双曲线的定义及标准方程.pdf

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1、双曲线的定义及标准方程【题 1】动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为2，则点 P 的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线1D解析：依题意|PM|PN|2|MN|，所以点 P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线【题 2】已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足|PF1|PF2|2a，则当 a3 和 5 时，P 点的轨迹分别是()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线2C解析：当 a3 时，|PF1|PF2|6|F1F2|，所以 P 点轨迹是双曲线的一支；当 a5 时，|PF1|PF2|10|F1F2|

2、，所以 P 点轨迹是以F2为起点的一条射线【题 3】已知方程x21ky21k1 表示双曲线，则k 的取值范围是()A 1k1 Bk0Ck0 Dk1 或 k 1A解析：方程x21ky21k1 表示双曲线，则(1k)(1k)0，(k1)(k1)0，1 k1【题 4】过点(1,1)且ba2的双曲线的标准方程是()Ax212 y21 By212x21Cx2y212 1 Dx212y21 或y212x21D解析：由于ba2，b22a2当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为x2a2y22a2 1，将点(1,1)代入，得a212此时双曲线方程为x212y21同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y212x21

3、【题 5】已知定点F1(2,0)，F2(2,0)在满足下列条件的平面内，动点P 的轨迹为双曲线的是()A|PF1|PF2|3B|PF1|PF2|4C|PF1|PF2|5D|PF1|2|PF2|24答案：A解析：根据双曲线定义知P 到 F1，F2的距离之差的绝对值要小于|F1F2|【题 6】k 1，则关于x，y 的方程(1k)x2y2k21 所表示的曲线是()A焦点在x 轴上的椭圆B焦点在y 轴上的椭圆C焦点在y 轴上的双曲线D焦点在x 轴上的双曲线答案：C解析：原方程可化为222=111yxkk，k1，k210,1 k0方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线【题 7】设椭圆C1的离心率为51

4、3，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两焦点的距离差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()Ax242y2321 Bx2132y2521Cx232y2421 Dx2132y21221答案：A解析：在椭圆 C1中，由226,5,13aca得13,5.ac椭圆 C1的焦点 F1(5,0)，F2(5,0)，曲线 C2是以 F1，F2为焦点，实轴长为8 的双曲线，故C2的标准方程为2222=143xy【题 8】双曲线x225y291 上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A22 或 2 B7 C22 D2答案：A解析：a2 25，所以a 5,2a10，由双曲

5、线的定义知双曲线上的点到两焦点距离差的绝对值为10，故到另一焦点的距离为22 或 2【题 9】若方程y24x2m11 表示双曲线，则实数m 的取值范围是()A 1m 1Cm3 Dm0)B.x24y2121(x0)C.x24y2121 D.y24x21216C【题 15】已知 m，n 为两个不相等的非零实数，则方程mxyn0 与 nx2my2mn 所表示的曲线可能是()4.C【题 16】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F(7，0)，直线 yx1 与其相交于M，N 两点，MN 的中点的横坐标为23，则此双曲线方程为()A.x23y24 1 B.x24y231C.x25y221 D.x22y25

6、15D【题 17】平面内有两个定点F1(5，0)和 F2(5，0)，动点P 满足|PF1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是()A.x216y291(x 4)B.x29y2161(x 3)C.x216y291(x4)D.x29y2161(x3)解析根据双曲线的定义可得答案D【题 18】已 知 双 曲 线 的a5，c7，则 该 双 曲 线 的 标 准 方 程 为()A.x225y2241B.y225x2241C.x225y2241 或y225x2241D.x225y2240 或y225x2240解析因为 b2c2a249 2524，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x225y2241 或

7、y225x2241.答案C【题 19】已知方程(1 k)x2(1k)y2 1 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为()A 1k1Ck1 或 k0，1k0，解得k1，k1，即 1k1.答案A【题 20】已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为()A.x24y241 B.y24x241C.x28y281 D.y28x281解析由离心率为2，e2c2a2a2b2a21b2a22，即 ab，双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2y2(0)，又点 P(1，3)在双曲线上，则 19 8，所求双曲线的标准方程为y28x281.故选 D.答案D【

