同济大学线性代数第六版标准答案全.docx

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1、第一章行列式1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:2011,叫-183201解1一41183=2x(4) x3+0x (一1)x(-1)+1 x 1 x80x1x3-2x(1)x81x(4)x(1)=24+8+164=4.; c a力 c Ac。 pc a 4力 cc1 cc21%解1 cc2 lbx(4) y=bc1+ccr+ab1-ac1-bcj2-cb1-(a-b)(b-cc-a).y %+y x+y xx y% y %+y解 y x+y xx+y x y=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3_3f y-x3-/-x3=-2(

2、x3+y3).2 .按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数61234;解逆序数为。(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13一(2-1)24一(2)；解逆序数为32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2-1)2,(2n-1)4,(2/?-1)6,(2n-l)(2-2)(-1个)(6)13(2n)(2n-2)2.解逆序数为(T)：32(1个)52,54(2个)(2-l)2,(2n-l)4,(2n-l)6,(2/7-l)(2/7-2)(n-个)

3、42(1个)62,64(2个)(2n)2,(2n)4,(2m)6,-(2n)(2n-2)(m-1个)3 .写出四阶行列式中含有因子1123的项.解含因子火口23的项的一般形式为其中方是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子“11023的项分别是(1)0。23。32。44=(11)711。23432a44=一。11。23。32a44,(1)。11。23a34a42=(-1)%11。23a34。42=。“。23。34。42,4 .计算下列各行列式：4207202111 1141100x71134+(-Xo 472T4111072To2021T23O41110020211254

4、11100O-2I4IM -119on901171-2O-2I41A -1A72341110111124236111- oz-2315020042342312020242362315423611 cm2315020042302310b =adf h , b11 de-111OOI J必da=Ib-loa-loooold al c-1 E。 OT oo 笠 oold O1 CT 18 Tooo解a ad c +cd-1 0old+ab ad1 1+cd-abcd+ab+cd+ad+1.a1aba+b1b22b1=（。一;=(-1)(-1产=(-l)(-l)3+25.证明：证明I a22a=(1产

5、ab a+bb22bah-a1 b-ab2-a22b-2。ab-a2-a2b-a 2h-2a=(b-d)(b-d)Cy ba =(a-b)ax+by ay+bz az+bx ay+bz az+bx ax+by az+bx ax+by ay+bzx =(ai+b3)y z证明ax+by ay+bz az+bx ay+bz az+bx ax+by az+bx ax+by ay+bzx ay+bz az+bx =ay az+bx ax+by z ax+by ay+bzy +bzxay+bz az+bx az+bx ax+by ax+by ay+bzy z az+hx z x ax+by x y ay

6、+bzx ay+bz z=cry az+bx x +b2 z ax+by yx y z=a3y z xZ X yy z x +Z/z x yx y z+bI a2 b2 r2 d2(0+1)2(。+1)2(c+1)2Z X y3+2)2(a+3)2(2)2(0+3)2(c+2)2(c+3)2=0；3+1)23+2)23+3)2证明a2 b1 c1 d23+1)2(a+2)2(a+3)2(b+l)2(2)2(b+3)2(c+1)2(c+2)2(c+3)2(1)2(d+2)2(d+3)2(C4-C3, C3-C2, C2-C得)a2 b2 c2 d-2a+l 2a+32a+52b+l 2b+32b

7、+52c+l 2c+32c+52d+12t/+32d+5（。4一。3,。3一。2得）a2 b1 c2 d22a+12/7+12c+l 2d+lo-22222222ldJ2J41 cc2c4 lb/72/74I 72414。a(4)=(ab)(ac)(ad)(bc)(h(i)(cd)(a+b+c+d);证明oo1b-ab(h-d)b2(b2-a2)1 1c-ad-ac(c-a) d(d-d)c2(c2-a2) d2(d2-a2)=(ba)(ca)(da)b2(b+d) (c+d) d2(d+a)111=(ba)(cci)0chdb0 c(c-b)(c+b+a) d(d-b)(d+b+a)=3_q

