同济大学线性代数第六版答案(全)-线代第六版答案.docx

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1、同济大学线性代数第六版答案（全）第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:201141-183201141-183=2x(-4)x3+0x(-l)x(-l)+lxlx8-0xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)=24+8+164=4.=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a 1 1a b ca2 b2 c2-b3-c3.111 a b c a2 b2 c2=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).% y 1+y y x+y x . x+y x yx y x+y解 y x+y x x+y x y=x(x+y)y+

2、yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1234;解逆序数为。(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13(2n-l)24(2n);解逆序数为若立：32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2n_1)2,(2n_1)4,(2n1)6,(2nl)(2n2)(n-1个)(6)13(2n-l)(2n)(2n-2

3、)2.解逆序数为n(n-l):32(1个)52,54(2个)(2n-l)2,(2n-l)4,(2n-l)6,(2n-l)(2n-2)(n-1个)42(1个)62,64(2个)(2n)2,(2n)4,(2n)6,(2n)(2n-2)(n-1个)3 .写出四阶行列式中含有因子为冏23的项.解含因子a“a23的项的一般形式为(1厂为1 a23a3冉4$,其中rs是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子退23的项分别是(-1a 11 a23a32a44=(-1)&23a32a44=-a123a32a44,(1ai 出23a34a42=(1)匕23a34a42=a】23a34a42

4、.4 .计算下列各行列式：X214-2341110一一-102-14。202172304110042072021o-901790117T 23410-142072021111141100251411001111224236172 o2315020042341-212312 T 020242361-2 o 2315 T 1111 CM 0442361T 2 o 2315o=020042301T2O2310rn*-OOI JO1 CTIbTO4700oolda1c1l+abb100100ooldO1 CT IbT o OTOOc3+dc2+a a ad-1 c 1+cd 0-10=(-1)(-1产

5、10,2d =abcd+ab+cd+ad+1.证明:解解(4)解5.a2 ab kr2a a+b 2b =(a-b)3；证明“2 ab br。2一。ab-a2 b2-crla a+b 2tla b-a 2b-2a1111 q-c,|100=(_1)Mab-a2纥一彳)=g_q)3_q)： b+a =(a_b)3 b-a 2b-2a12ax+by ay+bz az+bx (2) ay+bz az+bx ax+by=(a3+b3)yaz+bx ax+by ay+bz证明Iax+by ay+bz az+bx ay+bz az+bx ax+by az+bx ax+by ay+bzx ay+bz az+

6、bx-ay az+bx ax+by+bzz ax+by ay+bzay+bz az+bx az+bx ax+by ax+by ay+bzx ay+bz z=cr y az+bx x+b2ax+by yz az+bx x ax+by y ay+bz=a=az.VVx y z = (+/) y z X z x ya2 3+1)2 (a+2 (a+3 b2 (。+1)2 (0+2)2 +3)2 c2 (c+1)2 (c+2)2 (c+3)2 d? 3 + 1)2 3 + 2)2 (d + 3)2证明a2 b1 c2 d2(a+1)2 (a+2(+3)2 (。+1 1+2)2 (0+3)2 (c+1)

7、2 (c+2)2 (c+3)2 3+1)2 (d+2)2 (3)2(C4-C3, C3-C2, C2C1 得)a2 2(2+l 2a+3 2a+5_b2 2b+ 2b+3 2b+5 c2 2c+1 2c+3 2c+5 d2 2d+ 2d+3 2J+5(C4-C3, c3-c2 得)222222221A n 11 11+ + + +zz力 cd2(2222 2 2 k。匕cd=ld/2J41 cc2c4Ibz?2/74Z2 41 4 a 4=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明ldJ26/41 cc2c41 atz2/loo1I1b-ac-ad-a

8、b(ba)c(c-a)d(dd)b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2-a2)111=(b-a)(c-a)(d-a) bedb2(h+d) c2(c+a) d2(d + a)111=(h-d)(c-a)(d-d)O c-bd-b0 c(c-b)(c+b+a) d(d-b)(d+b+a)=(b-a)c-d)d-d)c-b)d-bc2h+d) d(d+h+a)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)076% FOG xo -04* 11 ZL oo 二 + oo - % 出=xn+a1Xn-1+ +an-!X+an .证明用数学归纳法证明.当

