2020届联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(理)(二)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 25 页2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国卷数学（理）试题一、单选题1已知集合|6Ax x且*Nx，则A的非空真子集的个数为()A30B 31C62D63【答案】A【解析】先化简集合A，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解.【详解】因为集合|6Ax x且*N1,2,3,4,5x，所以A的非空真子集的个数为52230.故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.2复数 z满足113zii，则z（）A2B 4C5D5【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出复数z，再求出模长|z|【详解】13113212iiizii，故5z.故选：C.【点睛】本题

2、考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题3已知31sin23，则cos（）A13B13C2 23D2 23【答案】B【解析】直接由诱导公式计算即可.【详解】第 2 页 共 25 页由诱导公式可得：3sin21cos3，故1cos3.故选：B.【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题.4李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著 测圆海镜 中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙

3、复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到 B 处，甲乙二人共行走1600 步，AB比AC长 80 步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为()A222?xzyB222?xyzC222?yzxD?xy【答案】A【解析】根据题意得，,ACxAByBCz则1600,80 xyzyx，所以15202zx，再根据ABC为直角三角形90C求解.【详解】由题意得，,ACxAByBCz则1000,80 xyzyx，第 3 页 共 25 页所以15202z

4、x，符合程序框图所示:又ABC为直角三角形，且90C，所以222xzy.故选：A【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5 局 3胜制，每局甲赢的概率是23，乙赢的概率是13，则甲以3:1获胜的概率是()A827B1627C1681D3281【答案】A【解析】根据题意，可知5 局 3 胜制，甲以3:1获胜，则第4 局甲胜，且前3 局甲胜 2局，根据二项分布即可求出概率.【详解】解：由题可知，5 局 3 胜制，甲以3:1获胜，则第 4 局甲胜，且前3 局甲胜 2 局，故所求概率为223221833327PC.故选：A.【点睛】

5、本题考查独立重复试验求概率以及二项分布的实际应用，属于基础题.6双曲线1C：222210,0 xyabab的渐近线与圆2C：2221xy相切，则双曲线1C的渐近线方程为()A12yxB13yxC22yxD33yx【答案】D【解析】双曲线1C的一条渐近线方程为0bxay，根据渐近线与圆2C：第 4 页 共 25 页2221xy相切，则有2221bab求解.【详解】双曲线1C的一条渐近线方程为0bxay，圆心2,0到渐近线的距离为1，即2221bab，得223ab=即33ba.所以双曲线1C的渐近线方程为：33yx故选;D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的

6、能力，属于基础题.7已知向量a、b满足1a，2b，23 2abab，则a与b夹角为（）A45B60C90D120【答案】B【解析】根据|2ab|3|2ab|，两边平方，根据|a|，|b|，得出向量的数量积，再根据夹角公式求解【详解】由已知，（2ab）23（2ab）2，即 4a2+4a?bb2 3（4a2 4a?bb2）因为|a|1，|b|2，则a21b，2 4，所以 8+4a?b3（84a?b），即a?1b设向量a与b的夹角为 ，则|a|?|b|cos 1，即 cos12，第 5 页 共 25 页故 60 故选：B.【点睛】本题考查了向量夹角的求法，考查了数量积的运算法则及模的求解方法，属于基

7、础题8已知函数sin06fxx的图象在0,上有且仅有两条对称轴，则的取值范围为()A31,2B4 3,3 2C4 7,3 3D71,3【答案】C【解析】根据正弦函数的对称轴，令62xk，kZ，则3kx，kZ.再根据sin6fxx的图象在0,上有且仅有两条对称轴，令130,30,13,23,kkkk求解.【详解】令62xk，kZ，则3kx，kZ.因为sin6fxx的图象在0,上有且仅有两条对称轴，第 6 页 共 25 页所以130,30,13,23,kkkk则20,310,34,37,3kkkk解得4 7,3 3.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8、9当120 xxm时，不等式2112xxxx恒成立，则实数m的最大值为()A1BeC1eDe【答案】B【解析】根据题意，对2112xxxx两边取对数，化简得1212lnlnxxxx，故ln xfxx在0,m上为增函数，利用导数求出单调增区间，即可得出答案.【详解】解：由题意得，当120 xxm时，不等式2112xxxx恒成立，两边取对数，得2112lnlnxxxx，化简得1212lnlnxxxx，故ln xfxx在0,m上为增函数，因为21ln00 xfxxex，故m的最大值为e.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性的实际应用，利用导数研究单调性解决恒成立问题，考查转化思想和计算能力.第 7