8、)(c_q)3_q)(c_3(d-b)以c+Q)d(d+b+a)二(。一b) (ac) (ad) (bc) (b6Z)(c6/)(6z+Z?+c*+6/).证明用数学归纳法证明.当=2时，D2=)n =x2+aix+a2,命题成立.J I Cvi假设对于(-1)阶行列式命题成立，即Dn-=x46Z X+,+。则2按第一列展开，有-10D=xDn_l+an(-T)n+.x.二111=xD i +an=xn+aX/,-1+an-x+an .因此，对于n阶行列式命题成立.6.设阶行列式2det(徇)，把D上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得(-I)证明。=。2 =(T)kD, D,

9、=D .ann 42=am41证明因为D=det(ajj),所以(一1)=(_)1+2+(-2)+(T)=(1)2 D .同理可证 (一 1)2=(1 尸n(n-l)= (-l)-2- O=(l)k D.D3=（-l）-2- D2=（-l）-2-（一1）亍。=（一1）1）。=。.7.计算下列各行列式（2为k阶行列式）：1.,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是。;解（按第n行展开）1OO OOOOOO oo Qaa xaaxX D=2a解将第一行乘（-1）分别加到其余各行，得Xaaa-xx-ci0,a-x0x-aa-x000Dn =Qoo -再将各列都加到第一列上，得D“=x+(n-Y)a

10、0A0a一0a 0x-aa00=x+(n-1)a(x-ay10000x-aan (a1)(a-ri)n(a-ri)n)%=a a-a-n111解根据第6题结果，有11a a-X%=(T 尸an(a-Y)nla1131)”此行列式为范德蒙德行列式.1a-n(a-八)T(a-ri)%=(-1尸37+1)-3一川)H+1I J1=(-1产- R-(fn+li j(+D+(-1)+1=(-1尸-(-1)二 II(d+1/ j=n(n?+!/ j（4）%=?5%d解abn%=（按第1行展开）% oq 4ci 4i 0 o 4 Cln-bn-ai b+（1）2向么。力Cn-dn-再按最后一行展开得递推公式

11、D?六为dnD2n-2bD2fl.23即勿金于是。2”=立（M -%）02 i=2D2=叫一姐,所以。2”=11(q4一3Z=1(5)D=det),其中旬=|可;解碗=吃1,1234 HHH.3210211011.110112.0123.彳一弓11110一3一4-1111-1-1111111-1111n- n-2 n-3一4110000-000-2。-2-2O-2-2-211111111二一二n-12n-32n-42n-5c2+ctC3+CI1+411,其中”“wO.11+%1111+。”q 0 0CC2-% 200 _% /。2-0 0 000 01+q111l+21 11 l+an0010

12、01001一%an-10-an+an1000寄|00a_00短11an-0-11+婷=aa2 an0 0 001姑 n001+Z 4T i=(4%1T).8.用克莱姆法则解下列方程组:玉+/+%3+%4=5(1)Xj+2%2玉+42.2%13%一毛5/=-23再+x2+2x3+11x4=0解因为411=14+5114-111111-21+5114-11TT2-)22)5- o23Az411r14-5IU11 t T 2112-11=142,5-2-2O11111-212-3123=-426,1512-24325101111123所以不吟T，&=朱=2，&=冬=3,%4=差=-1.=1=0=0.

13、5百+62%i+5x2+6x3+5七+6%4玉+5%+6/=0%4+5毛=1566=00065006510651065100=-1145,0006500651065101* CIIA (!)(!)51000=1507, D、=(2)解因为510000006511 CU凸1106510651005100000065006510651065100IL c(I)c(I)c(l511o7-000650065111 no 116510011 nu 1100651065106510051000所以_1507_1145_703 r _-395-212%-诟T，665,665,-谪，-丽加+%2+&=09.问

