2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》.pdf

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1、2020 年中考数学一轮复习培优训练：三角形1点D为ABC外一点，ACB90，ACBC（1）如图 1，DCE90，CDCE，求证：ADCBEC；（2）如图 2，若CDB45，AEBD，CECD，求证：AEBD；（3）如图 3，若ADC15，CD，BDn，请直接用含n的式子表示AD的长2如图，ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点 以点D为中心旋转MDN（MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图所示），易证BM+CNBD（1）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CNBD是否仍然成立？若成立，

2、请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CNBD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明3如下图，在ABC中，ABBC，ADBC于点D，BEAC于点E，AD与BE交于点F，BHAB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H（1）在图 1 中，ABC 60，AF3 时，FC，BH；（2）在图 2 中，ABC 45，AF2 时，FC，BH；（3）从第（1）、（2）中你发现了什么规律？在图3 中，ABC30，AF 1 时，试猜想BH等于多少？并证明你的猜想4在图1、2 中，已知ABC12

3、0，BD2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE为边向上作等边DEF，使得点F在ABC内部，连接BF（1）如图 1，当BDBE时，EBF；（2）如图 2，当BDBE时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式5在ABC中，ACBC，点E是在AB边上一动点（不与A、B重合），连接CE，点P是直线CE上一个动点（1）如图 1，ACB120，AB16，E是AB中点，EM2，N是射线CB上一个动点试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小请你在图2 中画出点P和点N的位置，并简述画法：直接写出NP+MP的最小值（2）如图

4、3，ACB90，连接BP，BPC 75且BCBP求证：PCPA6探究题：如图，ABBC，射线CMBC，且BC5cm，AB1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DPAP交射线CM于点D，连结AD（1）如图 1，若BP4cm，则CD；（2）如图 2，若DP平分ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；（3）若PDC是等腰三角形，则CDcm（请直接写出答案）7综合与探究如图，在平面直角坐标系中，ABC90，ABBC，点A（2，0）、B（0，1）（1）在图中，点C坐标为；（2）如图，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，DBE 90，连接CE证明：ADCE；（

5、3）在图的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；（4）在y轴上找一点F，使ABF面积为 2请直接写出所有满足条件的点F的坐标8已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作APM，BPN，并连接BM，AN（）如图1，当PMAP，PNBP且APMBPN90时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（）如图2，当APM，BPN都是等边三角形时，（）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由（）在（）的条件下，连接AB得到图 3，当PN2PM时，求PAB度数9阅读下列材料，完成（1）（3）题：数学课上，老师出示了这

6、样一道题：如图 1，ABC中，ABAC，BAC90，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG探究线段DF和AG的关系某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：小明：“经过观察和度量，发现ABF和ACG相等”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系”老师：“若点E不是AC的中点，其他条件不变（如图2），可以求出的值”（1）求证：AFFG；（2）探究线段DF和AG的关系，并证明；（3）直接写出的值10在ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），

7、以AD为一边在AD的右侧作ADE，使ADAE，DAEBAC，连接CE（1）如图 1，当点D在线段BC上，如果BAC90，则BCE度；（2）如图 2，如果BAC60，则BCE度；（3）设BAC，BCE如图 3，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，请直接写出，之样的数量关系，不用证明11在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（mn）2+|m+n8|0，连接线段AB，点C为AB上一动点（1）填空：m，n；（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DCOC，连接AD若AOC的面积为2，求点D的坐标；（3）如图，B

8、COB，ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC求证：ACE为等腰直角三角形；BFEFOC12如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且BAC2BDO，BD与AC交于点F，过D作DMAC于点M（1）求证：ABDACD（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分CAE（3）在线段MC上取点G，使DGAD，求证：ABCG13如图（1），在四边形ABCD中，已知ABC+ADC180，ABAD，ABAD，点E在CD的延长线上，且BACDAE（1）求证：ACAE；（2）求证：CA平分BCD；（3）如图（2），设A

9、F是ABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系14如图 1，在ABC中，ABAC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作ADE，使ADAE，DAEBAC，连接CE设BAC，BCE（1）求证：CAEBAD；（2）探究：当点D在BC边上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图 2，若BAC90，CE与BA的延长线交于点F求证：EFDC15（1）如图 1，在ABC中，AD平分BAC交BC于D，DEAB于E，DFAC于F求证：DEDF，AEAF（2）如图 2，在（1）的情况下，如果MDNEDF，MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，

