2014年高考理科数学试题(含答案).pdf

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1、河北省 2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一选择题：共12 小题，每小题5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合2|230Ax xx，|22Bxx，则ABA.2,1 B.1,2)C.1,1 D.1,2)2、32(1)(1)iiA.1i B.1 i C.1i D.1 i3、设函数()f x、()g x的定义域都为R，且()fx是奇

2、函数，()g x是偶函数。则下列结论中正确的是A.()f x()g x是偶函数 B.|()|()f xg x是奇函数C.()|()|f xg x是奇函数 D.|()()|f x g x是奇函数4、已知 F 为双曲线C:223(0)xmym m的一个焦点，则点F 到 C 的一条渐近线的距离为A.3 B.3 C.3m D.3m5、4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六周日都有同学参加公益活动的概率为A.18 B.38 C.58 D.786、如图，圆O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点 P 做直线 OA 的垂线，垂足为

3、M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成x的函数()f x，则()yf x在0,的图像大致为7、执行右面的程序框图，若输入的,a b k分别为 1，2，3，则输出的MA.203 B.165 C.72 D.1588、设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则A.32 B.32 C.22 D.229、不等式组124xyxy的解集记为D,有下面四个命题：1p：(,)x yD,22xy2p：(,)x yD，22xy3p：(,)x yD，23xy4p：(,)x yD，21xy其中的真命题是A.23,pp B.12,pp C.14,p p D.13,p p10、已知抛物线C：28yx的焦点为F，

4、准线为l，P 是l上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4FPFQ,则|QFA.72 B.3 C.52 D.211、已知函数32()31f xaxx，若()f x存在唯一的零点0 x，且00 x，则a的取值范围是A.(2,)B.(1,)C.(,2)D.(,1)12、如图网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A.6 2 B.6 C.4 2 D.4第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分。

5、13、8()()xyxy的展开式中27x y的系数为 _.(用数字填写答案)14、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_.15、已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若1()2AOABAC，则AB与AC的夹角为.16、已知a、b、c分别为ABC三个内角 A、B、C 的对边，2a，且(2)(sinsin)()sinbABcbC,则ABC面积的最大值为_.答案：一、选择题15 ADCAD 6 10 CDCBB 11.C 12.B 二、填空题13.2014.A

6、15.216.3三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12 分)已知数列 na的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnna aS，其中为常数.（）证明：2nnaa；（）是否存在，使得 na为等差数列？并说明理由。解：（）由题设，11nnna aS，1211nnnaaS两式相减得121()nnnnaaaa，而10na，2nnaa（）112111a aSa，而1a=1，解得21a，又311aa令2132aaa，解得4。此时1a=1，23a，35a，24nnaana 是首项为 1，公差为2 的等差数列。即存在4，使得 na为等差数列。18.(本小题满分12 分)从

7、某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s.（）利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ；（）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（）的结果，求EX.附：15012.2.若Z2(,)N，则()PZ=0.6826，(22)PZ=

8、0.9544.解：()1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x2002222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s150（）（）(200,150)ZN,15012.2(187.8212.2)PZ(200200)0.6826PZ（）(100,0.6826)XB,100 0.682668.26EX19.(本小题满分12 分)如图三棱柱111ABCA B C中，侧面11BBC C为菱形，1ABB C.()证明：1ACAB；（）若1ACAB，o160CBB，AB=BC，求二面角1

9、11AA BC的余弦值.解：()连接1BC,交1B C于点 O,连接AO。侧面11BBC C为菱形11BCB C，O 为1BC、1B C的中点而1ABB C，1B CABO平面,而AOABO平面1B CAO,又 O 为1B C的中点1ACAB（）以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系1ACAB1AOOCOBo160CBB,1CBB为等边三角形，3(0,0,)3A,(1,0,0)B,13(0,0)3B,3(0,0)3C,133(0,)33AB,113(1,0,)3A BAB,113(1,0)3B CBC设n(,)x y z为平面11AA B的法向量，则11100n ABn A B即3303

10、3303yzxz，取n(1,3,3)设m(,)x y z为平面111A B C的法向量，则111100n B Cn A B即303303xyxz，取m(1,3,3)1cos,|7m nm nmn二面角111AA BC的余弦值为17。20.(本小题满分12 分)已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆 E 的右焦点，直线AF的斜率为2 33，O为坐标原点.（）求E的方程；（）设过点A的动直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.解：（）0(2)22 30332AFkccca，解得2a，3c，故1b，E的方程为：2214xy21.(本

11、小题满分12 分)设函数1(0lnxxbef xaexx，曲线()yf x在点（1，(1)f处的切线为(1)2ye x.()求,a b；（）证明：()1f x.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.（本小题满分10 分）选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是 O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE.()证明：D=E；（）设 AD 不是 O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形.

12、23.（本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt（t为参数）.()写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求|PA的最大值与最小值.解：()C:2cos3sinxyl：260 xy（）P到直线l的距离为5|4cos3sin6|5d，|PA2 5|4cos3sin6|sin 305d，从而，|PA的最大值为22 55，最小值为2 5524.（本小题满分10 分）选修45：不等式选讲若0,0ab，且11abab.（）求33ab的最小值；（）是否存在,a b，使得236ab？并说明理由.解：（）112ababab，得2ab，333324 2aba b，33ab最小值为4 2（）23264 36abab，故不存在,a b，使得236ab。