14、44取何值时，齐次线性方程组与+加+七=。有非玉+2偿2+&=0零解？解系数行列式为211D=11=jn-pX .12/1令。=0,得-0或加1.于是，当*0或时该齐次线性方程组有非零解.f(l4)%2%2+4&010.问力取何值时，齐次线性方程组2%+(3-;1此+七=0有%+/+(14)七=0非零解？解系数行列式为1A 2 4D= 2 3-2 111 1-21A 3+A21-A411-2=(1-2)3+(2-3)-4(1-2)-2(1-2)(-3-2)=(l-A)3+2(l-2)2+A-3.令。=0,得A=0,2=2或4=3.于是，当於0,&2或加3吐该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及

15、其运算1 .已知线性变换：(xl=2yl+2y2+y3：%=3乂+%+5%，&=3乂+2 y2+3%求从变量%2,%3到变量V，力,乃的线性变换.解由已知：NX 7 yl% % Y - A 15 3 2 123 3 I - i 7y % %VI JIA9*-4-43 27-6 3z/mk=%x2w z/mX =-7%-4x2+9%=6西+3/7天.必=3%+2%2-4天2 .已知两个线性变换,=2y +%H=-3Z|+ z2=-2y+3y2+2%,y2=2zl + z3,毛=4乂+%+5%=Z2+34求从Z, Z2, Z3到为,%3的线性变换.解由已知XXI2-2412 5yl% %2-241

16、2 5-32 04z2z3 V A o 11 3f-613YzJ =12-49 z210-116人均X,=-6z1+z2+3z3 x,=12z,-4z2+9z3.=-10Z-.+I6Z3fi 1 n3.设人=11 -iu -i u(123、B=-1-24,求3A82A 及 A/E3AB-2A=/11 Yi23) (20 -5 -6j-(5)(%玉毛)7o a?, “7 34 3 %3 %3CLy 2 dy 3*2 *3)2 22 23%3 %3(2x(1)2x2)1x(-1)1x2,3x(-1)3x2.x2=(Q 11修+Q12玄+。13X3 Q12修+2212+。2界3+2/2+33%3)5

17、设A=（；。，3=（； 9,问:(1)AB=BA 吗？解 ABBA.因为0，BA=q 3，所以 AgBA(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗？解(A+B)2A2+2AB+B2.因为 A+8=(； I),(A+昨修.价值即但#+一+叫词+解M毋船l(A+B) VA2+2AB+B2.(3)(4+B)(A-3)=A2-3吗？解(A+5)(A-B)A2-B2.因为 A+研：N A-B=3(A+B)(A-B)=g 羽洞片$),而A?-4=(； A6 .举反列说明下列命题是错误的:（1）若晶0,贝lA=0;贝次=0,但AM.若T=A,则A=0或A=E;解取 A=/，贝I A2=A,但 AwO 且 Aw

18、E(3)若 AX=AR 且 AM,则乂=孔解取贝AX=AK 且 AwO,但 XwV.7 .设A=（；，），求T,篦，屋.解仪;羽?（A &修羽?）,(X 10)8 .设4=021,求屋.(00解首先观察1 A o zoo V A 012o) u2222203223o 无o oA4=A3-A=A5=A4-A=4/矛05/犬06浦4龙，Ak =%(k-1)#2尤用数学归纳法证明：当k=2时，显然成立.假设女时成立，贝廉+1时,Ak+= Ak - A=OAlJ 1 z o瞪o(k+T)k2(Z+1)犷无+1(2+ l)无 T=000由数学归纳法原理知：似k光T丝朽2、2Ak=0无k-.00无79 .

19、设48为阶矩阵，且A为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明因为A7=A,所以(BrAB)T=Br(BTA)T=BTATB=BrAB,从而8TAB是对称矩阵.10 .设A 8都是阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明充分性：因为人口从雇力，且所以(AB)t=(BA)t=AtBt=AB,即AB是对称矩阵.必要性：因为at=a,bJb,且(ab)/=a氏所以 AB=(AB)r=BrAT=BA.11 .求下列矩阵的逆矩阵：。1)解 A；|lA|=l,故存在.因为5-2-21o/cos6-sinY，(sin6 cosO解A=(；需蓝油.囿=1或故a-1存在.因为A*_(Al AiVf