10、那么AM，AN，AF有怎样的数量关系？并加以证明（3）如图 3，在 RtABC中，C90，BAC60，AC6，AD平分BAC交BC于D，MDN120，NDAB，四边形AMDN的周长为（直接写答案）参考答案1（1）证明：DCEACB90，ACDBCE，又ACBC，CECD，ACDBCE（SAS），ADCBEC（2）如图 1，延长DC交AE于F，连BF，AEBD，EFCCDB45ECCD，CEFCFE45，ECCFACEBCF，ACBC，ACEBCF（SAS），AEBF，BFCAEC45FDB，BFBD，AEBD；（3）如图 2，过点C在CD上方作CECD，CECD，连BE、DE设AD、BE交于点

11、O，由（1）知ACDBCE（SAS），BECADC15，DOEDCE90又CEDCDE45，2，BED30，ODDE2 1，OB，ADBEOB+OE+2解：（1）结论BM+CNBD成立，理由如下：如图，过点D作DEAC交AB于E，ABC是等边三角形，ABC60，DEAC，BEDA60，BDEC60，BBEDBDE60，BDE是等边三角形，EDC120，BDBEDE，EDN+CDN120，EDM+EDNMDN 120，CDNEDM，D是BC边的中点，DEBDCD，在CDN和EDM中，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBM+EMBM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关

12、系为：BMCNBD；理由如下：如图，过点D作DEAC交AB于E，ABC是等边三角形，ABC60，NCD120，DEAC，BEDA60，BDEC60，BBEDBDE60，BDE是等边三角形，MEDEDC120，BDBEDE，NCDMED，EDM+CDM 120，CDN+CDMMDN 120，CDNEDM，D是BC边的中点，DEBDCD，在CDN和EDM中，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBMEMBMCN，BMCNBD3解：（1）如图连接CF，ADBC，BEAC，CFAB，BHAB，CFBH，CBHBCF，点M是BC的中点，BMMC，在BMH和CMF中，BMHCMF（ASA），BHCF，

13、ABBC，BEAC，BE垂直平分AC，AFCF，BHAF，AFCFBH3，故答案为：3，3；（2）如图，连接CF，ADBC，BEAC，CFAB，BHAB，CFBH，CBHBCF，点M是BC的中点，BMMC，在BMH和CMF中，BMHCMF（ASA），BHCF，ABBC，BEAC，BE垂直平分AC，AFCF，BHAF，AFCFBH2，故答案为：2，2；（3）从第（1）、（2）中发现AFCFBH；猜想BH1，理由如下：如图，连接CF，ADBC，BEAC，CFAB，BHAB，CFBH，CBHBCF，点M是BC的中点，BMMC，在BMH和CMF中，BMHCMF（ASA），BHCF，ABBC，BEAC，

14、BE垂直平分AC，AFCF，BHAF，AFCFBH14解：（1）DEF是等边三角形，DFEFDE，DFE60，BDBE，DFEF，BFBF，DBFEBF（SSS）DBFEBF，且DBF+EBF120，EBF60，故答案为：60；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，过点F作FGBC，FHAB，DFE60，ABC 120，FDB+FEB 180，且FEB+FEG180，FDBFEG，且FHDFGE90，FDEF，FDHFEG（AAS）FHFG，且FGBC，FHAB，ABFFBE60；（3）由（2）可知：FDHFEG，DHEG，BD+BEBH+DH+BEBH+BG，ABFFBE60，FGBC，FH

15、AB，BFHBFG30，BF2BH2BG，BFBH+BGBD+BE5解：（1）如图 2 所示：作点M关于CE的对称点M，过点M 作MNBC，垂足为N，交EC于点P，点M与点M 关于EC对称，MPMP，NP+MPNP+MP，点N，点P，点M 三点共线，且MNBC时，NP+MP的值最小；故答案为：作点M关于CE的对称点M，过点M 作MNBC，垂足为N，交EC于点P；ACB120，BCCA，AB16，E是AB中点，B30，BEAE8，且EM2，BM 10，B30，MNBC，MN 5，NP+MP的最小值为5，故答案为：5；（2）如图 3，在BE上截取EFPE，BPC75，BCBP，BCPBPC75，C

