《概率论与数理统计》第01章习题解答.pdf

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1、第一章随机事件及其概率第 1 章1、解：（1）2,3,4,5,6,7S（2）,4,3,2S（3）,TTHTHHS（4）6,5,4,3,2,1,TTTTTTHTHHS2、设 A,B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(ABPBPAP，求)(BAP，)(BAP，)(ABP，)(ABBAP解：81)(,21)(,41)(ABPBPAP)()()()(ABPBPAPBAP85812141)()()(ABPBPBAP83812187811)(1)(ABPABP)(ABBAP)()(ABBAP)()(ABPBAP)(BAAB2181853、解：用 A表示事件“取到的三位数不包含数字1”251890

2、0998900)(191918CCCAP4、在仅由 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于 330的概率。解：用 A表示事件“取到的三位数是奇数”，用 B表示事件“取到的三位数大于330”(1)455443)(2515141413ACCCCAP=0.48 2）455421452)(251514122512ACCCACBP=0.48 5、袋中有 5 只白球，4 只红球，3 只黑球，在其中任取4 只，求下列事件的概率（1）4 只中恰有 2 只白球，1 只红球，1 只黑球；（2）4 只中至少有 2 只红球；（3）4

3、 只中没有白球解：用 A表示事件“4 只中恰有 2 只白球，1 只红球，1 只黑球”（1）412131425)(CCCCAP=495120=338（2）用 B表示事件“4 只中至少有 2 只红球”16567)(4124418342824CCCCCCBP或4124838141)(CCCCBP=16567495201（3）用 C表示事件“4 只中没有白球”99749535)(41247CCCP6、解：用 A表示事件“某一特定的销售点得到k 提货单”nknknMMCAP)1()(7、解：用 A表示事件“3 只球至少有 1 只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(AP或3212311

4、21)(AP（2）31123112)(BP8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(ABPBPAP，求(),(),(),(),P A BP B AP ABP A ABUU(),()P AB ABP A ABU；（2）袋中有 6 只白球，5 只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解1.0)(,3.0)(,5.0)(ABPBPAP（1）313.01.0)()()(BPABPBAP，515.01.0)()()(APABPABP7.01.03.05.0)()()()(ABPBP

5、APBAP()()()()()()()P A ABP AABP AP A ABP ABP ABP ABUUUUUU757.05.0717.01.0)()()()()(BAPABPBAPBAABPBAABP1)()()()()(ABPABPABPABAPABAP（2）设1,2,3,4iAii第 次取到白球，B=第一、二次取到白球且第三、四次取到红球则 ，1234BA A A A12341213124123()()()()()()67548400.040811 1213 1220592P BP A A A AP A P A A P A A A P A A A A9、解：用A表示事件“取到的两只球中

6、至少有1 只红球”，B 表示事件“两只都是红球”方法 1 651)(2422CCAP，61)(2422CCBP，61)()(BPABP516561)()()(APABPABP方法 2 在减缩样本空间中计算51)(ABP10、解：A表示事件“一病人以为自己患了癌症”，B表示事件“病人确实患了癌症”由已知得，()0.05,()0.45,()0.10,()0.40P ABP ABP ABP AB（1）BAABBAABA与,互斥5.045.005.0)()()()(BAPABPBAABPAP同理15.01.005.0)()()()(BAPABPBAABPBP（2）1.05.005.0)()()(APA

7、BPABP（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(APBAPABPAPAP（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(BPBAPBAPBPBP（5）3115.005.0)()()(BPABPBAP11、解：用A表示事件“任取 6，排列结果为 ginger”92401)(61113131222AAAAAAP12、据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状 B，有 20%的人只有症状 A，有30%的人只有症状 B，有 10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有，在患这种疾病的人群中随机的选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少

8、有一种症状的概率；（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。解：用A表示事件“A该种疾病具有症状”，B表示事件“B该种疾病具有症状”由已知2.0)(BAP，3.0)(BAP，1.0)(ABP（1）设 C=该人两种症状都没有，CA B,SABABABABQUUU且BAABBABA,互斥()()1()()()10.20.30.10.4P CP A BP ABP ABP AB或ABABABABQUUU，ABABAB且、互斥()()()0.20.30.10.6P ABP ABP ABP ABU即()()()1()10.60.4P CP A BP ABP ABUU（2）设 D=该人至少有一种症状，

9、DABUABABABABQUUU，ABABAB且、互斥即()()()()()0.20.30.10.6P DP ABP ABP ABP ABU（3）设 E=在已知该人有症状B，那么该人有两种症状，EAB BBAABB，BAAB,互斥4.03.01.0)()()()(BAPABPBAABPBP即()()()()()()PAB BP ABP EP AB BP BP B414.01.013、解：用 B表示“讯号无误差地被接受”iA表示事件“讯号由第 i 条通讯线输入”，,4,3,2,1i;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321APAPAPAP9998.0)(1ABP，9999.0)(2