9、页 共 25 页10已知0112nnnxaa xa x，其中01243naaa，则0121231naaaan()A182B1823C913D1829【答案】B【解析】由题可知，令1x，得：32435nn，根据导数的运算公式，得666255101212112261226xxa xa xxa x，令0 x和1x，即可求出答案.【详解】解：根据题意，01243naaa，令1x，得：32435nn，由于612126x512x62551015026a xa xaa xa xa x，即662510121226xa xa xa x，662510121226xa xa xa xC，令0 x，解得112C，而5

10、n，令1x，得051218212363aaaa.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的展开式以及导数的应用，考查转化能力和计算能力.11某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（）第 8 页 共 25 页A2 3B2 2C3D6【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如图所示：正方体的棱长为2，A、C 为所在棱的中点，则 CD=1，BC=AD=5，BD=BE=CF=2 2，结合图形可得,AEB，AFC，AFD 为直角三角形，由勾股定理得AB22=8

11、13BEAE，AC=22=5+1=6CFAF，最长的棱为AB=3，故选：C.【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.第 9 页 共 25 页12已知函数lnfxxa，若1x，2,xa，使得2212214xfxxfx，则实数a的取值范围是()A,21B2,2C,2D,2【答案】A【解析】根据题意，221221xfxxfx表示两点11,xfx，,tt ea距离的平方，画出图象，可知1,0Aa，0,1Ba，则1ABk，分类讨论a，结合条件即可求出a的取值范围.【详解】解：令2tfx，则22121221,

12、S x xxfxxfx为两点11,xfx，,tt ea距离的平方，画出ln xayfx与xyea的图象.设1,0Aa，0,1Ba，两函数图象在A，B 处的切线斜率都为1，1ABk，当1a时，可知2AB为12,S x x最小值.即2421a，解得121a，当1a时，显然成立，故21a.故选：A.【点睛】本题考查指对数函数的应用，涉及切线斜率和两点间距离，考查转化和分析能力.第 10 页 共 25 页二、填空题13已知2lgfxxxax是偶函数，则21fxfx的解集为 _.【答案】1,13【解析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出2lgg xxax为奇函数，001ga，利用函数的单调性解不等式，

13、即可求出21fxfx的解集.【详解】解：由题知，fx是偶函数，故2lgg xxax为奇函数，001ga，对12121122000 xxg xg xx g xx g x，即fx在0,上为增函数，22121212113fxfxxxxxx，即21fxfx的解集为：1,13.故答案为：1,13.【点睛】本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力.14已知x，y满足线性约束条件20220 xyxkxy目标函数2zxy的最大值为2，则实数k的取值范围是_.【答案】1,2【解析】根据x，y满足线性约束条件20220 xyxkxy，且直线20kxy过定点0,2，将目标函数化为2yxz，平移

14、直线2yx，根据2z时，最优解在直线220 xy上，而0,2在可行域内，且满足220 xy结合图形求解.第 11 页 共 25 页【详解】x，y满足线性约束条件20220 xyxkxy，直线20kxy，过定点0,2目标函数化为2yxz，平移直线2yx，在 y 轴上截距最大时，目标函数值最大，当2z时，可知：最优解在直线220 xy上，而0,2在可行域内，且满足220 xy.所以最大值点为0,2如图所示：所以实数k的取值范围是1,2.故答案为：1,2【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.15已知椭圆C：2212xy的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线交椭圆

