0.

12、71.3342log 8fff，所以bac.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及指数式与对数式的比较大小，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，得到自变量的大小关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.12已知1F、2F分别是双曲线222210,0yxabab的上、下焦点，过点2F的直线与双曲线的上支交于点P，若过原点O作直线2PF的垂线，垂足为M，OMa，23PMF M，则双曲线的渐近线方程为（）A53yxB35yxC43yxD34yx=?【答案】D【解析】利用勾股定理和双曲线的定义，求得21cosbPF Fc，24PFb和142PFba，再在12PF F中，由余弦定

13、理和222abc，取得ab的值，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意，在直角2OMF中，可得2222F MOFOMb，所以21cosbPF Fc，又因为23PMF M，所以3PMb，所以24PFb，且142PFba，在12PF F中，由余弦定理可得第 9 页 共 20 页222212121212cos2PFF FPFbPF FcPFF F2224242242bcbabc，代入222abc，解得34ab，所以双曲线的渐近线方程为34yx=?.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，以及双曲线的渐近线的求解，其中解答中熟记双曲线的定义和几何性质是解答关键，着重考查了推理与运算能

14、力.二、填空题13设向量1,2a，2,1bx，若/ab，则x_.【答案】14【解析】由/ab，根据向量共线的坐标运算，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量1,2a，2,1bx，因为/ab，可得11220 x，解得14x.故答案为：14【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量共线的应用，其中解答中熟记向量共线的坐标运算是解答的关键，着重考查了计算能力.14 已知nS是等差数列na的前n项和，若1234aaa，610S，则3a_.【答案】149【解析】设等差数列na的公差为d，根据题意，求得1,a d的值，再利用等差数列的通项公式，即可求求解.【详解】由题意，设等差数列na的公差为d，第

15、 10 页 共 20 页可得123161334656102aaaadSad，解得110929ad，所以311429aad.故答案为：149.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了计算能力.15在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：220ypx p的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，交l于点E，直线AO交l于点D，若2BEBF，且3AF，则BD_.【答案】1 或 9【解析】分别过点A，B作1AA，1BB垂直于l，垂足分别为1A，1B，得12BEBB，分类讨论，结合抛物线的

16、定义，即可求解.【详解】由题意，分别过点A，B作1AA，1BB垂直于l，垂足分别为1A，1B，由题意可知，D与1B重合，证明如下：1122,A x yB xy因为AB过焦点，所以212y yp，又11:yOA yxx，当2px时，212112y ppyyxy，即DByy，所以D与1B重合.由2BEBF，得12BEBB.又13AAAF，如图（1）可得1BDBEAAAE，所以2333BDBDBD，解得1BD.如图（2）可得1BDBEAAAE，所以233BDBDBD，解得9BD.所以1BD或 9.故答案为：1 或 9 第 11 页 共 20 页【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程的应用，其中

17、解答中熟练应用抛物线的定义，合理转化是解答本题的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与计算能力.16在三棱锥DABC中，已知AD平面ABC，且ABCV为正三角形，3ADAB，点O为三棱锥DABC的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为_.【答案】12【解析】设O为ABCV的中心，M为AD中点，连结OM，OO，AO，求得72OA，设平面ODA截得外接球是Oe，D，A，F是Oe表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解.【详解】由题意，设O为ABCV的中心，M为AD中点，连结OM，OO，AO，则1AO，23AM，可得72OA,即球的半径为72，作平面ODA交BC于E，交?BC于F，设平

18、面ODA截得外接球的截面是Oe，D，A，F是Oe表面上的点，又 DA平面ABC，所以90DAF，所以DF是Oe的直径，也是球O的直径，7DF，所以DBBF.因为DAAB，3DA，3AB，所以6BD，所以1BF，做OHDB，所以/OHBF，又由DOOF，所以OH是DBFV的中位线，所以12OHBF，故12OH.第 12 页 共 20 页故答案为：12【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题17某网站举行“卫生防疫”的知识竞赛网上答题，共有120000 人通过

