2020届福建省福州市高三第三次质量检测(线下二模)数学(理)试卷.pdf

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1、数学试题（第 1页 共17页）2020 届福州市高中毕业班第三次质量检查数 学（理 科）试 题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1 至 3 页，第卷4 至 6 页满分150 分注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2.第卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回第 卷一、选

2、择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知纯虚数z 满足(1i)2iza，则实数 a 等于A2B1C1D22.已知集合2220,log2Ax xxBx yx，则ABRIeAB2,2C 1,2D2,13.执行右面的程序框图，则输出的mA1 B2 C3 D4 数学试题（第 2页 共17页）4.某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为A0.495%B0.940 5%C 0.999 5%D0.99%5.函数2e2xfxxx 的图象大致为A B C D 6.甲、乙、丙

3、、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10 次四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是A平均数相同B中位数相同C众数不完全相同 D 丁的方差最大7.已知角的终边在直线3yx 上，则2sin 21cosA611B311C311D6118.数独是源自18 世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一个简化版，由3 行 3 列 9个单元格构成玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各 3 个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有 1,2,3 这三个数字，则不同的填法有A12 种B24 种Oxy11Oxy11y1O1xOxy11数学试题（第 3页 共1

4、7页）C72 种D216 种9.已知函数sin06fxx图象上相邻两条对称轴的距离为2，把 fx 图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移3个单位长度，得到函数g x 的图象，则Acos4g xxBcos4g xxCcosg xxDcosg xx10.已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的焦距为2，右顶点为A过原点与x 轴不重合的直线交C于,M N 两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为A22143xyB22165xyC22198xyD2213632xy11.已知函数1lnfxxxx，给出下列四个结论：曲线 yfx 在1x处的切线方

5、程为10 xy；fx 恰有 2 个零点；fx 既有最大值，又有最小值；若120 x x 且120fxfx，则121x x其中所有正确结论的序号是ABCD12.三棱锥 PABC 中，顶点P在底面 ABC 的投影为ABC的内心，三个侧面的面积分别为 12,16,20，且底面面积为24，则三棱锥PABC 的内切球的表面积为A43B 12C163D 16数学试题（第 4页 共17页）第卷注意事项：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13.已知向量1,2ABu uu r，2,5CBuuu r，,

6、1tMNuuu u r若 ACMNuu u ruu uu r，则实数 t14.正方体1111ABCDA BC D 中，P为1BC 中点，Q为1AD 中点，则异面直线DP与1C Q 所成角的余弦值为15.在ABC中，内角,A B C 的对边分别为,a b c，若22sincos1AB，则cba的取值范围为16.已知梯形ABCD满足,45ABCDBAD，以,A D 为焦点的双曲线经过,B C 两点若7CDAB，则的离心率为三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考

7、题：共60 分17.（本小题满分12 分）已知数列na和nb的前 n 项和分别为nS,nT，12a，11b，且112nnaaT（1）若数列na为等差数列，求nS；（2）若112nnbbS，证明：数列nnab和nnab均为等比数列18.（本小题满分12 分）如图，在多面体 PABCD 中，平面 ABCD平面PAD，ADBC，90BAD，120PAD，1BC，2ABADPA（1）求平面 PBC 与平面PAD所成二面角的正弦值；（2）若E是棱PB的中点，求证：对于棱CD 上任意一点F，EF与PD都不平行19.（本小题满分12 分）已知抛物线2:4Cyx，直线:2lxmy（0m）与 C 交于,A B

8、两点，M为AB的中点，O 为坐标原点（1）求直线 OM 斜率的最大值；ADCBP数学试题（第 5页 共17页）（2）若点P在直线2x上，且PAB为等边三角形，求点P的坐标20.（本小题满分12 分）已知函数2()2lnf xxaxx（1）求函数fx的单调区间；（2）设函数fx有两个极值点12,x x（12xx），若12fxmx恒成立，求实数m的取值范围21.（本小题满分12 分）某省2021年开始将全面实施新高考方案在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4 门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级，各

9、等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4 门科目的原始分进行了等级转换赋分（1）某校生物学科获得A等级的共有10 名学生，其原始分及转换分如下表：原始分91 90 89 88 87 85 83 82 转换分100 99 97 95 94 91 88 86 人数1 1 2 1 2 1 1 1 现从这 10 名学生中随机抽取3 人，设这3 人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布(75.8 36)N，若2(,)Y

