2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3 月第七次月考数学（文）试题一、单选题1已知集合Ax|2x+1 3，Bx|2x 2，则 A B（）A（，2）B?C（2，1）D（1，+）【答案】C【解析】解不等式求得集合,A B，由此求得ABI.【详解】Ax|x 2，Bx|x 1，A B（2，1）故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2设 zi（i3），则|z|（）A10B 3 C22D6【答案】A【解析】利用复数乘法运算求得z，再求 z 的模.【详解】zi（i3）13i，|z|221310故选：A【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的求法

2、，属于基础题.3已知向量ar（3，1），br（2，23），则向量ar，br的夹角为（）A2B3C4D6【答案】D【解析】利用向量夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角.【详解】第 2 页 共 20 页2 32 33242a bcosaba brrrrrr，且0abrr，abrr，的夹角为6故选：D【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，属于基础题.4曲线 ysinx 在点（0，0）处的切线方程为（）Ay2xB yxCy 2xDy x【答案】B【解析】求得sinyx的导函数，由此求得切线的斜率，进而求得切线方程.【详解】由 ysinx，得 y cosx，可得切线的斜率kcos

3、01，曲线 ysinx 在点（0，0）处的切线方程为yx故选：B【点睛】本小题主要考查在曲线上某点切线方程的求法，属于基础题.5已知8log 7a，3log 2b，0.1c，则（）AabcB acbCbacDcab【答案】C【解析】根据89log 7log 7，将39log 2log 4b，利用对数函数的单调性，可得,a b大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果.【详解】由对数函数比较底数大小口诀：在第一象限，图像越靠近y轴，则底数越小所以可知89log 7log 7a，而39log 2log 4b又9logyx在定义域单调递增，所以99log 7log 4且99991lo

4、g 9log 7log 4log 10所以01ba第 3 页 共 20 页由xy在R上单调递增，所以0.101所以1c，故cab故选：C【点睛】本题考查指数式、对数式比较大小，关键在于比较,a b大小，熟练对数函数底数的比较，学会总结，可简便计算，同时也会借助中间值比较大小，比如：0，1，属中档题.6 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，L，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（）A487号职工B307号职工C607号职工D520号职工【答案】D【解析】利用系统抽样的概念，可得抽样距为15，根据每组抽出号码成等

5、差数列，结合442号在第 30 组，可知第一组抽出的号码，进一步得到等差数列的通项公式，简单判断，可得结果.【详解】由题可知：抽样距为8401556，设第一组抽出的号码为1a，由前 29 组共有 435 项，前 30 组有 450 项所以可知442号落在第30 组又因为每组抽出号码成等差数列na，公差为15 所以1130 1154427aa所以7151158nann当520na时，则52815852015nn又nN，所以520号职工不是被抽到的员工故选：D【点睛】本题考查系统抽样，还考查等差数列通项公式，难点在于求出1a，属基础题.7已知函数111xxxexeg x，则下列说法错误的是（）第

6、4 页 共 20 页Ag x的定义域是RBg x是偶函数Cg x在0,单调递减Dg x的最小值为1【答案】C【解析】由111xxxexeg x分别判断函数的定义域，奇偶性，利用导数判断函数的单调性与最值，可得答案.【详解】解：易得111xxxexeg x定义域是R，故 A 正确；由111(1)11xxxxgxexxxexgeex，故g x是偶函数，故B正确；当0 x时，222101xxxxeegxe，所以g x在0,单调递增,故 C 不正确；由g x是偶函数，且0 x时g x单调递增，可得g x的最小值为min01g xg，故 D 正确；故选：C.【点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性、单调

7、性、最值等知识，熟悉函数的相关知识并利用导数求解是解题的关键.8已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，60,3oAbc，角 A 的平分线交 BC 于点 D，且7BD，则cosADB的值为（）A217B217C2 77D2 77【答案】B【解析】由题意，60Ao，角 A的角平分线交BC 于点 D，可得3CDbBDc，由7BD可得3 7CD，4 7aCB，在ABC,由余弦定理可得4c，在ABD中，由正弦定理可知：sinsinBDcBADADB，可得2sin7ADB，判断出ADB为第 5 页 共 20 页锐角，可得答案.【详解】解法 1：因为60Ao，角 A 的角平分线交BC 于点