8、题 21】双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(3,0)，2b4，则双曲线的标准方程是()A.x25y241 B.y25x241 C.x23y221 D.x29y2161 解析：焦点在x 轴上，c3,b2，所以 a25，所以方程为x25y241.故选 A.答案：A【题 22】已知 F1(5,0)，F2(5,0)为定点，动点 P 满足|PF1|PF2|2a，当 a3 和 a5 时，P 点的轨迹分别为()A双曲线和一条直线B双曲线的一支和一条直线C双曲线和一条射线D双曲线的一支和一条射线解析：|F1F2|10，|PF1|PF2|2a，当 a 3时，2a6|F1F2|，为双曲线的一支；当a5 时

9、，2a10|F1F2|，为一条射线答案：D【题 23】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F1(5，0)，点 P 位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()A.x24y21 Bx2y241 C.x22y231 D.x23y221 解析：由题意知双曲线的焦点在x 轴，且另一焦点为F2(5，0)，又由中点坐标公式求得 P 点坐标为(5，4)，则|PF1|6，|PF2|4.|PF1|PF2|2a6 422 5.答案：B【题 24】已知 F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C直线D一条射线【解析】F1，F2

10、是两定点，|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10 的点 P 的轨迹应为一条射线【答案】D【题 25】已知方程x21ky21k1 表示双曲线，则 k 的取值范围是()A1k1 Bk0Ck0 Dk1 或 k1【解析】方程表示双曲线，则(1k)与(1k)同号，即(1k)(1k)0，得1k1.【答案】A【题 26】已知 F1(3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|PF2|2m1 的动点 P 的轨迹是双曲线的一支下列数据：2；1；4；3；12，则 m 可以是()ABCD【解析】由双曲线定义得|2m1|6，2m10，52m0，cos sin，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故答案为C.

11、【题 28】k9 是方程x29ky2k41 表示双曲线的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 k9 时，方程为y2k4x2k91表示焦点在y轴上的双曲线，方程表示双曲线时，(k9)(k4)0，k9，故选 B.【题 29】已知方程ax2ay2b，且 a、b 异号，则方程表示()A焦点在x 轴上的椭圆B焦点在y 轴上的椭圆C焦点在x 轴上的双曲线D焦点在y 轴上的双曲线答案 D解析 方程变形为x2bay2ba 1，由 a、b 异号知ba0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为 D.【题 30】以椭圆x23y241 的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端

12、点为焦点的双曲线方程是()A.x23y21 By2x231C.x23y241 D.y23x24 1答案 B解析 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且 a1，c2，b23，双曲线方程为y2x231.【题 31】已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(5，0)，点 P 在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()A.x24y21 Bx2y241C.x22y231 D.x23y22 1答案 B解析 由条件知P(5，4)在双曲线x2a2y2b21 上，5a216b21，又 a2b25，a21b24，故选 B.【题 32】已知双曲线与椭圆x29y2251 共焦点，它们的离心率之和为1

13、45，双曲线的方程应是()A.x212y241B.x24y2121Cx212y241 Dx24y2121答案 C解析 椭圆x29y225 1的焦点为(0，4)，离心率 e45，双曲线的焦点为(0，4)，离心率为145451052，双曲线方程为：y24x2121.【题 33】设椭圆 C1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线 C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.x242y2321 B.x2132y2521C.x232y2421 D.x2132y21221答案 A解析 由已知得椭圆中a13，c5，曲线 C2为双曲线，由此知道在双曲线

14、中a4，c5，故双曲线中b3，双曲线方程为x242y2321.【题 34】动圆与圆x2y21 和 x2y28x120 都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A双曲线的一支B圆C抛物线D双曲线答案 A解析 设动圆半径为r，圆心为 O，x2y21 的圆心为O，圆 x2y28x120 的圆心为 O2，由题意得|OO1|r1，|OO2|r2，|OO2|OO1|r 2r1 10，1k0，解得k1，k1，即 1k0)C.x29y271 或x27y291D.x29y271(x0)答案D解析由双曲线的定义知，点 P 的轨迹是以 F1、F2为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，其方程为：x29y271(x0)【题43】已知双曲线x225y291 的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点 M到右焦点 F2的距离为 18，N是 MF2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于()A.23B1C2D4答案D解析NO 为MF1F2的中位线，所以|NO|12|MF1|，又由双曲线定义知，|MF2|MF1|10，因为|MF2|18，所以|MF1|8，所以|NO|4，故选 D.