10、N，令Y，则(0,1)N，请解决下列问题：若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()Pk 取得最大值时 k 的值附：若(0,1)N，则(0.8)0.788P,(1.04)0.85P,.数学试题（第 6页 共17页）2020 年福州市高中毕业班质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相

11、应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5 分，满分60 分1A 2D 3 C 4 A 5 B 6 D 7A 8A 9D 10 C 11B 12 C 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分1313142315 2,3163 24三、解答题：本大题共6 小题

12、，共70 分17【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理等学科素养；体现基础性 满分 12 分【解答】（1）由112nnaaT，得2112aab，又12a，11b，解得24a.1 分因为数列na为等差数列，所以该数列的公差为21aa2，2 分所以21222nn nSnnn 4 分（2）当2n时，112nnaaT，因为1nnnTTb，所以12nnnaab，即12nnnaab，5 分同理可得：12nnnbba 6 分数学试题（第 7页 共17页）则113()nnnnabab，所以113nnnnabab（2n），7

13、分又21121124,25aabbba，所以22114533abab，所以113nnnnabab（*nN），8 分所以数列nnab是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.9 分因为11()nnnnabab，所以111nnnnabab（2n），10 分又221145121abab，所以111nnnnabab（*nN），11 分所以数列nnab是以1为首项，1为公比的等比数列 12 分18【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑

14、推理等核心素养，体现基础性、综合性满分12 分【解析】解法一：（1）因为ABAD，平面 ABCD平面PAD，平面 ABCD I 平面PADAD，AB平面 ABCD，所以AB平面PAD.1 分作AHAD交PD于H，则,AB AD AH 三条直线两两垂直 以A为坐标原点O，分别以AHADAB，所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 2 分因为120PAD，1BC，2ABADPA所以0,0,0,0,0,2,0,1,2,0,2,0,3,1,0ABCDP，3 分设平面PBC的法向量为,x y zn，因为0,1,0,3,1,2BCBPuu u ruuu r，所以0,0,BCBPuuu ru

15、uu rnn所以0,320,yxyz令2x，所以2,0,3n，4 分由 z 轴平面PAD知0,0,1m为平面PAD的一个法向量,5 分数学试题（第 8页 共17页）所以33cos,717n mn mnm，6 分所以 PBC 与平面PAD所成二面角的正弦值为2 77 7 分（2）因为E是棱PB的中点，由（1）可得31,122E.假设棱 CD 上存在点F，使得 EFPDP，8 分设DFDCuu u ruuu r，01，所以3 53 5,10,1,2,122222EFEDDFuuu ruuu ru uu r，9 分因为 EFPDP，所以3,3,0EFtPDtuuu ruuu r，10 分所以33,2

16、53,2120,tt这个方程组无解，11 分所以假设不成立，所以对于棱CD 上任意一点F，EF与PD都不平行.12 分解法二：（1）如图，在平面PAD内，过点P作DA的垂线，垂足为M；在平面 ABCD内，过M作AD的垂线，交CB 的延长线于点N 连接 PN 因为 MNPMMI，所以AD平面 PMN 1 分因为 ADBC，BC平面 PBC，AD平面 PBC，所以AD平面 PBC，2 分设平面 PBC I 平面 PADl，则 ADl，故 l平面 PMN 3 分所以NPM为平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角 4 分因为120PAD，2ABADPA，所以60MAP，在 RtPAM中，2sin60

17、3PM 5 分又2MNAB，所以在 RtPMN中，227PNPMMN 6 分所以22 7sin77MNMPNPN，数学试题（第 9页 共17页）所以 PBC 与平面PAD所成二面角的正弦值为2 77 7 分（2）假设棱 CD 上存在点F，使得 EFPDP，显然F与点D不同，8 分所以,P E F D 四点共面，记该平面为，所以 P，PE，FD，9 分又BPE，CFD，所以 B，C，所以就是点,B C D 确定的平面，10 分这与 PABCD 为四棱锥相矛盾，所以假设不成立，所以对于棱CD 上任意一点F，EF与PD都不平行.12 分解法三：（1）同解法一 7 分（2）假设棱 CD 上存在点F，使

