函数精讲课件.docx

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1、函数 y=Asin （ gdx+（J）（精讲）知识点精析【知识点的知识】1 .五点法作y=Zsin (CM+tp) (J0, a0)的简图找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为: (1)先确定周期7=，在一个周期内作出图象；(2)令X=3x+(P,令X分别取0, , n,型L, 2tt,求出对应的x值，列表如下: 22X-曳 3-A+2L 3 23兀-。 co34_ 03 CO2兀-0 3a)x+(p0n Tn3兀 22tuy=Jsin（3C+Q）0A0-A0由此可得五个关键点；(3)描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y=4sin

2、(3+0)的简 图.2 .振幅、周期、相位、初相当函数(3x+0, o)0), xG ( - , +8)表示一个振动量时，则比叫做振幅，7=2T3叫做周期，叫做频率，3吐里叫做相位，隼叫做初相.函数y=4cos(3x+(p)的最小正周期为二，y=Atan ()的最小正周期为丁二例题精讲【例题1(2021春静宁县校级月考)已知函数y = 2sin(2 + ).2 6(1)试用“五点法”画出它的图象；列表:1几-X + 一 26Xy作图:0.8 -0.60.40.2-I I I I II i I I I I I I i I I I I I I I I I I I I In O -ji2n冗 4n5

3、九2冗加阮3冗 12支“3 -0 2 -333T3333- 0.4 - 0.6 - 0.8 - 1 - 1.2 -(2)求它的振幅、周期和初相；(3)根据图象写出它的单调递减区间.【分析】(I)根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期的大致图象即可：(2)根据振幅、周期和初相的概念，由解析式直接写出；(3)由图象直接写出，注意最小正周期为41.【解答】解析：令/+2列表如下:Xn 32乃T51T84T11万Yt0n5nT2乃y020-20(3)由图象得单调递减区间丝+ 4, + 4k(k e Z).【点评】本题考查了 “五点法”作图，三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角

4、函数的图 象的基本步骤画出图形，是基础题.【例题2】(2021秋道里区校级月考)某同学用“五点法”画函数/(x) = /sin3x + s)(40 , 00,|夕|1)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：cox-(p0n 2n3乃T2万X357r3Xsin(2666636所以 g(x) = - 2 sin 2x - 2a sin x + 2a cos所以 g(x) = sin 2x - a(sin x - cosx)-gq - 1 BP g(x) = 2sinxcosx - a(sin x - cosx)-a,令 Z = sinx-cosx =2 sin(x -),4则 2si

5、nxcosx = l?/,所以原函数转化为)=1 一一点一;Q一 1 = 一/一改一；,因为生二, 2 2所以止-&,1b 因为函数) = -/ -a，-ga的对称轴为/ = - ,- 6函数的最小正周期T = g = ”,函数/(x)的值域为-3, 3,令一工+ 2万.2x- - + 2k7r , k eZ ,26 2解得一工+人阳.x,上+ k九，所以函数f(x)的单调递增区间为-2+ k兀,+ k7i(k g Z), 63令2x工=左乃，k eZ ,6解得+, k e Z i122所以函数/(x)的对称中心为(4 + 9, 0)( E Z),因为 f(x) = 3sin(2x-) = 3

6、sin2(x-), 612所以函数/(x)的图像可由函数y = 3sin2x向右平移合个单位得至人列表如下;Xn1271T7乃775万 T131 V2_71ZX 60兀7U3万 T2乃y030-30描点、连线如图所示:故答案为：n : -3, 3 ； - + k7t, - + (JteZ)： (+ , 0)( e Z)；.6312212【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，五点法作函数y = 4sin(0x + g)的图象，考查运算求解能力, 属于基础题.【例题4】(2021春石景山区校级期中)将函数y = sin2x向右平移。个单位得到函数y = /(x).(I )求、=/(X)的解析式

7、；(II)用“五点法”做出函数y = /(x)在一个周期内的函数图像.【分析】(I)利用三角函数的图象变换求解即可；(II)确定关键的“五点”的坐标，作出函数图象即可.【解答】解：(I )将函数y = sin2x向右平移?个单位得到函数歹= /(x) = sin2(x-?) = sin(2x-日),所以 /(x) = sin(2x -)；(II)五点为：6,0),塔,1)彦,0),(粤,-1),件,0), 3126123作出一个周期的图象如图所示.【点评】本题考查了三角函数的图象变换的应用，三角函数图象的作法，解题的关键是确定关键的“五点”, 考查了逻辑推理能力，属于基础题.【例题5】(202