9、n=2吐。2=：二，=片+平+%,命题成立.CX-)九 I L t i假设对于(n-1)阶行列式命题成立，即Dn-产x唠i+ai xn-2+an-2x+an-1,则Dn按第一列展开，有OO 二OO - X07 -17上1皿-=xD n-1+an=xn+a 1 xn_1+an-iX+an .因此，对于n阶行列式命题成立.6 .设n阶行列式口=（1乜囱），把D上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得R =anann,A-4 ann,d3=ann %小4%Ma川q i/?(-!)证明。1=。2=(-1)2D?=D .证明因为D=det（aJ,所以n(n-l)=(_)1+2+t(-2)+

10、(/i-1)Q = (_) 2 D同理可证n(n-l)2=(i)f知%即ann”(4T)=(-l)k。=(一1) 丁 D.n(n-)n(n-) n(w1)2=(1尸 RXT)-1-(T)k 0=(1)。=。.其中对角线上元素都是a,未写出的元7 .计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）:2=1素都是0；解o o ao aoa o oooooo ao 40ooolooooo（按第n行展开）0 0 0a=(-1 严(D”aa(n-l)x(n-l)+an =an-an-2=an-2(a2-1).(n-2)(n-2)Dn =x a a a x aa a x解将第一行乘JI）分别加到其余各行，得oo 二

11、X o440一 oX -4-06 X XX X一一一an an-l3D3-1尸(a-n)n (a-ri)nl(3)D+1 = . ；aa1 a-n11 1x+(n-Y)aD=06解 根据第6题结果，有1 a13-1尸 31)再将各列都加到第一列上，得a a aa x-a 0=x+(n-l)a(x-a)n-000 x-aIa-n(a-ri)n(a-ri)n此行列式为范德蒙德行列式.2+1=(-1)2- Z +1)-(47- J +1)n+i j+(-1产也abd an-再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD 2n-2bnCnD 2n-2，D2n二出门心-bnCjD2n-2.于是以=立(44

12、-%)。21=2而D?=?%=叫一 b、q,所以。2=立(44-%).i=(5) D=det(aij),其中 ay=| i-j |;解| i-j |,1234.-.321032 lol1 o 12-01233oooo 000-2- OO-27.2)222n-2-32一42一5n-=(-l)n-1(n-l)2n-2.q00001一%a200010一%001000an-an-10000an1+4100-00010-00001-00000-0100000of1少=(q/-q)(l+Xy + 2再七+4犬4=2 . 2xj 3%一七 一5%=-23x1 +%+2/+11/ = 解因为8.用克莱姆法则解

13、下列方程组:%+%2+七+玉=514，.14-2-2O123000650065106510110510005x)+6x2=1%+59+6%3=0(2)%2+5&+6%4=0.七+5%+6%5=0%+54=1566=0006500651065106510051000=D=1507, D2=000650065106510651001 o o o 100065113 nu ns 11065106510051000=2370=000650065111 cnI n-651005100003二looo0065065106510051000所以一一395_2124荷玉_指_15071145_703665y马

14、1诙七一麴，有+%+玉=0齐次线性方程组4+匹+七=0有9.问九，|Ll取何值时,%+2臣+刍=0非零解？解系数行列式为211D=1/1=/zZ .121令D=0,得|J.=0或入=1.于是，当产。或入=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问入取何值时，齐次线性方程组(1尤)%29+4七=02g+(3-4)与+玉=0有非零解?4+W+(10解系数行列式为A, 2D= 2 3-21 1411-21-A213+4 41-2101A=(l-X)3+(Z-3)-4(l-X)-2(l-X)(-3-X)=(l-X)3+2(l-X)2+X-3.令D=0,得X=0,入=2或入=3.于是，当九=0,入=2或入=

15、3时，该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1 .已知线性变换:%=2%+2%+为毛=3乂+%+5%，&=3乂+2%+3%求从变量Xi, x2, x3到变量yb y2, y3的线性变换.解由已知：(xA(221丫始(323人为,y(221C f-7-49丫始(323JI 32-4人为,2 .已知两个线性变换玉=2y + y3fy1=-3z1+ z2&=一2乂+3必+2%，J%=2Z+ Z3,、七=4%+%+5%=Z2+3马求从Zi,z2, Z3至！J Xi, x2, x3的线性变换.1-r矢已由brz2z3r !-/39161-4-1-612-10zr IX一一所以有=-6Z+z2+3z

16、3 x2=12zi-4z2+9z3 W=_10Z-马+1643.(设4=1u11-12-25求3AB-2A 及 ATB.fl 13AB-2A=311b -123、(1人。-24-2151Jfo 58、 fl 1=30-56-21 I(29 Oj 11-11322、-172029-2j故(A+B)(A-B)wA2-Bz.6 .举反列说明下列命题是错误的：若A2=0,则A=0;解取 A=(H)，则 A2=0,但 AM.若A2=A,则A=0或A=E;解取 A=(j j),则 A2=A，但 AM 且 AwE 若 AX=AY,且 AwO,则 X=Y .解取一s，贝1AX=AY,且 AwO,但 XwY .