18、得 EFPDP 8 分连接BD，取BD的中点M，在BPD中，因为,E M 分别为,BP BD 的中点，所以 EMPDP.9 分因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以EM与EF重合.10 分又点F在线段 CD 上，所以 FBDCDI，又 BDCDDI，所以F是BD与 CD 的交点D，即EF就是ED，11 分而ED与PD相交，所以与EFPDP相矛盾，所以假设不成立，所以对于棱CD 上任意一点F，EF与PD都不平行 12 分19【命题意图】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础

19、性、综合性满分12 分【解析】解法一：（1）设1122(,),(,)A x yB xy，由22,4xmyyx，消去 x 得，2480ymy，1 分216320,m且12124,8yym y y.2 分所以21212()444.xxm yym因为M为AB的中点，数学试题（第 10页 共17页）所以M的坐标为1212(,)22xxyy，即2(22,2)mm,3 分又因为0m，所以2221111221212OMmmkmmmmmm,5 分（当且仅当1mm，即1m等号成立.）所以 OM 的斜率的最大值为12 6 分（2）由（1）知，2121|ABmyy2212121()4myyy y2211632mm2

20、24 12mm，8 分由PMAB得2222|1()|22(2)|2(2)1PMmmmm，9 分因为PAB为等边三角形，所以3|2PMAB，10 分所以22222(2)12 312mmmm，所以223m，所以21m，解得1,m又0m，所以1m，11 分则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx，即6yx，所以2x时，8y，所以所求的点P的坐标为(2,8)12 分解法二：（1）设112200(,),(,),(,)A xyB xyM xy，因为M为AB的中点，且直线:2(0)lxmym，所以0122,yyy1212,xxmyy 1 分由2112224,4,yxyx得22121244,yyxx数学试

21、题（第 11页 共17页）所以1212124,xxyyyy所以024,ym 即02ym.2 分所以200222,xmym即2(22,2)Mmm，3 分又因为0m，所以2221111221212OMmmkmmmmmm,5 分（当且仅当1mm，即1m等号成立.）所以 OM 的斜率的最大值为12 6 分（2）由22,4xmyyx，消去 x得2480ymy，所以216320,m且12124,8yym y y.7 分221212ABxxyy22121222mymyyy2212121()4myyy y2211632mm224 12mm，8 分由（1）知，AB的中点M的坐标为2(22,2)mm，所以线段AB

22、的垂直平分线方程为：2222ymm xm.令2x，得线段AB的垂直平分线与直线2x交点坐标为32,26,Pmm所以22232224242(2)1mMmmmPm 9 分因为PAB为等边三角形，所以3|2PMAB，10 分所以22222(2)12 312mmmm，所以223m，所以21m，解得1,m数学试题（第 12页 共17页）因为0,m所以1m，11 分则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx，即6yx，所以2x时，8y，所以所求的点P的坐标为(2,8)12 分20【命题意图】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方

23、程思想、分类与整合思想、化归与转化、特殊与一般思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性满分12 分.【解析】（1）因为2()2lnf xxaxx，所以222()0 xaxfxxx 1 分令222p xxax，216a，当0即44a 时，()0p x，即()0fx，所以函数fx单调递增区间为0,2 分当0即4a或4a时，22121616,44aaaaxx.若4a，则120 xx，所以0p x，即()0fx，所以函数f x单调递增区间为0,3 分若4a，则210 xx，由()0fx，即0p x 得10,xx或2xx；由()0fx，即0p x 得1

24、2xxx所以函数fx的单调递增区间为120,xx；单调递减区间为12,x x 5 分综上，当 a4 时，函数fx单调递增区间为0,；当 a4 时，函数fx的单调递增区间为120,xx，单调递减区间为12,x x 6 分（2）由（1）得222()0 xaxfxxx，若fx有两个极值点12,x x，则12,x x是方程2220 xax的两个不等正实根，由（1）知4a则12122,12axxx x，故1201xx，8 分数学试题（第 13页 共17页）要使12fxmx恒成立，只需12fxmx恒成立因为222311111111111221()2ln222ln22ln1f xxaxxxxxxxxxxxx

