2020届河南省高三下学期3月在线网络联考数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页2020 届河南省高三下学期3 月在线网络联考数学（文）试题一、单选题1已知2221iiz（i为虚数单位），则复数z()A1iB1iC1iD1i【答案】D【解析】由复数的除法可得11izii，得解.【详解】解:由2221iiz,则222izi,即11izii,故选:D.【点睛】本题考查了复数的除法，属基础题.2设集合19Axx，2318Bx yxx，则ABI()A13，B6 9，C39，D3 6，【答案】B【解析】由函数定义域的求法求出集合B，再结合集合交集的运算求解即可.【详解】解：解不等式23180 xx得6x或3x，即36,B，又19Axx1,9，即6 9AB，故

2、选：B.【点睛】本题考查了函数定义域的求法及集合交集的运算，属基础题.3已知数列na的前n项和为nS，且21nnS，则10a()A512 B 1025 C256 D1024第 2 页 共 21 页【答案】A【解析】由数列的前n项和与第n项的关系可得10109aSS，代入求解即可.【详解】解：由数列na的前n项和为nS，且21nnS，则10910109(21)(21)512aSS，故选：A.【点睛】本题考查了数列的前n项和与第n项的关系，属基础题.4已知函数23sincoscosfxxxx，则fx的单调递减区间为()A,36kk，kZB2,236kk，kZC2,63kk，kZD22,263kk，

3、kZ【答案】C【解析】先利用正弦、余弦的二倍角公式可得1()sin(2)62f xx，再令3222262kxk，kZ，然后解不等式即可得解.【详解】解：23sin coscosfxxxx3111sin 2cos2sin(2)22262xxx，令3222262kxk，kZ，得2,63xkk，kZ.故fx的单调递减区间为2,63kk，kZ.故选：C.【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数单调区间的求法，属基础题.5已知偶函数3222fxa xbx的定义域为26,9m m，则函数2logg xxam在410，上的最大值为()第 3 页 共 21 页A6 B 5 C4 D7【答案】A【解析

4、】由fx为偶函数，得20a及2960mm，可得2log23g xx，再求最值即可.【详解】解：由fx为偶函数，得20a，即2a，又定义域26,9m m关于原点对称，故2960mm，得3m，则2log23g xx，故max10336g xg.故选：A.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，重点考查了对数函数最值的求法，属基础题.6已知函数23xfxxae，曲线yfx在点0 x处的切线与直线112yx垂直，则a()A12B-2 C0 D-1【答案】B【解析】由导数的几何意义可得(0)fa，由两直线垂直可得112a，再求解即可.【详解】解：由函数23xfxxae，则()6xfxxae，则(0)fa，由

5、曲线yfx在点0 x处的切线与直线112yx垂直，则112a，即2a，故选：B.第 4 页 共 21 页【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线的斜率，重点考查了直线垂直的运算，属基础题.7如图所示的程序框图输出的i的值为()A4 B 6 C5 D7【答案】C【解析】利用程序框图的功能，逐步运算即可得解.【详解】解：当1i时，2a，012350S；当2i时，4a，324950S；当3i时，8a，93 82050S；当4i时，16a，204164050S；当5i时，32a，4053277S50，跳出循环，故5i.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的功能，重点考查了数据处理能力，属基础题.8已知向量

6、1,2 2ar，423br，且5aabrrr，则abrr，的夹角为()A14B56C23D34【答案】D 第 5 页 共 21 页【解析】先由向量的数量积求出4a brr，再结合向量夹角公式求解即可.【详解】解：因为3ar，5aabrrr，所以4a brr.又因为4 23br，所以2cos2a baba brrrrrr，故abrr，的夹角为34.故选：D.【点睛】本题考查了向量的夹角的运算，重点考查了向量数量积的运算，属基础题.9 在四面体ABCD中，且ABAC，ACCD，AB，CD所成的角为30，5AB，4AC，3CD，则四面体ABCD的体积为()A8 B 6 C7 D5【答案】D【解析】先