20、 co& s i6一1&2%r 1-siS co”所以上端4*=信。1外fl 2-1A34-2;15-41 Jfi 2-n解 A=34-2.|A|=2wO,故AT存在.因为(5-41 Jo1-27-420-136-1-3214-2123 AAA-1234 A-4123 fAAmA*213216*A 171a.ay -an M).(4)40A=%.,由对角矩阵的性质知0Ian)fl )0I%”12 .解下列矩阵方程:(1)解X=(3用不)6砥第6)=(广京f21一0 X 210=3(1U -1 U01)3-230)(14YY31 Y 201-12乂o -iA-11J_(2-4Y31 Y101-1

21、2U 1A0-1A12JI0!J_(6 6Y1 阴1213 0人 1 2)1 -4 32 0-1 -2 0gig? OOI loo Y1 3 7 00-22 11 7O-4-2-13 o11 1 =C10JOOIrlo ”3-1Oo O 1looXMV o 1/9 1 OYvi -4o 11 o o1 o0-22 11 Mu o V1 o O rol O(4)o o1 okx =13 .利用逆矩阵解下列线性方程组:f不+2工2+3七=1(1)2百+2x”5$=2;3%+5%2+七=3解方程组可表示为3丫百)5%1人无935VI x 从而有4%2=0.=0百一/一七=2(2) nA(A石)=2石

22、nA-A(A-E)=2A-Z= A-=1(A-E),又由 A2-A-2E=On(A+2E)A-3(A+2E)=-4E=(A+2E)(A-3E)=-4 E,所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)(A+2石尸=；(3石一A).16 .设 A 为3阶矩阵，|A|=；,求|(2A尸-5A*|.解因为m=La*,所以|A|(2A)T 5A*R： A-1一5| A| A-】|=|-2AT|=(-2)3|A=-8|A=8x2=16.17 .设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且(A*)-1=(A-1)*.证明由AT=A*,得A*=|A|A，所以当A可逆时，有|A|以*|=囿“以一

23、|二囿7。0,从而A*也可逆.因为A*=|4，所以(A*尸=|ApA.XA=-(A-ir=lAl(A-ir,所以(A*)-1=|Ar1A=|Ar1|A|(A-1)*=(A-1)*.18 .设阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：若=0,则|A*|=0；(2)|A*|=|Ar1.证明用反证法证明.假设|A*|M,则有A*(A*)T=E,由此得A=A A*(A*)T=|A|风A*1。,所以A*=O,这与|A*|M矛盾，故当|A|=0时，有|A*|=0.(2)由于M=a*,贝iJAA*=|A|E,取行列式得到1川AA*=An.若|A|M,则|A*|二|Ai;若网=0,由知|A*|=0,此时命题也成立.因此

24、以*1=囿”!(033、19 .设4=110, AB=A+2B,求21-123；由 AB=A+2E 可得(A-2E)B=A,故3、 3 . ojB=(A-2E)lA= 1 -1 0-1 2 1J1-12(233丫70320.fl设人=01n0, K AB+E=A2+B,求 A1J解由AB+E=A1+B得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).因为14石上looo 1 oOOI=-1*0,所以(A-E)可逆，从而(2 o n B=A+E=030.(102)21 .设4=diag(l,-2, l),A*BA=2BA-8瓦求 A0 0 0 8 o o 1 o o 1 0-311

25、 cur I解由A*8A=284-8后得(A*-2E)BA=-SE, B=-8(A*-2E)-1A-1=-8A(A*-2E)-1=-8(A4*-2A)|=-8(|A|E-2A)-1=-8(-2-2A)-1=4(E+A)-1=4diag(2,-1,2)-1=4dia(,-l,l)=2diag(l,-2,1).22 .已知矩阵A的伴随阵A*=K ABA_1=BA-,+3,求反解由|A*I=|A=8,得囿=2.由 ABAT=8AT+35得AB=B+3A,8=3(A-E)Ta=3A(E-A”么=3(E-1A*)-1=6(2E-A*)-1A 求o 2A、 / o o o T 0 0 6 0 0 6 0