15、C于A，B 两点，且190AF B.圆M与1F A的延长线，1F B的延长线，直线AB都相切，则圆M的半径为 _.【答案】2 2【解析】根据题意，设M分别与直线AB，1F A延长线，1F B延长线切于P，Q，R，得出四边形1F RMQ是正方形，利用椭圆的定义，列式转化即可求出圆M的半径.第 12 页 共 25 页【详解】解：由题知，设M分别与直线AB，1F A延长线，1F B延长线切于P，Q，R，则四边形1F RMQ是正方形，而11F RF BBP，11FQF AAP，故111144 2F RF QF AF BABa，所以122MF Rr.故答案为：2 2.【点睛】本题考查圆的半径和椭圆的定义

16、的应用，以及圆的切线，考查转化思想和计算能力.16四边形ABCD中，5AB，6BC，7CD，8DA，则四边形ABCD面积最大值为 _.【答案】4 105【解析】在 CBD，ABD 中，由余弦定理可得21cos20cos1CA再由三角形面积公式，可得21sin20sinABCDCAS，结合同角基本关系可得第 13 页 共 25 页2222120840cos1ABCDACS，利用余弦定理的有界性求得最值【详解】ABD中，2225825 8cosBDA，CBD中，222672 67cosBDC，由得：21cos20cos1(*)CA，115 8sin67sin22ABCDSAC21sin20sin(

17、*)ABCDCAS,(*)(*)两式平方相加得：2222120840cos1ABCDACS，222121208401681ABCDS，ABCDS最大值为16804 105.故答案为：4 105【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，考查运算能力与逻辑推理能力，属于中档题三、解答题17已知数列na满足：11223111,(1)(2)3nnaa aa aa an nn.（1）求数列na的通项公式；（2）求证：122311111nna aa aa a.【答案】（1）nan（2）见解析【解析】（1）根据已知利用递推关系式推出1(1)(2)nna an nn，化为111nnaann，令nnabn

18、，则11b，且11nnb b与11nnbb相减得：11nnbb，进一步推出1nnban，即可得到 an 的通项公式；（2）根据（1）求出12231111nna aa aa aL，然后利用裂项相消法求和，即可证明.【详解】第 14 页 共 25 页（1）由122311(1)(2)3nna aa aa an nn得：122311(1)(1)(*)3nna aa aaann n，两式相减得：1(1)(2)nna an nn.当1n时，122a a满足此式，故对*nN，有1(1)nna an n，化为111nnaann.令nnabn，则11b，且11nnb b与11nnbb相减得：11()0,0nnn

19、nbbbb，故11nnbb，即212311kkbbb，故n为奇数时，1nnban，.又21b，故22221kkbbb，故n为偶数时，1nnban，故nan.（2）由（1）可得：122311111111223(1)nna aa aa ann1111112231nn1111n.【点睛】本题考查数列的求和，数列递推式，涉及到的知识点有根据数列的和之间的关系类比着往前或往后写一个式子，两式相减得到数列的项之间的关系，构造新的关系式，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.18四棱锥PABCD中，2PAAD，1ABBCCD，/BCAD，第 15 页 共 25 页90PAD.PBA为锐角，平面P

20、BA平面 PBD.（1）证明：PA平面ABCD；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77【解析】（1）先作AMPB于M，则由平面PAB平面PBDAM平面PBDAMBD，又在底面中可得90ABD，从而可得DB平面PABPADB，结合90PDAPA平面ABCD.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，可得所求.【详解】（1）作AMPB于M，则由平面PAB平面PBDAM平面PBDAMBD，取AD中点为Q，则190BQCDQDQAABDBC QD，又PBA为锐角，M、B 不重合，DBABDBDBAM平面PABPADB与PAADPA平面ABCD.（2

21、）取AQ中点 H，如图建立空间直角坐标系（其中x轴与HB平行），第 16 页 共 25 页则3 1,022B，3 3,022C，0,2,0D，0 02P,，由（1）的证明知：平面PAB法向量为3 3,022BD，设平面PCD法向量为,mx y z，则2200310022yzm PDm CDxy，令11,3,3xm，33 3722cos77,3m BDmBm BDD.【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直与线线垂直间的相互转化，考查了空间直角坐标系求二面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题；19已知抛物线220 xpy p上有两点A，B，过A，B 作抛物线的切线交于点2,1Q，且90AQB.

