2021年中考数学复习题考点36：相似三角形.pdf

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1、第 1 页 共 47 页2021 年中考数学复习题：考点36 相似三角形一选择题（共28小题）1（重庆）制作一块3m2m 长方形广告牌的成本是120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A360 元B720 元C1080 元 D2160 元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可【解答】解：3m2m=6m2，长方形广告牌的成本是1206=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3 倍，则面积扩大为原来的9 倍，扩大后长方形广告牌的面积=96=54m2，

2、扩大后长方形广告牌的成本是5420=1080m2，故选：C2（玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A：B2：3 C4：9 D8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可【解答】解：两三角形的相似比是2：3，其面积之比是 4：9，故选：C3（重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A3cm B4cm C 4.5cm D5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：=，第 2 页 共 47 页解

3、得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C4（内江）已知 ABC与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC与A1B1C1的面积比为（）A1：1 B1：3 C1：6 D1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可【解答】解：已知 ABC与A1B1C1相似，且相似比为1：3，则ABC与A1B1C1的面积比为 1：9，故选：D5（铜仁市）已知 ABC DEF，相似比为 2，且ABC的面积为 16，则DEF的面积为（）A32 B8 C 4 D16【分析】由ABC DEF，相似比为 2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得 ABC与DEF的面积比为

4、 4，又由 ABC的面积为 16，即可求得DEF的面积【解答】解：ABC DEF，相似比为 2，ABC与DEF的面积比为 4，ABC的面积为 16，DEF的面积为：16=4故选：C6（2017?重庆）已知 ABC DEF，且相似比为1：2，则 ABC与DEF的面积比为（）A1：4 B4：1 C1：2 D2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可【解答】解：ABC DEF，且相似比为 1：2，第 3 页 共 47 页ABC与DEF的面积比为 1：4，故选：A7（临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABC D【分析】根据正方形的性

5、质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=180 45=135，A、C、D图形中的钝角都不等于135，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形 B中的边长分别为1 和，=，图 B中的三角形（阴影部分）与ABC相似，故选：B8（广东）在 ABC中，点 D、E分别为边 AB、AC的中点，则 ADE与ABC的面积之比为（）ABC D【分析】由点 D、E分别为边 AB、AC的中点，可得出 DE为ABC的中位线，进而可得出 DE BC及ADE ABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE与ABC的面积之比【解答】解：点D、E分别为边 AB、AC的中点，DE为

6、ABC的中位线，DE BC，第 4 页 共 47 页ADE ABC，=（）2=故选：C9（自贡）如图，在 ABC中，点 D、E分别是 AB、AC的中点，若 ADE的面积为 4，则 ABC的面积为（）A8 B12 C 14 D16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：在 ABC中，点 D、E分别是 AB、AC的中点，DE BC，DE=BC，ADE ABC，=，=，ADE的面积为 4，ABC的面积为：16，故选：D10（崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点 E在边 DC上，DE：EC=3：1，连接 AE交 BD于点 F，则

7、 DEF的面积与 BAF的面积之比为（）第 5 页 共 47 页A3：4 B9：16 C9：1 D3：1【分析】可证明 DFE BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，DC AB，DFE BFA，DE：EC=3：1，DE：DC=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16故选：B11（随州）如图，平行于 BC的直线 DE把 ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A1 BC 1 D【分析】由 DEBC可得出 ADE ABC，利用相似三角形的性质结合SADE=S四边形BCED，可得出=，结合 BD=AB AD即可求出的值，此

8、题得解【解答】解：DE BC，第 6 页 共 47 页ADE=B，AED=C，ADE ABC，（）2=SADE=S四边形BCED，=，=1故选：C12（哈尔滨）如图，在 ABC中，点 D 在 BC边上，连接 AD，点 G在线段 AD上，GE BD，且交 AB于点 E，GF AC，且交 CD于点 F，则下列结论一定正确的是（）A=B=C=D=【分析】由 GE BD、GF AC可得出 AEG ABD、DFG DCA，根据相似三角形的性质即可找出=，此题得解【解答】解：GE BD，GF AC，AEG ABD，DFG DCA，=，=，=故选：D13（遵义）如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC=90