10、ABP，,9997.0)(3ABP9996.0)(4ABP由全概率公式得41()()()0.40.99980.30.99990.10.99970.20.99960.99978iiiP BP A P B A14、一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患有关节炎的病人，有 85%给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎，已知人群中有 10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节炎的概率。解：用A表示事件“确实患有关节炎的人”，B 表示事件“检验患有关节炎的人”C 表示事件：“一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却

11、患有关节炎”所求为()()P CP A B，由已知1.0)(AP，85.0)(ABP，04.0)(ABP则9.0)(AP，()0.15P B A，96.0)(ABP由贝叶斯公式得017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP15、解：用D表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”A B C、分别表示事件“程序交与打字机A B C、打字”由已知得6.0)(AP，3.0)(BP，1.0)(CP；01.0)(ADP，05.0)(BDP，04.0)(CDP由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(CDPCPBDPBPADPAPA

12、DPAPDAP24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0)()()()()()()()()(CDPCPBDPBPADPAPBDPBPDBP6.05304.01.005.03.001.06.005.03.0)()()()()()()()()(CDPCPBDPBPADPAPCDPCPDAP16.025604.01.005.03.001.06.004.01.016、解：用A表示事件“收到可信讯息”，B表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得95.0)(AP，05.0)(AP，1)(ABP，001.0)(ABP由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.

13、0)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP17、解：用A表示事件“第一次得H”，B表示事件“第二次得H”，C表示事件“两次得同一面”则11()()22P AP B，,21211)(2CP211()24P AB，211()24P BC，211()24P AC()()()()()()()()()P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P C，CBA,两两独立而41)(ABCP，)()()()(CPBPAPABCPCBA,不是相互独立的18、解：用A表示事件“运动员A进球”，B表示事件“运动员 B进球”，C表示事件“运动员 C进球”，由已知得5.0)(AP

14、，7.0)(BP，6.0)(CP则5.0)(AP，3.0)(BP，4.0)(CP（1）设1D恰有一人进球，则1DABCABCABCUU且CBACBACBA,互斥1()P DP ABCABCABCUU()()()(CBAPCBAPCBAP)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP相互独立）CBA,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0（2）设2D恰有二人进球，则2DABCABCABCUU且CBABCACAB,互斥2()P DP ABCABCABCUU)()()(CBAPBCAPCABP)()()()()()()()()(CPBPAPCPBP

15、APCPBPAP相互独立）CBA,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0（3）设3D至少有一人进球，则3DABCUU3()()P DP ABCUU)(1CBAP1()P A B C)()()(1CPBPAP(,A B CQ相互独立）1 0.5 0.3 0.40.9419、解：设 B表示事件“病人能得救”iA表示事件“第 i 个供血者具有RHA血型”，,3,2,1i则1121231234,BAA AA A AA A A AUUU且1121231234,A A AA A A A A A A 互斥，1234,A AAA相互独立()()(1PAPBP)21AA1231234(

16、)()P A A AP A A A A230.40.60.4(0.6)0.4(0.6)0.40.870420、一元件（或系统）正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性，如图设有5 个独立工作的元件 1，2，3，4，5 按先串联后并联的方式联接（称为串并联系统），设元件的可靠性为 p，求系统的可靠性。解：设B系统可靠，,1,2,3,4,5iAii元件可靠由已知得()(1,2,3,4,5)iP Ap i54321,AAAAA相互独立法 1：54321AAAAAB)()(54321AAAAAPBP12345123345124512345()()()()()()P A AP AP A AP A A A

17、P A A AP A A A AP A A A A A（）543322ppppppp相互独立54321,AAAAA543222ppppp法 2：12345()1()P BP A A A A A)()()(154321AAPAPAAP相互独立54321,AAAAA123451 1()11P A AP AP A A（）（）123451 1()()11P A P AP AP AP A（）（）（）相互独立54321,AAAAA2223451(1)(1)(1)22pppppppp21、用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下，若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8；若真不含有杂质检验结果为不

18、含有的概率为0.9；根据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3 次检验，结果是 2 次检验认为含有杂质，而有1 次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。解：用 A 表示事件“真含有杂质”,用 B 表示事件“3 次检验，结果是 2 次检验认为含有杂质，而有 1 次检验认为不含有杂质”1 4 3 2 5 由已知得4.0)(AP，6.0)(AP，223()(0.8)0.2P B AC，223()(0.1)0.9P B AC由贝叶斯公式得223222233()()()()()()()0.4(0.8)0.215360.9050.4(0.8)0.20.6(0.1)0.91698P A P B AP A BP A P B AP A P B ACCC