16、BP30，ACB90，ACCB，CBACAB45，ABP15，BPCPBE+BEP 75，BEP60，且EFPE，PEF是等边三角形，PEPFEF，FPE60PFE，PFEPBE+BPF，PEFBAC+ACE，BPFBAC45，ACEPBF 15，且BPBCAC，BPFCAP（ASA）PFAE，PEAE，PEA180BEP120，EPAPAE30，EPAPCA+PAC 30，PCAPAC15，PCPA6解：（1）BC5cm，BP4cm，PC1cm，ABPC，DPAP，APD90，APB+CPD 90，APB+CPD 90，APB+BAP 90，BAPCPD，在ABP和PCD中，ABPPCD，B

17、PCD 4cm；（2）PBPC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，DP平分ADC，ADPEDPDPAP，DPADPE90，在DPA和DPE中，DPADPE（ASA），PAPEABBP，CMCP，ABPECPRt在APB和EPC中，APBEPC（AAS），PBPC；（3）PDC是等腰三角形，PCD为等腰直角三角形，即DPC45，又DPAP，APB45，BPAB 1cm，P CBCBP4cm，CDCP 4cm，故答案为：47（1）解：如图中，作CHy轴于HA（2，0），B（0，1），OA2，OB1，CHBAOBABC90，ABO+OAB 90，ABO+CBH 90，CBHOAB，ABBC，

18、AOBBHC（AAS），CHOB 1，OABH2，OHOB+BH3，C（1，3）故答案为（1，3）（2）证明：如图中，DBE，ABC都是等腰直角三角形，DBEABC90，BDBE，BABC，DBAEBC，DBAEBC（SAS），ECAD（3）解：如图中，设CD交AB于JDBAEBC，C，E，D共线，BCDBAD，BCD+CJB 90，CJBAJD，BAD+AJD90，ADJ90，CDOA，C（1，3），OD1（4）解：设F（0，m）由题意：?|m1|?22，m3 或 1，F（0，3）或（0，1）8解：（）结论：BMAN，BMA N理由：如图1 中，MPAP，APMBPN90，PBPN，MBPA

19、NP（SAS），MBAN延长MB交AN于点CMBPANP，PANPMB，PAN+PNA 90，PMB+PNA 90，MCN180PMBPNA90，BMAN（）结论成立理由：如图2 中，APM，BPN，都是等边三角形APMBPN60MPBAPN120，又PMPA，PBPN，MPBAPN（SAS）MBAN（）如图3 中，取PB的中点C，连接AC，ABAPM，PBN都是等边三角形APMBPN60，PBPN点C是PB的中点，且PN 2PM，PCPAPMPBPN，APC60，APC为等边三角形，PACPCA60，又CACB，CABABC30，PABPAC+CAB 909（1）证明：如图1 中，作AHAG

20、交BG于HBACHAG90，BAHCAG，BGCG，EABEGC90，AEBCEG，ABHACG，ABAC，ABHACG（ASA），AHAG，AFFG，HAG90，FHFG，AFFGFH（2）解：结论：AG2DF，DFAG理由：如图2 中，连接AD，DG，作DKBG于KBACBGC90，BDCD，DADGBC，DFDF，AFFG，DFADFG（SSS），ADFGDF，DFAG，DKCG，BDDC，BKKG，DKCG，AECE，AFECGE，AEFCEG，AEFCGE（AAS），AFCG 2DK，ADFGDF，AFDGFD135，AFK90，DFK45，DFDKAGAF，AG2DF（3）由（2）

21、可知：CG 2DK，DFDK，10解：（1）ABA C，BAC 90，ABCACB45，DAEBAC，BADCAE，且ABAC，ADAE，BADCAE（SAS）ABCACE45，BCEACB+ACE 90，故答案为：90；（2）BAC60，ABAC，ABC为等边三角形，ABDACB60，BACDAE，BADCAE，在ABD和ACE中，BADCAE，且ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），ABDACE60，BCEACE+ACB 60+60 120，故答案为：120（3）+180，理由：BACDAE，BACDACDAEDAC即BADCAE在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），BACEB

