2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学含答案.pdf

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1、试卷类型：A 2012 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2012 4 本试卷共4 页，21 小题，满分150 分.考试用时120 分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原

2、来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i 为虚数单位，复数1zai,22zi,且12zz，则实数a的值为A2B2C2或2D2或02设集合,26,324,Ax yxyBx yxy满足CABI的集合C的个数为A1B2C3D43已知双曲线221xmy的虚轴长是实轴长的2 倍，则实数m

3、的值是A4B14C14D44已知等差数列na的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为A10B20C30D405.已知两条不同直线m、l，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是Aml，/l，/lBml，lI，mC/ml，m，lD/ml，l，m100S输出k1kk开始0,0kS2kSS结束否是图 1 6下列说法正确的是A函数1fxx在其定义域上是减函数B两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C命题“xR，210 xx”的否定是“xR，210 xx”D给定命题p、q，若pq是真命题，则p是假命题7阅读图1 的程序框图,该程序运行后输出的k的值为

4、A.5B.6C.7D.88.已知实数,a b满足22430aba，函数sincos1fxaxbx的最大值记为,a b，则,a b的最小值为A1B2C31D3二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分（一）必做题（913 题）9某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是.10612 xx展开式中的常数项是（用数字作答）.11.已知不等式21x的解集与不等式20 xaxb的解集相等,则ab的值为.12在平行四边形ABCD中

5、,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若(,EFmABnAD m nu uu ruuu ruuu rR),则mn的值为.13.已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点，2OP（点O为坐标原点），点1,0M，则cosOPM的取值范围是.（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC顶点A,B C按顺时针方向排列)的顶点,A B的极坐标分别为72,2,66，则顶点C的极坐标为.图3432211BA图2ODCBA15（几何证明选讲选做题）如图2，AB是圆O的直径，延长AB至C，使2BCOB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，

6、BD，则ADBD的值为.三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分12 分）已知函数sin0,03fxAxA在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为5,212，11,212.(1)求A和的值;(2)已知0,2,且4sin5,求f的值.17（本小题满分12 分）如图 3，,A B两点之间有6条网线连接，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设这三条网线通过的最大信息量之和为.(1)当6时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率;(2)求的分布列和数学期望.图4NMDCBAB

7、1C1D1A141图5侧（左）视图正（主）视图412218.（本小题满分14 分）.某建筑物的上半部分是多面体MNABCD,下半部分是长方体1111ABCDA B C D（如图 4）.该建筑物的正视图和侧视图如图5,其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.（1）求直线AM与平面1111A B C D所成角的正弦值；（2）求二面角AMNC的余弦值；（3）求该建筑物的体积.19（本小题满分14 分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C与抛物线22:4Cxy有一个相同的焦点1F，直线:2lyxm与抛物线2C只有一个公共点.（1）求直线l的方程；（2）若椭圆1

8、C经过直线l上的点P，当椭圆1C的的离心率取得最大值时，求椭圆1C的方程及点P的坐标.20（本小题满分14 分）已知函数21ln2fxxaxx，aR.（1）求函数fx的单调区间;（2）是否存在实数a，使得函数fx的极值大于0？若存在，,求a的取值范围；若不存在，说明理由.21（本小题满分14 分）已知函数fx的定义域为1,1，且112f，对任意,1,1x y，都有1xyfxfyfxy，数列na满足11221,(21nnnaaanaN*).(1)证明函数fx是奇函数;(2)求数列nfa的通项公式;(3)令12(nnaaaAnnLN*),证明:当2n时,1112nniiiinaA.2012 年广州

9、市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基

10、本运算共8 小题，每小题5 分，满分40 分二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题 5 分，满分30 分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题96010160111122132,121422 3,3152说明：第 14 题的答案可以是22 3,2(3kkZ).三、解答题：本大题共6小题，满分 80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分12 分）(本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解:函数fx的图象的最高点坐标为5