19、该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100 人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求m的值；（2）成绩不低于90 分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数；（3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分（用组中值代替各组数据的平均值）.【答案】（1）0.03m（2）6000 人（3）76 分【解析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；（2）由频率分布直方图，求得成绩在90,100之间的频率，即可求得所有参赛者中获得奖励的人数；（3）根据

20、频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求得平均分的估计值.【详解】第 13 页 共 20 页（1）由频率分布直方图的性质，可得100.0050.020.040.0051m，解得0.03m.（2）由频率分布直方图，可得成绩在90,100之间的频率为100.0050.05，所以可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为120000 0.056000人.（3）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得平均分的估计值为55 0.0565 0.275 0.485 0.395 0.0576分.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，平均数的计算公式和频率的计算方法是解答的

21、关键，着重考查了推理与运算能力.18已知a，b，c分别为锐角ABCV内角A，B，C的对边，2 sin3aBb.（1）求角A；（2）若6a，求ABCV面积的最大值.【答案】（1）3A（2）9 3【解析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得2sinsin3sinABB，进而得到3sin2A，即可求得角A的值；（2）由（1）和三角形的面积公式，可得34ABCSbc，再由余弦定理和基本不等式，求得bc的范围，即可求得ABCSV的最大值.【详解】（1）由题意，在ABCV中，因为2 sin3aBb根据正弦定理，可得2sinsin3sinABB，因为ABCV是锐角三角形，可得sin0B，所以2sin3A，即3

22、sin2A，又由三角形是锐角三角形，则(0,)2A，所以3A.（2）由（1）和三角形的面积公式，可得13sin24ABCSbcAbc，由余弦定理得2221236cos222bcabcAbcbc，第 14 页 共 20 页所以036bc（当且仅当6bc时等号成立），所以ABCSV的最大值为：3369 34.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.19如图，菱形ABCD的边长为4，60ABC，E为CD中点，将ADEV沿AE折起使

23、得平面ADE平面ABCE，BE与AC相交于点O，H是棱DE上的一点且满足2DHHE.（1）求证：OH平面BCD；（2）求四面体ABDH的体积.【答案】（1）见解析（2）1639【解析】（1）由题设条件，得到/OHBD，结合线面平行的判定定理，即可证得/OH平面BCD；（2）由平面与平面垂直的性质定理，得到CE平面ADE，进而证得AB平面ADE，利用体积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得/CEAB，2ABCE，所以:1:2OE OB.又因为2DHHE，所以/OHBD，又由BD平面BCD，OH平面BCD，所以/OH平面BCD.（2）由平面ADE平面ABCE，平面ADE I平面ABCEAE，

24、在菱形ABCD中，60ABC，所以ABCV，ADCV都是等边三角形，又E为CD中点，所以AECE，所以CE平面ADE，第 15 页 共 20 页因为/CEAB，所以AB平面ADE，22134 32433223ADHADESS所以四面体ABDH的体积：13ABDHBADHADHVVSAB1416343339.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及三棱锥的体积的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，严密推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.20已知函数xfxxa eaR.（1）讨论fx的单调性；（2）当2a时，设函数lng xfxxxb，bZ，若0g x对任意的1,

25、13x恒成立，求b的最小值.【答案】（1）fx的单调递减区间为,1a，单调递增区间为1,a.（2）-3【解析】（1）求得函数的导数1xfxxae，根据导数值的正负，即可求得函数的单调性；（2）由0g x对任意的1,13x恒成立，转化为2lnxbxexx对任意的1,13x恒成立，令2lnxh xxexx，利用导数求得函数h x的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数xfxxa e，可得1xfxxae，当,1xa时，0fx；当1,xa时，0fx，故fx的单调递减区间为,1a，单调递增区间为1,a.（2）由lng xfxxxb2lnxxexxb，因为0g x对任意的1,13x恒成立，第

26、16 页 共 20 页即2lnxbxexx对任意的1,13x恒成立，令2lnxh xxexx，则11111xxhxxexexx，因为1,13x，所以10 x，又由函数1xt xex，可得210 xtxex，所以函数t x单调递增，因为121202te，110te，所以一定存在唯一的01,12x，使得00t x，即001xex，即00lnxx，所以h x在01,3x上单调递增，在0,1x上单调递减，所以00000max2lnxh xh xxexx001124,3xx.因为bZ，所以b的最小值为3.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理