26、3 6 0 6 1 =T 7 o o 0-6 o o 1 o 0 10 31 o T o/ 6 -23.设 P-AP=A,其中 P=(1 一；解由 P-4P=A,A=PP 所以 A=A=PA“pT.A11(1 4、 r-1 -4Y-1 ol 3 3 I 1认0 2二,I 3 3 J(2731-6832732、-684724.设 AP=PA,其中 P=求双4)=屋(5石-6A+A2).解(A)=A8(5E-6A+A2)=diag(l ,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(l ,1,25)=diag(l ,1,58)diag(l 2,0,0)=12diag(l

27、,0,0).奴 A)=P 奴 A)P-君 P0(A)P*Y-2-22、-303、八 A-l 2-1Jfi i n=4iii .In ij25.设矩阵A、B及A+B都可逆，证明A-l+B-也可逆，并求其逆阵.证明因为AA+B)Bl=Bl+Al=ATl+Bi,而A-A+B)B-是三个可逆矩阵的乘积，所以A-A+B)B-可逆,即1田可逆.(A-1+B_，r1=A_1(A+JB)B_1-|=B(A+B)-|A.113 3- -3 2 2 0 -O 1 o O1 o o O10 2 02 10 01 o o OZT算 计、/解设4=()，b2=-o-3(04人。吠厂(o b2 y而 AB+B,=32+2

28、 O2452332 T 3-95240-2100Io Uo b2 o a2b2 I2439-5240-21001 o o o z/nnk-1133-3220 o 1 o o 1 o o o10202100 loo所以即27 .取A=3=C=D=（j jj,验证能|q |p）o 11 o o 22 o一一o 111 o0-1 1-1o =o 1 1 oDo|A|Bi l 1|C|问一11-u，A Bl |A|BC CD -（34028 .设A=4-3求|不|及M、22,解令A=qy，e（羽，I屋日用I段IHAHAPTCF.、 o24 026 24Jf54 00 540fA4。）=I。尚厂A4 =

29、29 .设阶矩阵A及s阶矩阵8都可逆，求-i(1)GGGGf l-Ao03/n设解。r l=XX17GGA DoG 1 , 1 任A-oo氏 - -GG|1 =OA-1Ao o 3E。耳-GGGGA A Do Br03 S -0025-2500-1200-/ I=、B-A 0V_( A- OB)-B-CAr B-)-所以30.求下列矩阵的逆阵:003200852100 o o 14Jo o 1-3 n 201-21-65%11-21-21-8第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵：fl 02-1(1) 2031;(304-3；2, ri+r3.)z(fofo000、01

30、0.001J-31-43;一7-1J2-31、343(下一步：r2x2+(-3)ri, r3+(-2)r,.)4-7-1J2-31、013(下一步：r3+r2, r|+3r2.)-3J2010、013(下一步:)00 oj105013.00 oj(-13-43、3-35-412-23-2013-34-2fl3213-13-35-23-34- 43、- 41- 20(下一步：升2-3打，%-34.)一2-L3-8648634-31000 loozf(下一步：/2+(-4), n+(3),4+(-5).)-510-10（下一步：ri-3r2, r3-r2, r4-r2.）4222 z -31114

31、0001 oz/no（下一步：八一2r2,n-3,2, r4-2r2.）（下一步：/2+2八，%-朋，r4-lr,.）32002200-o 1 o oo o o o o oxp 4 o-3234-r2187-2-332I14-12-1 oJy21（下一步：2x（-1）, r4-r3.）（下一步：/2+办）1244-11111112001-8-7-12440_o-ll o2 T o o o 1 o o2234 o o o 1 o 2 T o o o 1 o oA求369258147-A 71111o 1 olooz/lnvA -Mu o V loo rol Nz(010、解100是初等矩阵风1,2),其逆矩阵就是其本身. I。D1 o no 10是初等矩阵风1,2(D),其逆矩阵是loo 1J(1, 2 -1)= 7T o 1O 1 Oo o ) 7 -1O 1 O 1 O1 o O V A 3 6 9 2 5 8 14 7 zf k OOI loo4 172 2 25 2 86 3 95 2 83.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:153212q 33、l7Mu o 17o 1 o11