11、,212，2A.1 分依题意,得函数fx的周期11521212T，2 分22T.3 分(2)解:由(1)得2sin23fxx.4 分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B C A D D C B 0,2,且4sin5,23cos1 sin5.5 分24sin22sincos25,7 分27cos212sin25.9 分2sin23f 10 分2 sin 2coscos2sin33 11 分247 325.12 分17.（本小题满分12 分）(本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识,考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1)解:

12、从 6 条网线中随机任取三条网线共有3620C种情况.1 分1 1 41236,1122361164C CPC.2 分1242237,1122361174C CPC.3 分1342248,123613820CPC.4 分2349,12361910CPC.5 分P66789PPPP113134420104.答:线路信息畅通的概率为34.6 分(2)解:的取值为4,5,6,7,8,9.7 分1124,12361410CPC.8 分1131225,123613520CPC.9 分的的分布列为:10 分1311314567891020442010E 11 分6.5.12 分18.（本小题满分14 分）

13、(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)解法 1：（1）作MO平面ABCD，垂足为O，连接AO，则MAO是直线AM与平面ABCD所成的角.1 分由于平面ABCD/平面1111A B C D，故MAO是直线AM与平面1111A B C D所成的角.2 分作MPAB，垂足为P，连接PO，AB平面ABCD，MOAB.,MOMPM MOI平面MOP，MP平面MOP，AB平面MOP.3 分456789P1103201414320110Q1P1QPONMDCBAB1C1D1A1由题意知1

14、,MOPOAP12,4ADAA，在 Rt POM中，222PMPOMO，在 Rt APM中，223AMAPPM，在 Rt AOM中，13sin33MOMAOAM，直线AM与平面1111A B C D所成角的正弦值为33.5 分（2）延长PO交CD于点Q，连接MQ，由（1）知AB平面MOPMQ平面MOP，ABMQ./MNAB，,MNMP MNMQ.6 分PMQ是二面角AMNC的平面角.7 分在PMQ中，2,2MQMPPQ，2224MPMQPQ，90PMQ.8 分二面角AMNC的余弦值为0.9 分（3）作1/NPMP交AB于点1P，作1/NQMQ交CD于点1Q，由题意知多面体MNABCD可分割为两

15、个等体积的四棱锥MAPQD和11NP BCQ和一个直三棱柱11MPQNPQ.四棱锥MAPQD的体积为113VAP AD MOggg121 2 133，10 分直三棱柱11MPQNPQ的体积为211222222VMP MQ MNggg，11 分多面体MNABCD的体积为122VVV2102233.12 分Q1zyxOQPNMDCBAB1C1D1A1长方体1111ABCDA B C D的体积为3142432VAB BC AAgg.13 分建筑物的体积为31063VV.14 分解法 2：（1）以点D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，1D D所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz（如

16、图），作MO平面ABCD，垂足为O，作OPAB，垂足为P，依题意知1MOOPAP，12,4ADAA,则0,0,0,2,0,0,DA1,1,1,1,3,1MN，12,0,4A.1 分1,1,1AMu uu u r.2 分1AA平面1111A B C D，平面1111A B C D的一个法向量为10,0,4AAuu ur.3 分设直线AM与平面1111A B C D所成角为，则sin11AM AAAMAAuu uu r u uu rguu uu r u uu r43334.4 分直线AM与平面1111A B C D所成角的正弦值为33.5 分（2）由(1)知0,2,0,1,1,1MNDMu uu

17、u ru uu u r,设平面ABNM的法向量为1n,x y z，由1n0MNuuuu rg，1n0AMu uu u rg，得0,20.xyzy令1x，则1,0zy.平面ABNM的一个法向量为1n1,0,1.6 分设平面CDMN的法向量为2n,x y z，由2n0DMuu uu rg，2n0MNuuuu rg，得0,20.xyzy令1x，则1,0zy.平面CDMN的一个法向量为2n1,0,1.7 分1n g2n1 1 0110，平面ABNM平面CDMN.8 分二面角AMNC的余弦值为0.9 分（3）如图将多面体MNABCD补成一个直三棱柱1ADQBCQ，依题意知1112,1AQDQBQCQMQ