17、7 .设 A=(；?),求 A5 A). Ak解A2=(；1J1 IA3=A2A=+3七=1(1)2%+2/+5W=2;3%+5+七=3方程组可表示为一一7司马七/ I351从而有X 1=0.、玉二1故故有14.设Ak=O （k为正整数）,证明(E-A)=E+A+A2+.x-x2xi=2(2)A-1A(A-E)=2A-1E=*=；(A-E),又由 A2-A-2 E=O=(A+2 E) A-3(A+2 E)=-4 En (A+2E)(A3E)=4 E,所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E尸，(A+2E)T=；(3_A).16 .设 A 为3阶矩阵，|A|=g,求|(2A

18、尸-5A*|.解因为*=册4*,所以|(2A)-,-5A*h|a-1-5|A|A-|=|a-1-|a-1|=|2A-11=(-2)31A-11=-8| A |-1=8x2=16.17 .设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且(A*)-1=(A-1)*.证明由此=#*,得A*=|A|A-】，所以当A可逆时,有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1O,从而A*也可逆.因为A*=|A|A-i,所以(A*尸二| A |一1A.(A*)-i=| A |-2A=| A |-11A |(A-1)*=(A-1)*.18 .设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：若|A|=0,则| A*|=0;(2)|A*|

19、=|A|n-B=(A-2E)A= 1 -1 0(-1 2 1J.证明用反证法证明.假设|A*|wO,则有A*(A*二E,由此得A=A A*(A*)-i=| A | E(A*尸=O ,所以A*=O,这与|A*|M矛盾，故当|A|=0时，有|A*|=0.由于则AA*=|A|E,取行列式得到|A|A*|=|A|n.若|A|M,则|A*|=|A|n-】；若|A|=0,由知| A*|=0,此时命题也成立.因此|A*|=|A|z.(033、19 .设A=110, AB=A+2B,求 B.(-123j1l-l3W00 = -1解由 AB=A+2E 可得(A-2E)B=A,故1 o n20 .设4=020,且

20、 AB+E=A?+B,求 B U。iJ解由AB+E=A2+B得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).因为|A-looo 1 oOOI=-l，0,所以(A-E)可逆，从而 B TA-o TB-(一=2 -1A3 1(下一步:北+(-2)口,口+(-3)口.)4 -3y步:口+(-2).)(T、7 3o o O1 o O r I(TNX H/4 3 0_ _2 11000-loo(1 o 2-n001-3(下一步：h+3.)(00。3；fl 02 T)0013(下一*步：2+3=3.)(。001 J步:口+(-2)3, 口+口.)(To 1/ 1 o o o OOK - 7

21、 XMU7? 11 3 11 001 - 010 3 4 7 000 . - loo 234 r I eoo、 2)02-3 n解03-43(下一步：口*2+(-3)口，r3+(-2)r.)(04-7-1J3 14 - _ 2 0 0 roo N步：r3+r2, ri+3r2.)(ro 3 H0102 0 0000/r k2!一5 3 0o 1 olooroo 24 4 2 2二二3 5 3 413 2 3二二13 2 3 i 3)U -13-43、解2-23-2 j (下一步:r23r15 r3-2ri, r43ri.)-34-2-L(下一步：r2-(-4), r3-(-3),3435_10

22、00 rlo o e10001 o o o/mk(4)2 2 0 0 o 1 o o10001 o o o(2 3 11 2 03-2 82 -3 7-3-234-7)40V2 3 1 -3 -7、解 1；力(下一步:口一2r2, r3-3r2, r4-2r2.),2 -3 7 4 3.3-43、1-22(下-步口-3r2, r3r2, r4-r2.)1-22.ro114 2 1一 1 112 9 8-10 8 7(下一步:r2+2ri, r3-8r1, 口一7口.)0-1111、000-4(下一步:门52, r2x(-l), r4-r3.),00014,T 020-2、000；(下一步:r2+r3.)、00000,211-474解原方程化为(A-2E)X=A.因为所以(o 1-1AX=(A-2E)-A=-101.(1-10；6 .在秩是r的矩阵中，有没有等于。的r-1阶子式?有没有等于。的r阶子式?解在秩是r的矩阵中，可能存在等于。的r-1阶子式,也可能存在等于。的r阶子式.(0,R(A)=3.例如，A=01(00000是等于。的2阶子式,100是等于。的3阶子式.0107 .从矩阵A中划去一行得到