9、 ，AB=5，BC=10，连接 AC、BD，以 BD为直径的圆交 AC于点 E若 DE=3，则 AD的长为（）第 7 页 共 47 页A5 B4 C 3 D2【分析】先求出AC，进而判断出 ADF CAB，即可设 DF=x，AD=x，利用勾股定理求出 BD，再判断出 DEF DBA，得出比例式建立方程即可得出结论【解答】解：如图，在RtABC中，AB=5，BC=10，AC=5过点 D 作 DFAC于 F，AFD=CBA，ADBC，DAF=ACB，ADF CAB，设 DF=x，则 AD=x，在 RtABD中，BD=，DEF=DBA，DFE=DAB=90 ，DEF DBA，x=2，AD=x=2，故

10、选：D第 8 页 共 47 页14（扬州）如图，点A 在线段 BD上，在 BD的同侧作等腰 RtABC和等腰 RtADE，CD与 BE、AE分别交于点 P，M对于下列结论：BAE CAD；MP?MD=MA?ME；2CB2=CP?CM 其中正确的是（）ABCD【分析】（1）由等腰 RtABC和等腰 RtADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明PAMEMD即可；（3）2CB2转化为 AC2，证明 ACP MCA，问题可证【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AEBAC=EADBAE=CADBAE CAD所以正确BAE CADBEA=CDAPME=AMDPME AMDMP?MD=MA?

11、ME所以正确第 9 页 共 47 页BEA=CDAPME=AMDP、E、D、A 四点共圆APD=EAD=90 CAE=180 BAC EAD=90 CAP CMAAC2=CP?CMAC=AB2CB2=CP?CM所以正确故选：A15（贵港）如图，在 ABC中，EF BC，AB=3AE，若 S四边形BCFE=16，则 SABC=（）A16 B18 C 20 D24【分析】由 EF BC，可证明 AEF ABC，利用相似三角形的性质即可求出则SABC的值【解答】解：EF BC，AEF ABC，AB=3AE，AE：AB=1：3，SAEF：SABC=1：9，设 SAEF=x，S四边形BCFE=16，=，

12、第 10 页 共 47 页解得：x=2，SABC=18，故选：B16（孝感）如图，ABC是等边三角形，ABD是等腰直角三角形，BAD=90 ，AEBD于点 E，连 CD分别交 AE，AB于点 F，G，过点 A 作 AHCD交 BD于点H则下列结论：ADC=15 ；AF=AG；AH=DF；AFG CBG；AF=（1）EF 其中正确结论的个数为（）A5 B4 C 3 D2【分析】由等边三角形与等腰直角三角形知CAD 是等腰三角形且顶角CAD=150 ，据此可判断；求出 AFP和FAG度数，从而得出 AGF度数，据此可判断；证 ADF BAH即可判断；由 AFG=CBG=60 、AGF=CGB即可得

13、证；设PF=x，则 AF=2x、AP=x，设 EF=a，由 ADF BAH知 BH=AF=2x，根据 ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出 EH=a，证PAF EAH得=，从而得出 a 与 x 的关系即可判断【解答】解：ABC为等边三角形，ABD为等腰直角三角形，BAC=60 、BAD=90 、AC=AB=AD，ADB=ABD=45 ，CAD是等腰三角形，且顶角CAD=150 ，ADC=15 ，故正确；AE BD，即 AED=90 ，DAE=45 ，AFG=ADC+DAE=60 ，FAG=45 ，第 11 页 共 47 页AGF=75 ，由AFG AGF知 AF AG，故错误

14、；记 AH与 CD的交点为 P，由 AHCD且AFG=60 知FAP=30 ，则BAH=ADC=15 ，在ADF和BAH中，ADF BAH（ASA），DF=AH，故正确；AFG=CBG=60 ，AGF=CGB，AFG CBG，故正确；在 RtAPF中，设 PF=x，则 AF=2x、AP=x，设 EF=a，ADF BAH，BH=AF=2x，ABE中，AEB=90 、ABE=45 ，BE=AE=AF+EF=a+2x，EH=BE BH=a+2x2x=a，APF=AEH=90 ，FAP=HAE，PAF EAH，=，即=，第 12 页 共 47 页整理，得：2x2=（1）ax，由 x0 得 2x=（1）