7、求出ACD的面积，再求出点B到面ACD的距离，然后结合棱锥体积公式求解即可.【详解】解：由题意，如图所示，ABAC，ACCD，过点A作CD的平行线AE，则AC平面ABE，且EAB为 30 或 150，从B点向AE作垂线，垂足为E，易证BE平面ACD.则点B到平面ACD的距离15sin522BEABEAB，162ACDSAC CD则，则四面体ABCD的体积为153ACDVSBE.故选：D.第 6 页 共 21 页【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，重点考查了运算能力，属中档题.10设nS是na的前n项和，12a，且1113nnnaS S，则1222111SSS()A-66 B 77 C88 D99

8、【答案】C【解析】由nS与na的关系可得1nS是以12为首项，13为公差的等差数列，再由等差数列前n项和公式求解即可.【详解】解：因为1113nnnaS S，所以1113nnnnSSS S，所以11113nnSS.又1112S，所以1nS是以12为首项，13为公差的等差数列，所以12221111222112288223SSS.故选：C.【点睛】本题考查了nS与na的关系，重点考查了等差数列前n项和公式，属基础题.11某正四面体的外接球与内切球的表面积之差为12，则该四面体的棱长为()第 7 页 共 21 页A3 B4 C2 D2 3【答案】A【解析】先求出正四面体外接球、内切球的半径，再结合球

9、的表面积公式求解即可.【详解】解：设该正四面体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r,由2226333RaRa，得64Ra.由113611343223322a aaa ar，得612ra.因为22412Rr，所以3a.故选：A.【点睛】本题考查了几何体外接球、内切球的求法，重点考查了球的表面积公式，属中档题.12已知抛物线24yx的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且PHkPF，当k最大时，点P恰好在以HF，为焦点的双曲线上，则该双曲线的方程为()A2212221xyB2213222 21xyC2212 2232 2xyD2213221xy【答案】B【解析】先由抛

10、物线的定义及点到直线的距离公式可得22200201414yyPHkyPM，设200,4yPy，再结合二次函数最值的求法可得02y，再求双曲线方程即可得解.【详解】解：过P作准线的垂线交准线于M，则PMPF，由PHk PF，可得第 8 页 共 21 页PHPHkPFPM.设200,4yPy，则22200201414yyPHkyPM，令2014yt，则2224144111422ttPHkPMtttt，当2t时，k取到最大值，即当20124yt时，k取到最大值，此时02y.不妨设12P，又因为双曲线的焦点坐标为10，所以可设双曲线的方程为222211xyaa，将12P，代入上式，求得232 2a，所

11、以双曲线的方程为22132 2221xy.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的定义，重点考查了双曲线方程的求法，属中档题.二、填空题13设函数,0ln,0 xexg xxx，则ln 2g g_.【答案】ln 2【解析】先分析分段函数解析式，再结合指数函数及对数函数求值问题求解即可.【详解】解：由函数,0,0 xexg xlnxx，则ln 2(ln 2)2ge，第 9 页 共 21 页又(2)ln(2)ln 2g，故答案为：ln 2.【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了指数函数及对数函数求值问题，属基础题.14一组数据12321,21,21,21nxxxxL的平均值为7，则12332,

12、32,32,32nxxxxL的平均值是 _.【答案】11【解析】根据ix平均数为x，则数据iaxb的平均数为axb，即可求解.【详解】设123,nx xxxL的平均值为x，则12321,21,21,21nxxxxL的平均值为217x，所以3x，故12332,32,32,32nxxxxL的平均值为3211x.故答案为：11【点睛】本题考查线性关系平均数的性质，属于基础题.15若圆锥曲线22151xy的离心率为，则_.【答案】4【解析】先讨论方程所表示的曲线类型，再结合离心率的求法求解即可.【详解】解：若22151xy表示椭圆，则5010，得1，设离心率为e，则245e，解得1或4，两解均不合题意