8、1春洛阳期中)已知/(x) = 2sinx(sinx + cosx).(1)求函数/(x)的单调递增区间及最大值；(2)用“五点法”画出函数y = /(x)在区间0,上的图象.【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦 函数，进而利用正弦函数的性质即可求解.(2)用“五点法”列表，描点，连线即可.【解答】解：(1)/(x) = 2 sin x(sin x + cos x) = sin 2x - cos 2x +1 = 41 sin(2x - -) +1 ,4可得f(x)的最大值M =V2 + 1 ,2k7r - 2x - -2k 7T + ,

9、 k ez t 求得 人乃一工.，十 2, k sz ,24288故函数的增区间为公r-生，k7t + , kwz .88(2)由题意列表如下:X0n3乃T51-87乃TnC乃2x4冗0几 2TCTInTf(x)01V2 + 111-V20描点连线可得函数图像如下:【点评】本题考查了五点法作函数歹=4sin(3x + p)的图象和正弦函数性质的运用，属于基础题.【例题6】(2021和平区校级开学)已知函数x) = 2sin(2x +马.6(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数“X)在0,乃上的图像；(2)将函数y = /(x)的图像向右平移工个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原

10、来的2倍，纵 6(2)根据三角函数的图象平移变换关系求出g(x)的解析式，结合函数的单调性进行求解即可.【解答】解： /(x) = 2sin(2x + ),列表如下:6X0n654In TU乃 V2nc冗2x + - 6冗 6n2n2万131 12/(X)120-201描点连线画出函数/(x)在一个周期上0,幻的图象如图所示:(2)将函数y = /(x)的图像向右平移C个单位后，可得y = 2sin2(x-&) + C = 2sin(2x-2)，6666再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y = g(x) = 2sin(x-工)的图像，6令 2k 兀,x” 2k

11、7T H , k eZ、262解得 2k兀- x. 2k兀 + , k e Z , 33可得g(x)的单调递增区间为：2-1, 2 + , kwZ .【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了三角函数的图象平移变换关系，利用五点法作图结 合三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题.【例题7(2021西城区校级开学)某同学用“五点法”画函数/(x) = Asin(yx +(pAG,(oQ,(p-)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：cox(p0n 2n3乃22/rXn2万 Ty = A sin(69x + (p)0200(1)请将如表数据补充完整；函数/(x)的解析式为/

12、(x)=_2sin(2x +马_ (直接写出结果即可); 6(2)求函数的单调递增区间.【分析】(1)由函数的最值求出力,由周期求出。，由五点法作图求出0的值，可得函数的解析式.(2)利用正弦函数的单调性，求得函数/(x)的单调递增区间.【解答】解：(1)把表格填完整：a)x + (p0n2n31 T2万X7112n7II24T1ny- A sin(69x + (p)020-20根据表格可得、生=生-2, 2 a) 36：.(D = 2 再根据五点法作图可得2xC + / =工，6271(P =,6函数的解析式为：/(x) = 2sin(2x + -).6(2)2x + p, 2 + 1,求得

13、版gx,可得函数/(x)的单调递增区间为-工+观，兀 1.-+ K7t 9 k eZ .故答案为：2sin(2x + -).6【点评】本题主要考查由函数y = Xsin(5 + /)的部分图象求解析式，由函数的最值求出4,由周期求出。， 由五点法作图求出夕的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题.例题 8(2021 让胡路区校级开学)设函数/(x) =-yfisin2 cox-sinxcosux( 0),且y = /(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为巴.4(1)求o的值；(2)用“五点法”作出函数“X)在区间0,句上的图像.【分析】(1)利用二倍角的三角函数公式与辅助角

14、公式对函数进行化简，得x) = -sin(23x-2),由题意 得函数的周期为T = Ax =兀，利用三角函数的周期公式加以计算可得。的值；4(2)根据五点法即可作函数y = Zsin(s + /)的图象.【解答】解：(1)f(x) =yli sin2 cox - sin cox cos cox百 rr 1 -cos2tyx 1 , c73sin 2 coxcos2a)x-sin2(ox 2=sin(26yxy),因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为c, 4又30 所吟=4十 因此刃=1.(2)由(1)可得y = -sin(2x-?),2x- 3710n 2冗34V5乃TX0n6772