15、a，即 AF=（1）EF，故正确；故选：B17（泸州）如图，正方形ABCD中，E，F 分别在边 AD，CD上，AF，BE相交于点 G，若 AE=3ED，DF=CF，则的值是（）ABC D【分析】如图作，FNAD，交 AB于 N，交 BE于 M设 DE=a，则 AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FNAD，交 AB于 N，交 BE于 M四边形 ABCD是正方形，ABCD，FNAD，四边形 ANFD是平行四边形，D=90 ，四边形 ANFD是解析式，AE=3DE，设 DE=a，则 AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，AN=BN，MNAE，

16、BM=ME，MN=a，第 13 页 共 47 页FM=a，AE FM，=，故选：C18（临安区）如图，在 ABC中，DE BC，DE分别与 AB，AC相交于点 D，E，若 AD=4，DB=2，则 DE：BC的值为（）ABC D【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可【解答】解：DE BC，ADE ABC，=故选：A19（恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为 CD边中点，连接 AG并延长交 BC边的延长线于 E点，对角线 BD交 AG于 F点已知 FG=2，则线段 AE的长度为（）第 14 页 共 47 页A6 B

17、8 C 10 D12【分析】根据正方形的性质可得出ABCD，进而可得出 ABF GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合 FG=2可求出 AF、AG的长度，由 CG AB、AB=2CG可得出 CG为EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解【解答】解：四边形ABCD为正方形，AB=CD，ABCD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABF GDF，=2，AF=2GF=4，AG=6 CG AB，AB=2CG，CG为EAB的中位线，AE=2AG=12 故选：D20（杭州）如图，在 ABC中，点 D 在 AB边上，DE BC，与边 AC交于点 E，连结 BE记 ADE，BCE

18、的面积分别为 S1，S2（）A若 2ADAB，则 3S12S2B若 2ADAB，则 3S12S2第 15 页 共 47 页C若 2ADAB，则 3S12S2D若 2ADAB，则 3S12S2【分析】根据题意判定ADE ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答【解答】解：如图，在ABC中，DEBC，ADE ABC，=（）2，若 2ADAB，即时，此时 3S1S2+SBDE，而 S2+SBDE2S2但是不能确定 3S1与 2S2的大小，故选项 A 不符合题意，选项B 不符合题意若 2ADAB，即时，此时 3S1S2+SBDE2S2，故选项 C不符合题意，选项D 符合题意故选：D21（永州

19、）如图，在 ABC中，点 D是边 AB上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边 AC的长为（）A2 B4 C 6 D8【分析】只要证明 ADC ACB，可得=，即 AC2=AD?AB，由此即可解决问题；第 16 页 共 47 页【解答】解：A=A，ADC=ACB，ADC ACB，=，AC2=AD?AB=2 8=16，AC 0，AC=4，故选：B22（香坊区）如图，点D、E、F 分别是 ABC的边 AB、AC、BC 上的点，若DEBC，EF AB，则下列比例式一定成立的是（）A=B=C=D=【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论【解答】解：DE BC，DE BC

20、，ADE ABC，EF AB，EF AB，CEF CAB，DE BC，EF AB，四边形 BDEF是平行四边形，第 17 页 共 47 页DE=BF，EF=BD，正确，故选：C23（荆门）如图，四边形 ABCD为平行四边形，E、F为 CD边的两个三等分点，连接 AF、BE交于点 G，则 SEFG：SABG=（）A1：3 B3：1 C1：9 D9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB，CD AB，DE=EF=FC，EF：AB=1：3，EFG BAG，=（）2=，故选：C24（达州）如图，E，F是平行四边形 ABCD对

21、角线 AC上两点，AE=CF=AC 连接 DE，DF并延长，分别交 AB，BC于点 G，H，连接 GH，则的值为（）第 18 页 共 47 页ABC D1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GHAC，推出 BGH BAC，可得=（）2=（）2=，=，由此即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是平行四边形AD=BC，DC=AB，AC=CA，ADC CBA，SADC=SABC，AE=CF=AC，AGCD，CH AD，AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，AG：AB=CH：BC=1：3，GH AC，BGH BAC，=（）2=（）2=，=，=，故选：C25（