13、；若22151xy表示双曲线，则510，得15，第 10 页 共 21 页设离心率为e，则245e，得1（舍去）或4.故答案为：4.【点睛】本题考查了方程所表示的曲线类型，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.16定义：若函数F x在区间ab，上的值域为ab，则称区间ab，是函数F x的“完美区间”.另外，定义区间ab，的“复区间长度”为2 ba，则函数21fxx的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 _.【答案】35【解析】先理解新定义，再结合二次函数在闭区间上的最值的求法求解即可.【详解】解：设fx的“完美区间”为ab，易知0ba.当01b时，由fx的图象知fx在ab，上单调递减，

14、所以2211faabfbba，解得01ab.此时22ba.当1b时，若0a，则211f bbb，解得152b，此时215ba；若01a，则最小值为10fa，不合题意；若1a，则由图象知fx在ab，上单调递增，所以2211faaafbbb，解得152152ab（舍去），综上，函数fx的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35.故答案为：35.【点睛】第 11 页 共 21 页本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.三、解答题17在ABC中，abc，分别为角ABC，的对边，且3a，3bc.（1）若3A，求ABC的面积；（2）若3cos3B，求ABC外接

15、圆的半径.【答案】（1）32；（2）3 68.【解析】（1）由余弦定理2222cosabcbcA，再结合三角形面积公式1sin2SbcA求解即可；（2）由余弦定理先求出b，再结合正弦定理2sinbRB求解即可.【详解】解：（1）由在ABC中，abc，分别为角ABC，的对边，且3a，3bc，22222cos22cosabcbcAbcbcbcA，393bc，2bc，13sin22SbcA.（2）3cos3B，3a，3bc，222232cos332 333bacacBbb，32bc.3cos3B，6sin3B，333 6sin246bB，第 12 页 共 21 页ABC外接圆的半径为3 68.【点睛

16、】本题考查了正弦定理及余弦定理得应用，重点考查了三角形面积公式，属基础题.18 拉丁舞，又称拉丁风情舞或自由社交舞，它是拉丁人民在漫长的历史长河中形成的，包含伦巴、恰恰、牛仔舞、桑巴、斗牛舞、深受人民的喜爱.某艺术培训机构为了调查本校学院对拉丁舞的学习情况，分别在刚学习了一个季度的本校大班（8 岁以下）及种子班（8 岁以上）的学员中各随机抽取了15 名学员进行摸底考试，这30 名学员考试成绩的茎叶图如图所示.规定：成绩不低于85 分，则认为成绩优秀；成绩低于85 分，则认为成绩一般.（1）根据上述数据填写下列2 2 联表：成绩优秀成绩一般总计大班种子班总计判断是否有95%的把握认为成绩优秀或成

17、绩一般与学员的年龄有关；（2）在大班及种子班的参加摸底考试且成绩优秀的学员中以分层抽样的方式抽取6名学员进行特别集训，集训后，再对这 6 名学员进行测试，按测试成绩，取前 3 名授予“舞蹈小精灵”称号，在被授予“舞蹈小精灵”称号的学员中，求种子班的学员恰好有2 人的概率.参考公式及数据：22n adbcKabcdacbd，nabcd.20P Kk0.1000.0500.0250.0100k2.7063.8415.0246.635第 13 页 共 21 页【答案】（1）列联表见解析，有；（2）35.【解析】（1）先阅读题意，再分析数据，填写列联表即可；（2）由茎叶图中的数据，分别列出所求事件的基

