高中数学复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法.pdf

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1、题目高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法重难点归纳一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m

2、0,n 0)定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小典型题例示范讲解例 1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是双曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高 20 m建立坐标系并写出该双曲线方程命题意图本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力知识依托待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积错解分析建立恰当的坐标系是解决本题的

3、关键技巧与方法本题是待定系数法求曲线方程解如图，建立直角坐标系xOy,使 AA在 x轴上，AA的中点为坐标原点O，CC与 BB平行于x 轴设双曲线方程为2222byax=1(a0,b0),则 a=21AA=7 又设 B(11,y1),C(9,x2)因为点 B、C 在双曲线上，所以有179,17112222222122byby20m22m14m18mCABBCACABBCAoyx由题意，知y2y1=20,由以上三式得y1=12,y2=8,b=72故双曲线方程为984922yx=1例 2 过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆 C 相交于 A、B两点，直线y=2

4、1x 过线段 AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程命题意图本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强知识依托待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题错解分析不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键技巧与方法本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式解法二，用韦达定理解法一由 e=22ac,得21222aba,从而 a2=2b2,c=b设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1)

5、,B(x2,y2)在椭圆上则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两 式 相 减 得，(x12 x22)+2(y12y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=002yx,又(x0,y0)在直线y=21x 上，y0=21x0,于是002yx=1,kAB=1,设 l 的方程为y=x+1右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x,y),byxbxybxy111221解得则1y=12xBAoyx由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=89,1692a所求椭圆C 的方程为2291698yx=1,l 的方程为y=x+

6、1解法二由 e=21,22222abaac得,从而 a2=2b2,c=b设椭圆 C 的方程为x2+2y2=2b2,l 的方程为y=k(x1),将l的 方 程 代 入C的 方 程，得(1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0,则x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=2212kk直线 ly=21x 过 AB 的中点(2,22121yyxx),则2222122121kkkk,解得 k=0，或 k=1若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以 k=0 舍去，从而k=1，直线

7、 l 的方程为y=(x1),即 y=x+1,以下同解法一例 3 如图，已知 P1OP2的面积为427，P 为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点 P 的离心率为213的双曲线方程命题意图本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力知识依托定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程错解分析利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出P1OP2的面积是学生感到困难的技巧与方法利用点 P在曲线上和P1OP2的面积建立关于参数a、b 的两个方程，从而求出a、b 的值解以 O 为原点，P1OP2的角

8、平分线为x 轴建立如图的直角坐标系设双曲线方程为2222byax=1(a0,b0)PP1P2oPP1P2oyx由 e2=2222)213()(1abac，得23ab两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x 和 y=23x设点 P1(x1,23x1),P2(x2,23x2)(x10,x20),则由点P 分21PP所成的比=21PPPP=2,得 P 点坐标为(22,322121xxxx),又点 P 在双曲线222294ayax=1上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2,427131241321sin|21

9、1312491232tan1tan2sin21349|,21349|212121121212222212121121xxOPPOPOPSOxPOxPOPPxxxOPxxxOPOPP又即 x1x2=29由、得a2=4,b2=9 故双曲线方程为9422yx=1例 4 双曲线2224byx=1(bN)的两个焦点F1、F2，P 为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_解析设 F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|

10、PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4,依已知条件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2317,又 c2=4+b2317,b235,b2=1答案 1学生巩固练习1已知直线x+2y3=0 与圆 x2+y2+x6y+m=0 相交于 P、Q 两点，O为坐标原点，若OPOQ，则 m 等于()A3 B3 C1 D1 2中心在原点，焦点在坐标为(0，52)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为()12575 D.17525C.1252752 B.1752252A.22222222yx

11、yxyxyx3直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点P，若过点 P 且以双曲线12x24y2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_4已知圆过点P(4，2)、Q(1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为 43，则该圆的方程为_5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F，M 是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点M1和 M2，且|M1M2|=3104，试求椭圆的方程6某抛物线形拱桥跨度是20 米，拱高 4 米，在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长7已知圆C1的方程为(x2)

12、2+(y1)2=320,椭圆 C2的方程为2222byax=1(ab0)，C2的离心率为22，如果 C1与 C2相交于 A、B 两点，且线段AB 恰为圆 C1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C2的方程参考答案:1解析将直线方程变为x=32y,代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0,BFEDCA得(3 2y)2+y2+(32y)+m=0整理得 5y220y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2)则 y1y2=512m,y1+y2=4又 P、Q 在直线 x=32y 上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y26(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2

13、)+9=m3=0，故 m=3答案A 2解析由题意，可设椭圆方程为2222bxay=1,且 a2=50+b2,即方程为222250bxby=1将直线 3xy2=0 代入，整理成关于x 的二次方程由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75答案C 3解析所求椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|欲使 2a 最小，只需在直线l 上找一点P使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解答案4522yx=1 4解析设所求圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2则有222222222)32(|)3()1()2()4(rarbarba2745130122rbarba或由此

14、可写所求圆的方程答案x2+y22x12=0 或 x2+y210 x8y+4=0 5解|MF|max=a+c,|MF|min=ac,则(a+c)(ac)=a2 c2=b2,b2=4,设椭圆方程为14222yax设过 M1和 M2的直线方程为y=x+m 将代入得(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),则 x0=21(x1+x2)=224ama,y0=x0+m=244am代入 y=x,得222444amama,由于 a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=2244aa,又|M1M2|=31044)(221221

15、xxxx,代入 x1+x2,x1x2可解 a2=5,故所求椭圆方程为4522yx=16解以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B 坐标分别为(10，4）、(10，4）设抛物线方程为x2=2py,将 A 点坐标代入，得100=2p(4),解得 p=125,于是抛物线方程为x2=25y由题意知E 点坐标为(2，4)，E点横坐标也为2，将 2 代入得 y=016,从而|EE|=(016)(4)=384故最长支柱长应为384 米7解由 e=22,可设椭圆方程为22222bybx=1,又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2,又2222222212212,12bybxbybx=1,两式相减，得22221222212byybxx=0,即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0化简得2121xxyy=1,故直线 AB 的方程为y=x+3,代入椭圆方程得3x212x+182b2=0有=24b2720,又|AB|=3204)(221221xxxx,得3209722422b，解得 b2=8故所求椭圆方程为81622yx=1课前后备注FEDCBFEDCAoyxBAoyx