22、南充）如图，正方形ABCD的边长为 2，P为 CD的中点，连结 AP，过点 B作 BE AP于点 E，延长 CE交 AD于点 F，过点 C作 CH BE于点 G，交 AB于点第 19 页 共 47 页H，连接 HF下列结论正确的是（）ACE=BEF=CcosCEP=DHF2=EF?CF【分析】首先证明BH=AH，推出 EG=BG，推出 CE=CB，再证明 CEH CBH，RtHFE RtHFA，利用全等三角形的性质即可一一判断【解答】解：连接EH四边形 ABCD是正方形，CD=AB BC=AD=2，CD AB，BE AP，CHBE，CH PA，四边形 CPAH是平行四边形，CP=AH，CP=P

23、D=1，AH=PC=1，AH=BH，在 RtABE中，AH=HB，EH=HB，HC BE，BG=EG，CB=CE=2，故选项 A 错误，CH=CH，CB=CE，HB=HE，ABC CEH，第 20 页 共 47 页CBH=CEH=90 ，HF=HF，HE=HA，RtHFE RtHFA，AF=EF，设 EF=AF=x，在 RtCDF中，有 22+（2x）2=（2+x）2，x=，EF=，故 B错误，PA CH，CEP=ECH=BCH，cosCEP=cos BCH=，故 C错误HF=，EF=，FC=HF2=EF?FC，故 D正确，故选：D26（临沂）如图利用标杆BE测量建筑物的高度已知标杆BE高 1

24、.2m，测得 AB=1.6mBC=12.4m 则建筑物 CD的高是（）A9.3m B10.5m C12.4m D14m【分析】先证明 ABE ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可【解答】解：EB CD，ABE ACD，=，即=，CD=10.5（米）故选：B第 21 页 共 47 页27（长春）孙子算经 是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10尺，1

25、 尺=10 寸），则竹竿的长为（）A五丈B四丈五尺C一丈D五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【解答】解：设竹竿的长度为x 尺，竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，解得 x=45（尺）故选：B28（绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕 O 点旋转到 AC位置，已知 ABBD，CD BD，垂足分别为 B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆 C端应下降的垂直距离CD为（）A0.2m B0.3m C0.4m D0.5m【分析】由ABO=CDO=90 、AOB=COD知ABO CDO，据此得=，将已知数据代入即可得【

26、解答】解：ABBD，CD BD，ABO=CDO=90 ，第 22 页 共 47 页又 AOB=COD，ABO CDO，则=，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，=，解得：CD=0.4，故选：C二填空题（共7 小题）29（邵阳）如图所示，点E是平行四边形 ABCD的边 BC延长线上一点，连接AE，交 CD于点 F，连接 BF 写出图中任意一对相似三角形：ADF ECF【分析】利用平行四边形的性质得到ADCE，则根据相似三角形的判定方法可判断 ADF ECF【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ADCE，ADF ECF 故答案为 ADF ECF 30（北京）如图，在矩形ABCD中，E是边 A

27、B的中点，连接 DE交对角线 AC于点 F，若 AB=4，AD=3，则 CF的长为【分析】根据矩形的性质可得出ABCD，进而可得出 FAE=FCD，结合 AFE=第 23 页 共 47 页CFD（对顶角相等）可得出AFE CFD，利用相似三角形的性质可得出=2，利用勾股定理可求出AC 的长度，再结合CF=?AC，即可求出CF的长【解答】解：四边形ABCD为矩形，AB=CD，AD=BC，ABCD，FAE=FCD，又 AFE=CFD，AFE CFD，=2AC=5，CF=?AC=5=故答案为：31（包头）如图，在?ABCD中，AC是一条对角线，EF BC，且 EF与 AB相交于点 E，与 AC相交于

28、点 F，3AE=2EB，连接 DF 若 SAEF=1，则 SADF的值为【分析】由 3AE=2EB可设 AE=2a、BE=3a，根据 EF BC得=（）2=，结合 SAEF=1知 SADC=SABC=，再由=知=，继而根据 SADF=SADC可得答案【解答】解：3AE=2EB，第 24 页 共 47 页可设 AE=2a、BE=3a，EF BC，AEF ABC，=（）2=（）2=，SAEF=1，SABC=，四边形 ABCD是平行四边形，SADC=SABC=，EF BC，=，=，SADF=SADC=，故答案为：32（资阳）已知：如图，ABC的面积为 12，点 D、E分别是边 AB、AC的中点，则四