18、NQ，2AD,14AA,多面体MNABCD的体积等于直三棱柱1ADQBCQ的体积减去两个等体积的三棱锥MADQ和1NBCQ的体积.2224AQDQAD，90AQD.直三棱柱1ADQBCQ的体积为111224422VAQ DQ ABggg，10 分三棱锥MADQ的体积为2V1 11112213 2323AQ DQ MQg ggg.11 分多面体MNABCD的体积为V122102433VV.12 分长方体1111ABCDA B C D的体积为3142432VAB CD AAgg.13 分建筑物的体积为31063VV.14 分19.（本小题满分14 分）(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识,考查

19、数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)（1）解法 1：由22,4yxmxy消去y，得2840 xxm.1 分直线l与抛物线2C只有一个公共点，28440m，解得4m.3 分F1yxOPP0F2F1直线l的方程为24yx.4 分解法 2：设直线l与抛物线2C的公共点坐标为00,xy，由214yx，得12yx，直线l的斜率0012x xkyx.1 分依题意得0122x，解得04x.2 分把04x代入抛物线2C的方程，得04y.点00,xy在直线l上，424m，解得4m.3 分直线l的方程为24yx.4 分（2）解法 1：抛物线2C的焦点为10,1F，依题意

20、知椭圆1C的两个焦点的坐标为120,1,0,1FF.5 分设点10,1F关于直线l的对称点为100,Fxy，则0000121,124.22yxyx 7 分解得004,1.xy点14,1F.8 分直线l与直线12:1F Fy的交点为03,12P.9 分由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C的长轴长12122aPFPFPFPF124F F，11 分其中当点P与点0P重合时，上面不等式取等号.2a.112ea.故当2a时，max12e，12 分此时椭圆1C的方程为22143yx，点P的坐标为3,12.14 分解法 2：抛物线2C的焦点为10,1F，依题意知椭圆1C的两个焦点的坐标为120,1,0,1

21、FF.5 分设椭圆1C的方程为2222111yxaaa，6 分由222224,11yxyxaa消去y，得22222541611 160axaxaa.（*）7 分由222221614 541 160aaaa，8 分得425200aa.9 分解得24a.2a.10 分112ea.11 分当2a时，max12e，此时椭圆1C的方程为22143yx.12 分把2a代入方程（*），解得32x，1y.13 分点P的坐标为3,12.14 分20.（本小题满分14 分）(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识,考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算

22、求解能力)（1）解：函数fx的定义域为0,.1 分2111axxfxaxxx.2 分 当0a时，1xfxx，0,x0fx 函数fx单调递增区间为0,.3 分 当0a时，令0fx得210axxx，0,x210axx.14a.（）当0，即14a时，得210axx，故0fx，函数fx的单调递增区间为0,.4 分（）当0，即14a时，方程210axx的两个实根分别为11142axa，21142axa.5 分若104a，则120,0 xx，此时，当0,x时，0fx.函数fx的单调递增区间为0,，6 分若0a，则120,0 xx，此时，当20,xx时，0fx，当2,xx时，0,fx函数fx的单调递增区间为

23、1140,2aa，单调递减区间为114,2aa.7 分综上所述，当0a时，函数fx的单调递增区间为1140,2aa，单调递减区间为114,2aa；当0a时，函数fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间.8 分（2）解：由(1)得当0a时，函数fx在0,上单调递增，故函数fx无极值；9 分当0a时，函数fx的单调递增区间为1140,2aa，单调递减区间为114,2aa；则fx有极大值，其值为222221()ln2f xxaxx，其中21142axa.10 分而22210axx，即2221axx，2221()ln2xf xx.11 分设函数1()ln(0)2xh xxx，则11()02h xx，1