22、+ACBACE+ACBACE+ACB，B+ACB，+B+ACB180，+180如图 1：当点D在射线BC上时，+180，连接CE，BACDAE，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），ABDACE，在ABC中，BAC+B+ACB180，BAC+ACE+ACBBAC+BCE 180，即：BCE+BAC180，+180，如图 2：当点D在射线BC的反向延长线上时，连接BE，BACDAE，BADCAE，且ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），ABDACE，ABDACEACB+BCE，ABD+ABCACE+ABCACB+BCE+ABC180，BAC180ABCA CB，BACB

23、CE；综上所述：点D在直线BC上移动，+180或 11解：（1）（mn）2+|m+n8|0，mn4，故答案为：4，4；（2）如图 1，过点C作CHOA，CGOB，点A（0，4）和点B（4，0），OAOB 4，SABO 448，AOC的面积为2，AOCH4CH2，SBOC6OBCG4CG，CH1，CG3，点C（1，3），DCOC，点D（2，6）（3）OAOB4，AOB90，OABOBA45，BE平分ABO，EBOEBC，且BEBE，OBOC，OBECBE（SAS）EOBECB90，ACE90，且OAB45，CAEAEC45，ACCE，且ACE 90，ACE是等腰直角三角形；如图 2，作OM平分A

24、OB，交BE于点M，OM平分AOB，AOMBOM45，AOMBOMOABOBA，OBOC，BE平分ABO，ABO45，OBE22.5，BEOC，COBOCB67.5，AOC22.5 COM，AOCBOM，且OBOA，OABOBM，ACOOMB（ASA）BMOC，EFOMFO90，OFOF，AOCCOM，EFOMFO（ASA）EFFM，BFEFBFFMBMOC12（1）证明：B（1，0），C（1，0），OBOC 1，ODBC，BDCD，BDC2BDO，BAC2BDO，BDCBAC，BAC+ABDAFDBDC+ACD，ABDACD（2）作DNAE，垂足为NDMAC于点M，DNBDMC90，在DNB

25、和DMC中，DNBDMC（AAS），DNDM，又DNAE于N，DMAC于点M，AD平分CAE（3）DGAD，DAGDGA，AD平分CAE，DAGDAEDGADAEDAE+DABDGA+DGC180，DABDGC，在DAB和DGC中，DABDGC（AAS）ABCG13（1）证明：如图（1），ABC+ADC180，ADE+ADC180，ABCADE，在ABC与ADE中，ABC ADE（ASA）ACAE（2）证明：如图（1），ABCADE，ACAE，BCAE，ACDE，BCAEACD，即CA平分BCD；（3）解：EC2AF证明如下：如图（2），过点A作AMCE，垂足为M，AMCD，AFCF，BCAA

26、CD，AFAM，又BACDAE，CAECAD+DAECAD+BACBAD90，ACAE，CAE90，ACEAEC45，AMCE，ACECAMMAEE45，CMAMME，又AFAM，EC2AF14（1）证明：DAEBAC，DAEDACBACDAC，CAEBADADAE，ACAB，CAEBAD（SAS）（2）解：+180，理由如下：由CAEBAD，ACEBABAC，BACBACEBACBBCE 2B，在ABC中，BAC 180 2B+180（3）证明：由（1）知，CAEBAD，CEBDBAC90，ABAC，BACB45，由（2）得，BCF+BAC180BCF90FB45，CFCBCFCECBBDE

27、FDC15（1）证明：AD平分BAC，BADCAD，DEAB，DFAC，AEDAFD90，在ADE和ADF中，ADEADF（AAS），DEDF，AEAF；（2）解：AM+AN2AF；证明如下：由（1）得DEDF，MDNEDF，MDENDF，在MDE和NDF中，MDENDF（ASA），MENF，AM+AN（AE+ME）+（AFNF）AE+AF2AF；（3）解：过点D作DEAB于E，由（2）可知AM+AN 2AC2612，BAC60，AD平分BAC交BC于D，BADCAD30，NDAB，ADNBAD30，CADADN，ANDN，在 RtCDN中，DN2CN，AC6，DNAN64，BAC60，MDN 120，CDEMDN，DMDN 4，四边形AMDN的周长 12+4220故答案为：20