29、边形 BCED的面积为9【分析】设四边形 BCED 的面积为 x，则 SADE=12x，由题意知 DEBC且 DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于 x 的方程，解之可得【解答】解：设四边形BCED的面积为 x，则 SADE=12x，点 D、E分别是边 AB、AC的中点，DE是ABC的中位线，第 25 页 共 47 页DE BC，且 DE=BC，ADE ABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形 BCED的面积为 9，故答案为：933（泰安）九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话

30、说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H 位于 GD的中点，南门 K位于 ED的中点，出东门15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木（即点D 在直线 AC上）？请你计算 KC的长为步【分析】证明 CDK DAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出 CK的长【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，AHDK，CDK=A，而CKD=AHD，CDK DAH，=，即=，第 26 页 共 47 页CK=答：KC的长为步故答案为34（岳阳）九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二

31、步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE BC，则 ADE ACB，列比例式可得结论；如图 2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值【解答】解：如图1，四边形 CDEF 是正方形，CD=ED，DE CF，设 ED=x，则 CD=x，AD=12x，DE CF，ADE=C，AED=B，ADE ACB，第 27 页 共 47 页，x=，如图 2，四边形 DGFE是正方形，过 C作 CP AB于 P，交 DG于 Q，设 ED=x，SA

32、BC=AC?BC=AB?CP，125=13CP，CP=，同理得：CDG CAB，x=，该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：第 28 页 共 47 页35（吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与 BC相交于点 D，B=C=90，测得 BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽 AB=100m【分析】由两角对应相等可得BAD CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB【解答】解：ADB=EDC，ABC=ECD=90 ，ABD ECD，解得：AB=（米）故答案为：100三解答题（共15小题）36（张家界）如图，点 P是O的直径 AB延长线上一点，且 AB=4，点 M

33、 为上一个动点（不与A，B重合），射线 PM 与O交于点 N（不与 M 重合）（1）当 M 在什么位置时，MAB 的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：PAN PMB【分析】（1）当 M 在弧 AB中点时，三角形 MAB 面积最大，此时OM 与 AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得第 29 页 共 47 页证【解答】解：（1）当点 M 在的中点处时，MAB 面积最大，此时 OMAB，OM=AB=4=2，SABM=AB?OM=42=4；（2）PMB=PAN，P=P，PAN PMB37（株洲）如图，在 RtABM 和 R

34、tADN的斜边分别为正方形的边AB和 AD，其中 AM=AN（1）求证：RtABMRtAND；（2）线段 MN 与线段 AD相交于 T，若 AT=，求 tanABM 的值【分析】（1）利用 HL证明即可；（2）想办法证明 DNTAMT，可得由 AT=，推出，在 RtABM 中，tanABM=【解答】解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90 RtABMRtAND（HL）（2）由 RtABMRtAND易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=90；DAN+ADN=90 DAM=ANDNDAMDNT AMT第 30 页 共 47 页AT=，RtABMtanABM=38（大庆）如图

35、，AB是O 的直径，点 E为线段 OB上一点（不与 O，B重合），作 EC OB，交O于点 C，作直径 CD，过点 C的切线交 DB的延长线于点 P，作AFPC于点 F，连接 CB（1）求证：AC平分 FAB；（2）求证：BC2=CE?CP；（3）当 AB=4且=时，求劣弧的长度【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明 CBE CPB，可得=解决问题；（3）作 BMPF于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出 tanBCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：AB是直径，ACB=90 ，BCP+ACF=90

36、 ，ACE+BCE=90 ，BCP=BCE，ACF=ACE，即 AC平分 FAB（2）证明：OC=OB，OCB=OBC，第 31 页 共 47 页PF是O的切线，CE AB，OCP=CEB=90 ，PCB+OCB=90 ，BCE+OBC=90 ，BCE=BCP，CD是直径，CBD=CBP=90 ，CBE CPB，=，BC2=CE?CP；（3）解：作 BMPF于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，MCB+P=90 ，P+PBM=90，MCB=PBM，CD是直径，BMPC，CMB=BMP=90，BMC PMB，=，BM2=CM?PM=3a2，BM=a，tan

37、BCM=，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60 ，BOD=120 的长=第 32 页 共 47 页39（江西）如图，在 ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD AB，BD是ABC的平分线，BD交 AC于点 E，求 AE的长【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D=CBD，求出 BC=CD=4，证AEB CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案【解答】解：BD为ABC的平分线，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABE CDE，=，=，AE=2CE，AC=6=AE+CE，AE=4 40（上海）已知：如图，正方形AB