24、2 分则1()ln2xh xx在0,上为增函数.又(1)0h，则()0h x等价于1x.2()f x221ln2xx0等价于21x.13 分即在0a时，方程210axx的大根大于1，设2()1xaxx，由于()x的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,1)，对称轴102xa，则只需(1)0，即1 10a，解得2a，而0a，故实数a的取值范围为0,2.14 分说明:若采用下面的方法求出实数a的取值范围的同样给1 分.1.由于221141114111422222aaaaaaaa在0,是减函数，而11412aa时，2a，故11412aa的解集为0,2，从而实数a的取值范围为0,22.直接解不等式11

25、412aa，而0a，通过分类讨论得出实数a的取值范围为0,2.21.（本小题满分14 分）(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：由于对任意,1,1x y，都有1xyfxfyfxy，令0 xy，得00000100ffff，解得00f.1 分令0 x，得0010yffyffyy，00f，0fyfy，即fyfy.2 分函数fx是奇函数.3 分（2）解：先用数学归纳法证明01na.当1n时，112a，得101a,结论成立.假设nk时,结论成立,即01ka,当1nk时,由于01ka,12201

26、kkkaaa,又1222221212 1kkkkkkkaaaaaaa.101ka.即1nk时,结论也成立.由知对任意nN*,01na.4 分求数列nfa的通项公式提供下面两种方法.法 1:12211nnnnnnnaaafaffaaagnnf afa.5 分函数fx是奇函数，nnfaf a.1nf a2nf a.6 分数列nfa是首项为1112faf，公比为2的等比数列.数列nfa的通项公式为12nnf a.7 分法 2:1111nnnnnnaafafafaa 5 分22221211nnnnnaaafaa321nnnaafanf a,1nfa2nf a.6 分数列nfa是首项为1112faf，公

27、比为2的等比数列.数列nfa的通项公式为12nnf a.7 分（3）证法 1：由（2）知01na，1221nnnnnaaaaa22101nnnaaa，1nnaa.8 分11 1,1(2 2naanN*，且2)n10(,2nmaan mN*,且)nm.9 分当2k且k N*时,12kkkkaaaaAakL121kkkkaaaaaakL 10 分12kk 11 分1122k12.102kkaA.12 分110aA,当2n时,11102nniiiinaA.13 分当2n时,1112nniiiinaA.14 分证法 2：由（2）知01na，1221nnnnnaaaaa22101nnnaaa，1nnaa

28、.8 分11 1,1(2 2naanN*，且2)n1(,2nmaan mN*).9 分下面用数学归纳法证明不等式1112nniiiinaA成立.当2n时，左边1212121122aaaaaaa111222右边.2n时，不等式成立.10 分假设(2,nk kkN*)时，不等式成立，即1112kkiiiikaA，则1nk时，左边1111kkiiiiaA1211111kkkikiiiaaaaaAkL 11 分1121111kkkkiiiikaaaaaAkL111211111kkiikkkkiiaAaaaaaakL 12 分111211121kkkkkaaaaaakL1111121 222kkL112

29、12kkk1112221kk1122k112k右边.13 分1nk时，不等式也成立.由知，当2n时,1112nniiiinaA成立.14 分证法 3：由（2）知011,2,3,kaknL，故对11kn，有110,0kniiii kakank.8 分由于对任意0,0 xy，有max,xyx y，其中max,x y表示x与y的较大值.于是对11kn，有11111knnkiiiikAAaankn 9 分11111nkiiikiaankn11111max,nkiiikiaankn 10 分111max,nkknkn1(1,2,3,1)kknnL.11 分故111nnniiniiiiaAnAA121nnnnAAAAAAL 12 分121nnnnAAAAAAL121111nnnnL 13 分12311nnnL121n nnn12n.14 分