18、本事件，然后结合古典概型概率公式求解即可.【详解】解：（1）由茎叶图的数据，填写2 2 列联表如下：成绩优秀成绩一般总计大班6 9 15 种子班12 3 15 总计18 12 30 根据列联表中的数据，得到22306 3 12 953.84118 12 15 15K因此有 95%的把握认为成绩优秀或成绩一般与学员的年龄有关.（2）由茎叶图中的数据可知，大班学员中成绩优秀的人数为6，种子班学员中成绩优秀的人数为12，以分层抽样的方式抽取6人，则大班抽取的人数为662612，记为ab，种子班抽取的人数为1264612，记为ABCD，则被授予“舞蹈小精灵”称号的基本事件有abA，abB，abC，ab

19、D，aAB，aAC，aAD，aBC，aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，ABC，ABD，ACD，BCD，共 20 个，其中种子班学员的人数恰有2人的基本时间有aAB，aAC，aAD，aBC，aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，共 12 个，第 14 页 共 21 页故被授予“舞蹈小精灵”称号的学员中，求种子班的学员恰好有2人的概率为123205.【点睛】本题考查了列联表及独立性检验，重点考查了古典概型概率的求法，属中档题.19如图，在四棱锥SABCD 中，ABCD是边长为4 的正方形，SD平面ABCD，EF，分别为ABSC，的中点.（1）

20、证明：/EF平面 SAD.（2）若8SD，求S到平面DEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）4 63.【解析】（1）先证/EFAG，再由线面平行的判断定理证明即可；（2）先求三棱锥ESDF的体积，再结合等体积法求S到平面DEF的距离即可.【详解】证明：（1）记SD的中点为G，连接GF，GA.因为EF，分别为ABSC，的中点，则/GFCD，且12GFCD.因为/AECD，且12AECD，所以/GFAE，且GFAE，所以四边形GFEA为平行四边形，则/EFAG.又EF平面SAD，AG平面SAD，所以/EF平面SAD.（2）解：因为8SD，4CD，F为SC的中点，所以SDF的面积为18282，

21、所以三棱锥ESDF的体积为1328 433.第 15 页 共 21 页在DEF中，22422 5DEDF，22444 2EFAG，所以DEF的面积为2214 22 52 24 62.设S到平面DEF的距离为d.由1324 633d，得4 63d.即S到平面DEF的距离为4 63.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了等体积法求点到面的距离，属中档题.20在平面直角坐标系xOy中，已知向量2,mxyr，2,nxyr，且4mnu rr.（1）求动点P xy，的轨迹C的方程；（2）已知直线l过坐标原点，且与（1）中的轨迹C交于MN，两点，M在第三象限，且MHx轴，垂足为H，连接NH并延长交

22、C于点Q，证明：QMMN.【答案】（1）22142xy；（2）证明见解析.【解析】（1）由4mnu rr可得124PFPF，再结合椭圆的定义即可得解；（2）联立直线与椭圆的方程，求出其交点坐标，再结合直线斜率公式求解即可.【详解】解：（1）设12 0F，22 0F，则2212,2mxyxyPFr，2222,2nxyxyPFr.4mnrr，124PFPF，第 16 页 共 21 页由椭圆的定义可知P的轨迹是以12 0F，12 0F，为焦点，4为长轴的椭圆.故C的方程为22142xy.（2）证明：由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为ykx（0k），与椭圆22142xy联立可得22124

23、kx，所以2221xk，2222,2121kMkk则，2222,2121kNkk.则点H的坐标为22021k，直线HN的方程为22221kyxk，代入22142xy，可得2222222641022121kk xkxkk，所以222641212QNkxxkk.因为2221Nxk，所以22264221Qkxkk，Q的坐标为232222642221221kkkkkk，于是1QMkk，所以1QMMNkk，即QMMN.【点睛】本题考查了椭圆的定义，重点考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题.21已知函数ln1fxxx，22g xaxax.（1）设函数H xfxg x，若4a，求H x的极值；第 17 页