38、CD中，P 是边 BC上一点，BE AP，DFAP，垂足分别是点 E、F（1）求证：EF=AE BE；（2）联结 BF，如课=求证：EF=EP 第 33 页 共 47 页【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，BAD=90 ，根据等角的余角相等得到 1=3，则可判断 ABE DAF，则 BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和 AF=BE得到=，则可判定 RtBEF RtDFA，所以4=3，再证明 4=5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP【解答】证明：（1）四边形 ABCD为正方形，AB=AD，BAD=90 ，BE AP，DF AP，BEA=AFD=90 ，1+2=

39、90，2+3=90，1=3，在ABE和DAF中，ABE DAF，BE=AF，EF=AE AF=AE BE；（2）如图，=，而 AF=BE，=，=，RtBEF RtDFA，4=3，第 34 页 共 47 页而1=3，4=1，5=1，4=5，即 BE平分 FBP，而 BE EP，EF=EP 41（东营）如图，CD是O 的切线，点 C在直径 AB的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若 BD=AD，AC=3，求 CD的长【分析】（1）连接 OD，由 OB=OD可得出 OBD=ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180，利用等角的余角相等，即可证出CAD=BDC；（2）由C=C、CAD=

40、CDB可得出 CDB CAD，根据相似三角形的性质结合 BD=AD、AC=3，即可求出 CD的长【解答】（1）证明：连接 OD，如图所示OB=OD，OBD=ODBCD是O的切线，OD 是O的半径，ODB+BDC=90 第 35 页 共 47 页AB是O 的直径，ADB=90 ，OBD+CAD=90 ，CAD=BDC（2）解：C=C，CAD=CDB，CDB CAD，=BD=AD，=，=，又AC=3，CD=2 42（南京）如图，在正方形ABCD中，E是 AB上一点，连接 DE 过点 A 作 AFDE，垂足为 F，O 经过点 C、D、F，与 AD相交于点 G（1）求证：AFG DFC；（2）若正方形

41、 ABCD的边长为 4，AE=1，求 O的半径【分析】（1）欲证明 AFG DFC，只要证明 FAG=FDC，AGF=FCD；（2）首先证明 CG是直径，求出 CG即可解决问题；第 36 页 共 47 页【解答】（1）证明：在正方形 ABCD中，ADC=90 ，CDF+ADF=90 ，AF DE，AFD=90 ，DAF+ADF=90 ，DAF=CDF，四边形 GFCD是O的内接四边形，FCD+DGF=180 ，FGA+DGF=180 ，FGA=FCD，AFG DFC（2）解：如图，连接CG EAD=AFD=90 ，EDA=ADF，EDA ADF，=，即=，AFG DFC，=，=，在正方形 AB

42、CD中，DA=DC，AG=EA=1，DG=DA AG=4 1=3，CG=5，CDG=90 ，CG是O的直径，O的半径为第 37 页 共 47 页43（滨州）如图，AB 为O 的直径，点 C在O 上，ADCD于点 D，且 AC平分 DAB，求证：（1）直线 DC是O 的切线；（2）AC2=2AD?AO【分析】（1）连接 OC，由 OA=OC、AC平分 DAB知OAC=OCA=DAC，据此知 OC AD，根据 ADDC即可得证；（2）连接 BC，证 DAC CAB即可得【解答】解：（1）如图，连接 OC，OA=OC，OAC=OCA，AC平分 DAB，OAC=DAC，DAC=OCA，OC AD，又A

43、DCD，OC DC，第 38 页 共 47 页DC是O的切线；（2）连接 BC，AB为O 的直径，AB=2AO，ACB=90 ，ADDC，ADC=ACB=90 ，又 DAC=CAB，DAC CAB，=，即 AC2=AB?AD，AB=2AO，AC2=2AD?AO 44（十堰）如图，ABC中，AB=AC，以 AB为直径的 O交 BC于点 D，交 AC于点 E，过点 D 作 FG AC于点 F，交 AB的延长线于点 G（1）求证：FG是O的切线；（2）若 tanC=2，求的值【分析】（1）欲证明 FG是O 的切线，只要证明 ODFG；（2）由 GDB GAD，设 BG=a 可得=，推出 DG=2a，