8、D，所以30oCADBAD，又3bc，所以1sin2631sin26CADDABb ADSCDbBDScAD c，因为7BD，所以3 7CD，所以4 7aCB.因为2222cosabcbcA，所以22116792 32ccc c，解得4c，在ABD中，由正弦定理可知：sinsinBDcBADADB即741sin2ADB，所以2sin7ADB，因为3bcc，所以BC，因为30,30ooADBCADCB，所以ADBADC，所以ADB为锐角，所以321cos77ADB.法 2：因为60Ao，角 A 的角平分线交BC 于点 D，所以30oCADBAD，又3bc，所以1sin2631sin26CADDA

9、Bb ADSCDbBDScAD c，因为7BD，所以3 7CD，所以4 7aCB，因为2222cosabcbcA，第 6 页 共 20 页所以22116792 32ccc c，解得4c，由余弦定理可得：222cos2ADcBDBADAD c，即2316728ADAD，所以24 390ADAD，所以33 30ADAD.所以3 3AD或3AD，因为3bcc，所以BC又120oBC，所以60oBBAD，所以7ADBD，所以3 3AD，所以222277 1621cos272 3 37DADBABADBDA DB.故选：B【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查学生的综合计算能力，熟练掌

10、握正弦定理、余弦定理并灵活运用是解题的关键.9中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，若鳖牖PADE的体积为 l，则阳马PABCD的外接球的表面积等于（）A17B18C19D20【答案】A 第 7 页 共 20 页【解析】先根据鳖牖PADE的体积为l，求得3PA，再根据阳马PABCD的外接球的直径是以,AD AB AP为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积

11、【详解】由题意，因为PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，又由鳖牖PADE的体积为1，所以1112 11332pAEDAEDVPA SPAV，解得3PA，而阳马PABCD的外接球的直径是以,AD AB AP为宽，长，高的长方体的体对角线，所以2222244917RADABAP（），即2417R，球的表面积为2417R故选 A【点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的体积与表面公式计算，其中解答中得出阳马PABCD的外接球的直径是以,AD AB AP为宽，长，高的长方体的体对角线是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题10某校早上6：30 开始跑操，

12、假设该校学生小张与小王在早上6：006：30 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5 分钟到校的概率为（）A2536B1136C2530D530【答案】A【解析】设小张与小王的到校时间分别为6：00 后第x分钟，第y分钟，由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解.【详解】第 8 页 共 20 页设小张与小王的到校时间分别为6：00后第x分钟，第y分钟，,x y可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为,030,030 x yxy是一个正方形区域，对应的面积3030900S，则小张与小王至少相差5 分钟到校事件,5Ax yxy(如阴影部分)则符合题意

13、的区域2525625AS，由几何概型可知小张与小王至少相差5 分钟到校的概率为6252590036P.故选：A【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题.11已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于,A B两点，12,ABP为C的准线上一点，则ABP的面积为（）A18 B 24 C36 D48【答案】C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p0），则焦点为F（2p，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p 直线 l 经过抛物线的焦点，A、B是 l 与 C 的交点，又 ABx 轴|AB|=2p=12 p=6 又 点 P 在准线上第 9 页 共

14、 20 页 DP=（2p+|-2p|）=p=6 SABP=12（DP?AB）=12 6 12=36 故选 C12已知20192018,(),xxaf xxxa，若存在实数m，使函数yfxm有两个零点，则a 的取值范围()A(1,)B(,0)(1,)C(0,1)(1,)D(,0)【答案】B【解析】由yfxm有两个零点可得fxm有两个零点，即()yf x与ym的图像有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图像可得a 的取值范围.【详解】解：由yfxm有两个零点，可得fxm有两个零点，即()yfx与ym的图像有两个交点，由20182019xx，可得0 x或1x，当1a时，函数fx的图像如

15、图所示，此时存在m，满足题意，故1a满足题意；当1a时，函数fx单调递增，故不符合题意；当01a 时，函数fx单调递增，故不符合题意；当0a时，函数fx单调递增，故不符合题意；第 10 页 共 20 页当0a时，函数fx的图像如图所示，此时存在m，满足题意，故0a满足题意；综上可得，0a或1a，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点与方程跟的关系，考查了分段函数的相关知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的运用，属于中档题.二、填空题13若 x，y 满足2103230210 xyxyy，则 z4x+3y 的最小值是 _【答案】12【解析】画出可行域，平移直线4133yxz到可行域边界点1 1,