24、共 21 页（2）设函数2G xg xax，若fx的图象与G x的图象有11A xy，22B xy，两个不同的交点，证明：12ln2ln 2x x.【答案】（1）极大值为12ln 24，极小值为ln21；（2）证明见解析.【解析】（1）先求函数Hx的导函数，再利用导数判断函数的单调性，然后求极值即可；（2）函数fx的图象与G x的图象有两个不同的交点，等价于关于x的方程2ln1axxx，即1lnaxxx有两个不同的根，再构造函数.利用导数研究即可【详解】解：（1）因为4a，所以2ln4610Hxfxg xxxxx，21411860 xxHxxxxx.令0Hx，得11024x，所以H x在104

25、，12，上单调递增；令0Hx，得1 14 2x，所以H x在1 14 2，上单调递减.故Hx的极大值为112ln244H，故Hx的极小值为1ln212H.（2）证明：22G xg xaxax，因为函数fx的图象与G x的图象有两个不同的交点，所以关于x的方程2ln1axxx，即1lnaxxx有两个不同的根.由题知1111lnxaxx，2221lnxaxx，第 18 页 共 21 页+得12121212lnxxx xa xxx x，-得22121112lnxxxa xxxx x.由，得1212212122112lnlnxxxxxx xx xxxx，不妨设120 xx，记211xtx.令21ln1

26、1tF tttt，则2101tFtt t，所以F t在1，上单调递增，所以10F tF,则21ln1ttt，即2121122lnxxxxxx，所以1212212122112lnln2xxxxxx xx xxxx.因为121212121212121212122444lnln2ln.xxx xx xx xn x xx xx xx xx xx x所以121242ln2x xx x，即12122ln1x xx x.令2lnxxx，则x在0，上单调递增.又212ln2ln21122eee，所以121222ln1ln22x xex xe，即122x xe，第 19 页 共 21 页所以2122x xe.两

27、边同时取对数可得12ln2ln2x x，得证.【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了曲线的交点个数与方程的解的个数的关系，属综合性较强的题型.22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为32cos2sinxy，（为参数），直线l经过点12M，且倾斜角为.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于点AB，且满足2MBMA，求tan.【答案】（1）2234xy，1cos2sinxtyt；（2）tan1或17.【解析】（1）消参数即可求得曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程的求法即可得解；（2）将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，再设AB，对应的参数分

28、别为ABtt，然后利用韦达定理求解即可.【详解】解：（1）将曲线C：322xcosysin，（为参数），消参得2234xy，直线l的参数方程为12xtcosytsin，（t为参数，0）.（2）设AB，对应的参数分别为ABtt，将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得24sin2cos160tt，所以0,4 sin2cosABtt，16A Bt t.因为2MBMA，所以2BAtt，因此4sin2cos3At，8sin2cos3Bt，所以232sin2cos169ABtt，第 20 页 共 21 页展开整理可得23cos21sin2sincos4，23(cossin)(cossin)4(si

29、ncos)，即cossin或cos7sin，经检验符合题意，tan1或17.【点睛】本题考查了普通方程与参数方程的互化，重点考查了正弦及余弦的二倍角公式，属中档题.23已知关于x的不等式2723xxm4m的解集为R.（1）求m的最大值N；（2）若正数abc，满足abcN，证明：16449abbcacabc.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】（1）由不等式的性质2723272337xxmxxmm，即可得374mm，再求解即可；（2）证16449abbcacabc明等价于证411649abc明，再利用“1”的应用，构造均值不等式求证即可.【详解】解：（1）令2723fxxxm，则关于x的不等式27234xxmm的解集为R.等价于min()4f xm，因为2723272337xxmxxmm.当且仅当27230 xxm时取等号，所以，由374mm，得1m，所以1N.（2）证明：要证16449abbcacabc，只需证411649abc.因为42 44abba，1642 6416acca，162 168bccb，第 21 页 共 21 页所以41164164162149abacbcabcabcbacacb，当且仅当27a，17b，47c时，等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，重点考查了均值不等式的应用，属中档题.