22、（）求p；（）斜率为1 且过焦点的直线交抛物线于M，N两点，直线1yxc c交抛物线于C，D两点，求四边形MNDC面积的最大值.【答案】（）2；（）128 227.【解析】（）根据过A，B 作抛物线的切线交于点2,1Q，且90AQB，设第 17 页 共 25 页过点Q的直线方程为12yk x，即21ykxk，代入22xpy，得到222210 xpkxpk，根据相切，则由0，得2420pkk，再根据两切线垂直求解.（）MNl：1yx与24xy联立，利用弦长公式得到22328MNMNxx.CDl：yx c与24xy，利用弦长公式得到2216164 21CDCDxxcc，由平行线之间的距离公式可得：

23、梯形MNDC的高为1122cc，然后由梯形的面积公式求解.【详解】（）过点Q作22xpy的切线，方程为12yk x，即21ykxk，代入22210222xpyxpkkxp，0，化为2420pkk，122112k kpp.（）MNl：1yx与24xy联立，得2440 xx，故22328MNMNxx.CDl：yx c与24xy，得：2440 xxc，2216164 21CDCDxxcc且由16 16011cc，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC的高为1122cc，故1184 2112 22 122MNDCcSccc，令1ct，则222 220,2MNDCSttt.第 18 页 共 25 页2

24、222222226424623Sttttttt.在20,3上，0S，在2,23上，0S.故当23t时，S取最大值为128227.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系和平面几何图形的面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20 某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有 7 个饭店且每个饭店一年有300 天需要这种土鸡，A饭店每天需要的数量是1418 之间的一个随机数，去年A饭店这 300 天里每天需要这种土鸡的数量x（单位：只）的统计情况如下表：x1415161718频数4560756060这 300 天内（假设这7 个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡71418aa只，

25、送到城里的这7 个饭店，每个饭店a只，每只土鸡的成本是40 元，以每只 70 元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a元的价钱处理.（）若16a，求养鸡厂当天在A饭店得到的利润y（单位：元）关于需求量x（单位：只，*Nx）的函数解析式；（）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏 112 只或 119 只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112 只还是 119只？【答案】（）*30,16N480,16x xyxx；（）119 只.【解析】（）根据题意，可求出利润y关于需求量x的函数解析式：2*1416,N30,a xaaxayxa xa，即可

26、求出当16a时，y关于x的解析式；()根据离散型分布特点，分类讨论，求出出栏112 只和出栏119 只时的分布列和期望，第 19 页 共 25 页比较即可得出结论.【详解】（）当xa时，2704056401416yxaaxa xaa，当xa时，30ya，2*1416,N30,a xaaxayxa xa，当16a时，*30,16N480,16x xyxx.（）若出栏112 只，则16a，由（）知，当16a时，*30,16N480,16x xyxx，记1Y表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.1Y可取 420，450，480，14200.15P Y，14500.2P Y，14800.65P Y，1Y

27、的分布列为：1Y420450480P0.150.20.651420 0.15450 0.2480 0.65465E Y，若出栏 119 只，则17a，记2Y表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.当17a时，*3117,17N510,17xxyxx，2Y可取 417，448，479，510，24170.15P Y，24480.2P Y，24790.25P Y，25100.4P Y，2Y 的分布列为：第 20 页 共 25 页2Y417448479510P0.150.20.250.42417 0.15448 0.2479 0.25510 0.4475.9E Y.综上可知，1277E YE Y，则养鸡

28、厂出栏119 只时，利润最大.【点睛】本题考查求函数的解析式以及离散型分布列和期望，考查利用已学知识解决实际利润问题，考查解题和计算能力.21已知函数2()xf xea，()xg xeb，且()f x 与()g x的图象有一个斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）.（1）求ba；（2）设函数ln 21()()()22h xf xg xmx，讨论函数()h x的零点个数.【答案】（1）1ln 222ba（2）见解析【解析】（1）由()f x 与()g x的图象有一个斜率为1 的公切线，分别对()f x 与()g x求导并求出切线方程，列出等量关系可得ba；（2）利用换元将2()2xxh xeem