16、4 2A时，目标函数取得最小值12.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z4x+3y 得 y43x13z，平移直线y43x13z，由图象可知当直线43x13z 经过点 A 时，直线43x13z 的截距最小，此时 z 最小由210210yxy，解得1214yx，即 A（14，12），第 11 页 共 20 页代入目标函数z4x+3y得z12即目标函数z4x+3y 的最小值为12故答案为：12【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，

17、乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对若甲、乙、丙三人中恰好有1 人说得不对，则去过北京的是 _【答案】丙【解析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙【详解】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1 人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙故答案为：丙【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.15在等比数列na中，182naa，3281na a，且前n项和121nS，则此数列的

18、项数n等于 _【答案】5 第 12 页 共 20 页【解析】由题意，易得1a和na是方程282810 xx的两根，求解方程得到两根，分数列递增和数列递减可得1a，na，再由121nS得q，进一步可得n值.【详解】由等比数列的性质可得，13281nna aa a，又182naa，1a和na是方程282810 xx的两根，解方程可得1x或81x，若等比数列na递增，则11a，81na，121nSQ，118112111naa qqqq解得3q，1811 3n，解得5n若等比数列na递减，则181a，1na，121nSQ，18112111naa qqqq解得13q，111813n，解得5n综上，数列的

19、项数5n故答案为：5【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和公式的计算，考查计算能力，属于基础题.16已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 _【答案】【解析】不等式即：恒成立，作出函数的图象，则正比例函数恒在函数的图象下方，考查函数：经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为，由此可得：实数的取值范围为，故答案为第 13 页 共 20 页三、解答题17 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且coscos2bAaBc.（1）证明：tan3tanBA；（2）若2223bcabc，且ABC的面积为3，求a.【答案】（1）见解析（2）2【解 析】试 题 分 析：（1）由cosco

20、s2bAaBc，根 据 正 弦 定 理 可 得sin coscos sinBABA2sin2sinCAB，利用两角和的正弦公式展开化简后可得sin cos3cos sinBABA，所以，tan3tanBA；（2）由2223bcabc，根据余弦定理可得3cos2A，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得ac，由12sin23Sac213322a，解得2a.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：sin coscos sinBABA2sin2sinCAB，展开得：sin coscos sinBABA2 sin coscos sinBABA，整理得：sin cos3cos sinBABA，

21、所以，tan3tanBA.（2）由已知得：2223bcabc，222cos2bcaAbc3322bcbc，第 14 页 共 20 页由0A，得：6A，3tan3A，tan3B，由0B，得：23B，所以6C，ac，由12sin23Sac213322a，得：2a.18已知数列na的前 n 项和为nS，0na，2*2,nnnSaanN.（1）求na；（2）若1nnbS，数列nb的前 n 项和为nT，求nT.【答案】（1）,nan nN（2）12 11nTn【解析】（1）由2*2,nnnSaanN，利用当2n时，1nnnaSS进行化简，可得11,2nnaan，可得na的表达式；（2）由（1）得1,2n

22、n nSnN，可得1211211nnbSn nnn，由裂项相消法可得nT的值.【详解】解：（1）由21112Saa得，21112aaa，解得10a（舍去），或11a，11a，2*2,nnnSaanN，21112,2nnnSaan，两式相减得，22*1112,nnnnnnSSaaaanN22112,nnnnnaaaaanN2211110,10,2nnnnnnnnaaaaaaaan，10nnaa，11,2nnaan，na为等差数列，公差为1，11a.第 15 页 共 20 页,nan nN.（2）由（1）得1,2nn nSnN1211211nnbSn nnn，111111212 122311nTn

23、nn.【点睛】本题主要考查由递推式求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题.19如图，四边形ABCD是矩形，平面MCD平面ABCD，且4,4 2MCMDCDBC，N为BC中点.（1）求证：ANMN；（2）求三棱锥CMAN的体积.【答案】（1）见解析（2）8 63【解析】（1）取CD的中点O，连接,OA OM ON，证明MO平面ABCD，再利用勾股定理证明ANMN；（2）利用等积法得13CMANMNACNACVVSMO，通过计算即可得到答案.【详解】（1）取CD的中点O，连接,OA OM ON，QMCMD，O为CD中点，MOCD，又Q平面MCD平面ABCD，MO平面

24、MCD，MO平面ABCD，则2 3,2 3,6MOONOA，22224MNMOON，22224ANBNAB，22248AMMOOA，第 16 页 共 20 页222MNANAM，ANMN.（2）连接AC，NAC的面积为：114224 222NACSABNC.三棱锥CMAN的体积为：118 64 22 3333CMANMNACNACVVSMO.【点睛】本题考查线面垂直判定定理和勾股定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意三棱锥的等体积法的应用.20为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级100 名学生进行不记名问卷调查