15、乃T1 n 2ny百 T0-I01百 T或者化为y = cos(2x +令,2x + 6n7n27t37r 22/r13万X0n71227TT1 n 2ny百 20-101百 21 i u111II4.A. Vr 111r -! i /r -TN1Ni!： /11/I !：1 : /: 0一架一5兀刍.L11兀 126A；12力3；3y s 1 ?! ! !;I 一【点评】本题考查了五点法作函数y = 4sin(ox + 9)的图象、三角恒等变换公式、三角函数周期公式和正弦 函数的图象与性质等知识，属于基础题.【例题9(2020秋鼓楼区校级期末)已知函数/(x) usinZxQcos。-D +

16、 cosZxsinMOv夕 ”)图象的一条对称轴为x = &.3(1)求。的值与函数x)的解析式；(2)在(1)的前提下，(i )根据“五点法”填入表格中空白部分数据，并画出函数x)在xw-卫，工的图像：12 6X_7 12(ox +(p0nIn 6f(x)0i0(ii)若xe-主，5时，方程/(x)-m=0有两个不同的实数解x2,求实数m的取值范围及占+x2的12 6值：(3)已知函数g(x) = /(经-2) + cosox在区间0, 1上恰有50次取得最大值，求正数。的取值范围.【分析】(1)对函数解析式进行化简，利用对称轴，建立方程，解得9,进而可得函数解析式.(2) ( i )利用五

17、点法列表格.(ii)作出xe-主二时，x)的图象，结合图象解得胆的取值范围，进而可得X?关于x =-三对称, 12 66即可得出答案.(3 ) g(x) = f( -yy) + cos cox = & sinx + ()，若 g()取得最大值，则 sin(sr 4-) = -y- 函数 g(x) = /(掾-O + cosgx在区间0，1上恰有50次取得最大值，则等价于 = sinx + ?),在区间0，1 上恰有50次取得上，列出不等式，即可得出答案.2【解答】解：(1) f(x) = sin2x(2cos ( i ) - -1) + cos2xsin(0(p7r),f(x) = sin 2

18、x cos cp + cos 2x sin 勿=sin(2x +(/),因为08乃，图象的一条对称轴为 =工，3 jrjr所以2x +夕=%乃+ , k eZ32所以q =左力_A, keZ因为0e乃,所以k=1时，(p = n- - =, 66即 /W = sin(2x + )6(ii )若卫二时，方程/(x)-加=0有两个不同的实数解芭，x2, 12 6则机的取值范围为1),函数人无)在-去 会上的对称轴为工=-7，所以石,关于对称,所以 M +% =2x(-) = -、 63/、 /、 C/SX 5乃.d 5乃 5乃(3) g(x) = / () 4- cos cox = sin2()

19、HJ + cos cox = sin cox + cos(ox2122126=5/2 sin(6?x + ), 4若g(x)取得最大值，则&sin(ox + X) = l ,即 sin(yx + ?)=因为函数g(x) = f号-11) + cos s:在区间0 , 1上恰有50次取得最大值，则等价于丁 = $出(。工+生)，在区间0, I上恰有50次取得也，函数y = sin(qx + X)的最小正周期F =, 4co所以257 +J 102coik 1 _ 27r 7T (、/ 2 1 日以 25 x + , 1 0,00)的最大值为3,其图像相邻 6两条对称轴之间的距离为三.2(1)求函

20、数f(x)的解析式和函数/(x)的单调递增区间；(2) /(x)的图像向右平行移动专个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g(x)的图像，写出函数g(x)的解析式并作出g(x)在0,%内的图像.2-【分析】(1)由函数的最值求出力,由周期求出。，可得函数的解析式，从而利用正弦函数的单调性，求 得它的增区间.(2)由题意利用函数y =，sin(ox + s)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，结合五点法作图，得到它在0, n内的图象.【解答】解：(1) .函数/(x) = /lsin(0x-) + l, (40,00)的最大值为 4 + 1 = 3, 6A = 2 .其图像相邻两条对称轴之间