29、转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数()h x的零点个数.【详解】（1）2()2=1xfxe，可得ln 2ln 21,()222xfa.()f x 在ln 2 1(,)22a处的切线方程为1ln 2()22yax，即ln 2122yxa.()1xg xe，0,(0)1xgb.()g x在(0,1)b处的切线方程为(1)ybx，1yxb，故ln 21122ab，可得1ln 222ba.第 21 页 共 25 页（2）由（1）可得22ln 21()()22xxxxh xeaebmxeemx，2()2xxh xeem，令xte，则22yttm，=1+8m，1m 时

30、，220ttm有两根，12,tt且120tt，12()2()()0 xxh xetet，得：2lnxt，在2(ln),t上，()0h x，在2(ln,)t上，()0h x，此时，2(ln)(0)0hth.又x时，(),h xx时，()h x.故在2(ln),t和2(ln,)t上，()h x各有 1 个零点.1m时，1()2()(1)2xxh xee()h x最小值为(0)0h，故()h x仅有 1 个零点.01m时，12()2()()xxh xetet.其中120tt，同1m，()h x在2(ln),t与2(ln,)t上，()h x各有 1 个零点，0m时，2()xxh xee，仅在(0)0h

31、有 1 个零点，108m时，对方程220,180ttmm.方程有两个正根12,t t，12()2()()xxh xetet.在1(,ln)t上，()0h x，在12(ln,ln)tt上，()0h x，在2(ln,)t，()0h x.第 22 页 共 25 页由1212120tttt，可得1211042tt，故22ln0,(ln)(0)0thth.222111111111(ln)ln(2)lnhtttmtttttt1111(1)(12)lntttt11110,120,ln0ttt，故1(ln)0ht.故在1(,ln)t上，1()(ln)0h xht，在12(ln,ln)tt上，()0h x，在2

32、(ln,)t上，()h x有 1 个零点：0 x.18m时，2()20 xxh xeem恒成立，()h x为增函数，()h x仅有 1 个零点：0 x.综上，0m或1m时，()h x有 1 个零点，01m或1m 时，()h x有 2 个零点.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2cos1sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为222483cos4sin.（）当3时，把直线l的参数方程化为普通方程，把椭圆

33、C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）直线l交椭圆C于A，B 两点，且A，B 中点为2,1M，求直线l的斜率.【答案】（）312 30 xy，2211612xy；（）32.第 23 页 共 25 页【解析】（）根据直线l的参数方程为2cos1sinxtyt，且3，消去 t 即可直线的的普通方程.根据椭圆C的极坐标方程222483cos4sin，变形为22223cos4sin48，再利用cos,sinxy求解.（）将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得223sin12cos8sin320tt，利用A，B 中点为2,1M，且直线过2,1M，利用参数的几何意义求解.【详解】（）因为直线l的参

34、数方程为2cos1sinxtyt，且3，所以122312xtyt，消去 t 得312 30 xy，所以直线l的普通方程为：312 30 xy；因为椭圆C的极坐标方程为222483cos4sin.所以22223cos4sin48，223448xy，椭圆C的直角坐标方程为：2211612xy.（）将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：223sin12cos8sin320tt，因为A，B 中点为2,1M所以120tt，故312cos8sin0tan2k，所以直线l的斜率为32.第 24 页 共 25 页【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，

35、还考查了运算求解的能力，属于中档题.23已知函数2fxxax.（）若3fx恒成立，求实数a的取值范围；（）fxx的解集为2,m，求a和m.【答案】（）5a或1a；（），4a，6m.【解析】（）根据绝对值三角不等式，由222xaxxaxa，求得fx最小值，再由23a求解.（）不等式的解集与相应方程根的关系，当2x时，22f，即22a，解得：0a或 4.，再分类求解.【详解】（）因为222xaxxaxa，当且仅当20 xax时取等，故fx最小值为2a-，235aa或1a.（）由不等式解集的意义可知：2x时，22f，即22a，解得：0a或 4.0a时，如图所示：不合题意舍去.第 25 页 共 25 页4a时，如图所示：由yx与26yx解得：6x，即6m，综上，4a，6m.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.