27、能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题21已知椭圆222210 xyabab的四个顶点围成的菱形的面积为4 3，椭圆的一个焦点为1,0.（1）求椭圆的方程；（2）若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为1k，2k，当1234k k时，MON的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）22143xy（2）是，定值3.【解析】（1）由题设条件，列出方程组，结合222abc，求得22,ab的值，即可求解

28、.（2）设11,Mx y，22,N xy，当直线MN的斜率存在时，设方程为ykxm，联第 17 页 共 20 页立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线MN的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由椭圆22221xyab的四个顶点围成的菱形的面积为4 3，椭圆的一个焦点为1,0，可得24 3ab，1c，即222 31abab，解得24a，23b，故椭圆的方程为22143xy.（2）设11,Mx y，22,N xy，当直线MN的斜率存在时，设方程为ykxm，由22143xyykxm，消y可得，2223484120kx

29、kmxm，则2222644 34412k mkm2248 430km，即2243mk，且122834kmxxk，212241234mx xk，所以222121212114MNkxxkxxx x222228412143434kmmkkk22224143343kkmk.又由点O到直线MN的距离21mdk，所以12MONSMN d2222 34334mkmk.又因为12121234y yk kx x，所以22121112k x xkm xxmx x222228334412434kmkmmkkmk，第 18 页 共 20 页化简整理可得22243mk，满足，代入222222 32 3433342MCN

30、mmkmkmS，当直线MN的斜率不存在时，由于1234k k，考虑到OM，ON关于x轴对称，不妨设132k，232k，则点M，N的坐标分别为62,2M，62,2N，此时12632MONS，综上可得，MON的面积为定值3.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为7 cos27 sinxy（为参数），

31、以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos.（1）求曲线1C的极坐标方程和2C的直角坐标方程；（2）直线3R与曲线1C，2C分別交于第一象限内A，B两点，求AB.【答案】（1）24sin3，2211xy.（2）361AB【解析】（1）由曲线1C的参数方程，消去参数，求得曲线1C普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线1C的极坐标方程，进而根据极坐标与直角坐标的互化，求得曲线2C的直角坐标方程.（2）设1,3A，2,3B，分别求得12,，根据极坐标的几何意义，即可求解.【详解】第 19 页 共 20 页（1）由题意，曲线1C的参数方程为7

32、cos27 sinxy（为参数），即7 cos27 sinxy平方相加，可得曲线1C：2227xy，即22430 xyy又由cos,sinxy，代入22430 xyy，可得曲线1C的极坐标方程为24sin3，曲线2C的极坐标方程为2cos，可得22 cos，所以曲线2C的直角坐标方程为222xyx，即2211xy.（2）依题意可设1,3A，2,3B，所以22cos13，且2114sin303，即2112 330，所以136，因为点A在第一象限，所以10，即136，所以21361AB.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程互化，以及极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐

33、标方程中极经的几何意义是解答关键，着重考查了推理与运算能力.23已知函数11fxxx.（1）求不等式3fx的解集；（2）若二次函数22yxxm与函数yfx的图象恒有公共点，求实数m的取值范围.【答案】（1）33|22xx（2）m1【解析】（1）根据函数的解析式，去掉绝对值号，分1x，11x和1x讨论，即可求得不等式的解集；（2）求得二次函数的最大值，以及分段函数的最小值，根据恒由公共点，列出关于m第 20 页 共 20 页的不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数2,1112,112,1x xfxxxxx x，当1x时，令23x，即32x，所以312x；当11x时，此时23恒成立，所以11x；当1x时，令23x，即32x，所以312x，所以不等式3fx的解集为33|22xx.（2）由二次函数22211yxxmxm，知函数在1x取得最大值1m，因为2,12,112,1x xfxxx x，在1x处取得最小值2，所以要是二次函数22yxxm与函数yfx的图象恒有公共点.只需12m，即m1.【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解，以及二次函数与分段函数的性质的应用，着重考查了分类讨论与转化思想，以及推理与计算能力.