25、，得到如下数据：近视不近视足够的户外暴露时间2035不足够的户外暴露时间3015（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；（2）能否认为在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd20P Kk0.0500.0100.0010k3.8416.63510.828【答案】（1）12（2）在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系【解析】（1）根据题意，用样本中近视的学生人数除以样本容量，得到近视率；第 17 页 共 20 页（2）根据独立性检验的方法，计算2

26、K，将2K观测值与6.635比较，运用独立性检验的相关知识给出结论即可.【详解】（1）从表格中可知，100 名学生中，近视的学生有203050名，所以可估计该中学一年级学生的近视率为5011002；（2）22100(20153530)9.096.63555455050K，所以在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系【点睛】本题考查（1）用样本估计总体（2）独立性检验，考查计算能力，考查数据分析能力，属于基础题.21已知定点(0,1),(0,1)AB，动点P与A、B两点连线的斜率之积为12.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）已知点M是轨迹C上的动点，点N在直

27、线2y上，且满足0OMONuuuu r uuu r（其中O为坐标原点），求OMN面积的最小值.【答案】（1）221(0)2xyx（2）2【解析】（1）设点(,)P x y，则0 x，且1112yyxx，化简即可得出答案；（2）由题意OMON，当点M在椭圆的左右顶点位置时，易求出面积；当点M不在椭圆的左右顶点位置时，设直线OM的斜率k，联立直线与椭圆的方程可求得222|12kOMk，同理可求得2|44ONk，再利用换元法即可求出面积的最值【详解】解：（1）设点(,)P x y，则0 x，且11,PAPByykkxx，所以1112yyxx，化简得2212xy，第 18 页 共 20 页故点P的轨迹

28、C的方程为221(0)2xyx；（2）因为0OMONuuuu r u uu r，所以OMON，当点M在椭圆221(0)2xyx的左右顶点位置时，12222OMNS；当点M不在椭圆221(0)2xyx的左右顶点位置时，直线OM的斜率存在且不为0，设为k，则OM的方程为 ykx，22,1,2ykxxy解得222222,122,12xkkyk所以2222|12kOMk，此时ON的方程为1yxk，所以2(2,2),|44NkONk，2222222 1111|4 12221212OMNkkSOMONkkk，令212tk，则1t，且212tk，所以，2(1)2122242OMNtSttt，综上可知，OMN

29、面积的最小值为2【点睛】本题主要考查曲线的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于难题22设函数()1xf xaxnx（1）若函数()f x 在(1,)上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在212,x xe e，使12fxfxa成立，求实数a的取值范围【答案】（1）最小值为14（2）211,24e【解析】（1）根据题意，确定函数定义域，然后求导，若函数()f x 在(1,)上为减函数，则211()0(1)nxfxanx在(1,)上恒成立，转化不等式为第 19 页 共 20 页2211111(1)1124anxnxnx，令2111()1nx24g x，求解()g x的最小值，则

30、min()ag x，即可求解参数最值.（2）问题等价于当2,xe e时，有minmaxfxfxa，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可.【详解】（1）由已知得()f x 的定义域(0,1)(1,)，()f x在(1,)上为减函数，211()0(1)nxfxanx在(1,)上恒成立，2211111(1)1124anxnxnx，令2111()1nx24g x，故当111nx2，即2xe时，()g x的最小值为14，14a，即14aa的最小值为14（2）命题“若存在212,x xe e，使12fxfxa成立”，等价于“当2,xe e时，有minmax()()f xfxa”，

31、由（1）知，当2,xe e时，ln1,2x，11,1ln2x，22ln1111()(ln)ln24xfxaaxx，max1()4fxa，问题等价于：“当2,xe e时，有min1()4f x”，当14a，即14a时，由（1），()fx 在2,e e上为减函数，则222min2211111(),244224ef xfeaeaaee 当104a，即104a时，21,ln,12xe exQ，第 20 页 共 20 页211()(1)nxfxanx，由复合函数的单调性知()fx在2,e e上为增函数，存在唯20,xe e，使00fx且满足：0min000()lnxf xfxaxx，要使min00111111(),44ln424f xaxx，与104a矛盾，104a不合题意综上，实数a的取值范围为211,24e【点睛】本题考查（1）函数恒成立问题（2）利用导数研究函数恒成立与能成立的问题，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.