25、，10 分令3()22 lnh ttttt，则2()32lnh ttt，当 01t时，0h t，()h t 为减函数，所以()(1)3h th.11 分由题意，要使12fxmx恒成立，只需满足3m所以实数 m 的取值范围,3 12 分21【命题意图】本题主要考查超几何分布、二项分布、正态分布的概念等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查概率与统计思想；考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与应用性【解答】（1）随机变量X的所有可能的取值为0,1,2 3，1 分根据条件得0355310101(0)12012C CP XC，1255310505(1)120

26、12C CP XC，2155310505(2)12012C CP XC，3055310101(3)12012C CP XC，3 分则随机变量X的分布列为X0123P112512512112数学期望15513()0123121212122E X 4 分（2）设该划线分为m，由(75.8,36)YN得75.8,6，令75.86YY，则675.8Y，5 分依题意，0.85P Ym，即75.8675.80.856mPmP，因为当(0,1)N时，(1.04)0.85P,，所以(1.04)0.85P?，6 分数学试题（第 14页 共17页）所以75.81.046m，故69.56m，取69m 7 分由讨论及

27、参考数据得71675.8710.80.80.788P YPPP，即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，8 分故(800,0.788)B，800800()0.788(1 0.788)kkkPkC.9 分由1,1,PkPkPkPk即80011801800800800117998008000.788(10.788)0.788(10.788),0.788(10.788)0.788(10.788),kkkkkkkkkkkkCCCC 10 分解得 630.188631.188k，又 kN，所以631k，11 分所以当631k时()Pk 取得最大值.12 分22【命题意图】本题主要考查

28、参数方程、曲线与方程等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性满分10 分【解答】解法一：（1）消去参数t得1l 的普通方程为33xky，1 分消去参数 m 得2l 的普通方程为33k xy 2 分联立33,33xkyk xy消去 k得2339xxy，4 分所以1C 的普通方程为2219xy（3x）5 分（2）依题意，圆心2C 的坐标为0,4，半径3r 6 分由（1）可知，1C 的参数方程为3cos,sinxy（为参数，且2 ,kkZ），7 分设3cos,sinP（2 ,kkZ），则22223cossin4PC22

29、9 1sinsin8sin1628sin8sin25，8 分数学试题（第 15页 共17页）当1sin2时，2PC取得最大值21188253 322，9 分又2PQPCr，当且仅当2,P Q C 三点共线，且2C 在线段 PQ 上时，等号成立所以max3 334 3PQ 10 分解法二：（1）消去参数t得1l 的普通方程为33xky，1 分消去参数 m 得2l 的普通方程为33k xy 2 分由33,33xkyk xy得22231,12,1kxkkyk故P的轨迹1C 的参数方程为22231,12,1kxkkyk（k为参数），4 分所以1C 的普通方程为2219xy（3x）5 分（2）同解法一

30、10 分23【命题意图】本题主要考查不等式的证明、基本不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性【解答】解法一：（1）依题意，当1c时，223ab，且0,0ab，则334334ababaaba bb 1 分22222332aba ba bab 3 分29ab ab 4 分9，故原不等式成立 5 分（2）22222244111abcabc222222222222414144911ccababbacacb 6 分数学试题（第 16页 共17页）222222222222414144922211ccababbacacb25，7 分

31、因为22215abc，所以22244151abc，8 分当且仅当222222222222414144,11ccababbacacb，即2,0abc时等号成立，9 分所以2224411abc的最小值为5 10 分解法二：（1）依题意，当1c时，223ab，且0,0ab，则2229ab44222aba b 1 分333333222aaa bbbaba baba b233ababab ab 3 分33abab，4 分所以339abab 5 分（2）同解法一 10 分（二）选考题：共10 分请考生在第22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22.（本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为33,xktyt（t为参数），直线2l 的参数方程为33,xmykm（m 为参数）设1l 与2l 的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线1C（1）求1C 的普通方程；（2）设 Q为圆222:43Cxy上任意一点，求PQ 的最大值数学试题（第 17页 共17页）23.（本小题满分10 分）选修 45：不等式选讲已知0,0ab，2224abc（1）当1c时，求证：339abab；（2）求2224411abc的最小值