44、AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接 AD、OD第 39 页 共 47 页AB是直径，ADB=90 ，即 ADBC，AC=AB，CD=BD，OA=OB，ODAC，DF AC，ODDF，FG是O的切线（2）解：tanC=2，BD=CD，BD：AD=1：2，GDB+ODB=90 ，ADO+ODB=90，OA=OD，OAD=ODA，GDB=GAD，G=G，GDB GAD，设 BG=a=，DG=2a，AG=4a，BG：GA=1：445（杭州）如图，在 ABC中，AB=AC，AD为 BC边上的中线，DE AB于点 E第 40 页 共 47 页（1）求证：BDE CAD（2）若 AB=1

45、3，BC=10，求线段 DE的长【分析】（1）想办法证明 B=C，DEB=ADC=90 即可解决问题；（2）利用面积法：?AD?BD=?AB?DE求解即可；【解答】解：（1）AB=AC，BD=CD，ADBC，B=C，DE AB，DEB=ADC，BDE CAD（2）AB=AC，BD=CD，ADBC，在 RtADB中，AD=12，?AD?BD=?AB?DE，DE=46（烟台）如图，已知D，E 分别为 ABC的边 AB，BC上两点，点 A，C，E在D 上，点 B，D 在E上F 为上一点，连接 FE并延长交 AC的延长线于点 N，交 AB于点 M第 41 页 共 47 页（1）若 EBD为 ，请将 C

46、AD用含 的代数式表示；（2）若 EM=MB，请说明当 CAD为多少度时，直线EF为D 的切线；（3）在（2）的条件下，若 AD=，求的值【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：EDB=EBD=，CAD=ACD，DCE=DEC=2 ，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设 MBE=x，同理得：EMB=MBE=x，根据切线的性质知：DEF=90 ，所以 CED+MEB=90，同理根据三角形内角和定理可得CAD=45 ；（3）由（2）得：CAD=45 ；根据（1）的结论计算 MBE=30，证明 CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求 EM=1，MF=EF EM=1，根据

47、三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论【解答】解：（1）连接 CD、DE，E中，ED=EB，EDB=EBD=，CED=EDB+EBD=2 ，D中，DC=DE=AD，CAD=ACD，DCE=DEC=2 ，ACB中，CAD+ACD+DCE+EBD=180 ，CAD=；（2）设 MBE=x，EM=MB，EMB=MBE=x，当 EF为D的切线时，DEF=90 ，CED+MEB=90，CED=DCE=90 x，ACB中，同理得，CAD+ACD+DCE+EBD=180 ，2CAD=180 90=90，第 42 页 共 47 页CAD=45 ；（3）由（2）得：CAD=45 ；由（

48、1）得：CAD=；MBE=30，CED=2 MBE=60，CD=DE，CDE是等边三角形，CD=CE=DE=EF=AD=，RtDEM中，EDM=30 ，DE=，EM=1，MF=EF EM=1，ACB中，NCB=45 +30=75，CNE中，CEN=BEF=30 ，CNE=75 ，CNE=NCB=75 ，EN=CE=，=2+47（陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB与河岸垂直，并在B 点竖起标杆 BC，再在 AB的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E与点 C、A 共线

49、已知：CB AD，ED AD，测得 BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽AB第 43 页 共 47 页【分析】由 BC DE，可得=，构建方程即可解决问题【解答】解：BC DE，ABC ADE，=，=，AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽 AB的长为 17 米48（济宁）如图，在正方形ABCD中，点 E，F分别是边 AD，BC的中点，连接DF，过点 E作 EH DF，垂足为 H，EH的延长线交 DC于点 G（1）猜想 DG与 CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点 H 作 MNCD，分别交 AD，BC于点 M，N，若

50、正方形 ABCD的边长为10，点 P是 MN 上一点，求 PDC周长的最小值【分析】（1）结论：CF=2DG 只要证明 DEG CDF即可；（2）作点 C关于 NM 的对称点 K，连接 DK交 MN 于点 P，连接 PC，此时 PDC的周长最短周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG 理由：四边形 ABCD是正方形，第 44 页 共 47 页AD=BC=CD=AB，ADC=C=90 ，DE=AE，AD=CD=2DE，EG DF，DHG=90，CDF+DGE=90 ，DGE+DEG=90 ，CDF=DEG，DEG CDF，=，CF=2DG