21、的距离为1乂生=工，.。=2,故/(x) = 2sin(2x-X) + l. 2 (026令 2k兀-工,，2x 一工” 2k汽+工, 求得 A;r 一工,工，%乃+工, 26263可得函数的增区间为公r-生，&万+2,keZ. 63(2)把/(x)的图像向右平行移动个长度单位，可得y = 2sin(2x-10 + l的图象；再向下平移1个长度单位，得到g(x) = 2sin(2x-?)的图像，故函数g(x)的解析式为g(x) = 2sin(2x-y).下面用五点法作图作出它在0,%内的图像.列表：由 xeO, n,可得 2x-g-g,八兀2x3n0n 27t31 T51 TX0n 654 n

22、2万 T1U n7Cyy/i020-2-73作图如下:【点评】本题主要考查由函数y = /sin（ox +夕）的部分图象求解析式，由函数的最值求出Z,由周期求出0.还考查了函数y = 4sin（ox +夕）的图象变换规律，五点法作图，于中档题.举一反三【变式1(2020秋鼓楼区校级期末)已知函数/(x) = Jsin(2x-?).(1)利用“五点法”完成以下表格，并在下图中画出函数/(x)在区间工，里上的图象; 8 8(2)求出函数“X)的单调减区间._712x40冗2n3万TX7T749乃Tf(x)0600【分析】(1)由题意根据五点法作图，画出函数/(x)在区间弓，系上的图象.(2)由题意

23、利用正弦函数的单调性，求得函数“X)的单调减区间.【解答】解：对于函数/(x) = JIsin(2x-?),在区间亨,上，2x-?0, 2汨,列表：c兀2x40n 2n3/r 22乃Xn3乃57rIn9兀88888fM0V20x/20作图:(2)2kn + M 2x- - 2kjr + - 求得人乃十二,，工，人乃 十，2428827r77r可得函数/(x)的减区间为伏力+把， + , kwZ .88【点评】本题主要考查由函数y = Xsin(Ox + 9)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出4 ,由 周期求出。，由五点法作图求出夕的值，属于中档题.【变式2(2021春顺德区期末)已

24、知函数/(x) = 3sin(0x + s) , (o0 , (p0,00,|何x + (p)020-20根据表中已知数据可得：A = 2,函数表达式为 /(x) = 2sin(2x + ).6(2)由(1)知/(x) = 2sin(2x + X),6/. g(x) = 2 sin2(x + ) + = 2 sin(2x + 为,1263.y = sinx的对称中心为(左肛0), k eZ ,令2工+工=，k e九,解得“伊-专，keZ ,即尸g(x)图象的对称中心为仔-2,0), keZ ,其中离原点O最近的对称中心为(-,0).【点评】本题主要考查了五点法作函数 = /sin(0r + 0

25、)的图象，由y = 4sin(5 + w)的部分图象确定其解析 式以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题.【变式4(2021春奉贤区期中)已知函数= 45由(5 +夕)(40, 00 , |1)在一个周期内，当X.时，y有最大值为2,当x = g时，y有最小值为-2.(1)求函数y = /sin(5 + 9)表达式；(2)并画出函数y = 4sin(s + 0)在一个周期内的简图.(用“五点法”)；（3）当xwO, g时，求函数的最值.【分析】（1）根据题意得4 = 2,周期为7 =，求出。=2, k eZ ；6,62解得e=巳+ 2%乃，k e Z 9结合| k w Z ,可得函数/

26、(x)的单调递增区间是-工+左;r, - + kn, keZ . 36(2) f (x) = cos(2x-) 列表如下:2x- 37T一10n 27T37r T5兀 TX0n 777T1 n 12nx)1210-10_2作图:【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，用五点法作函数函数y = 4cos()x + )在一个周期上的简图，属 于基础题.知识点精析【知识点的知识】函数y=sinx的图象变换得到y=Zsin（3x+） （J0, 30）的图象的步骤法二平移31个雌位一同一画出,v=、inx的图柒横*I，标变为晚来的倍得到=sin（.t+g的图象横啜标变为蛆来的白倍向左（p 或 向右平移*1

27、个小位sin(n+o）个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的.3例题精讲【例题1】（2021秋金台区期中）已知曲线G :y = cosx,C2:y = sin（2x + ）,则下面结论正确的是（ 6上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向左平移II个单位长度，得到曲线CB.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向左平移区个单位长度，得到6曲线GC.把0上各点的横坐标缩短到原来的g倍,纵坐标不变,再把所得曲线向左平移工个单位长度，得到6D.把G上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移工个单位长度，得到 123曲线G【分析】

28、利用诱导公式，函数y = Zsin(5 +的图象变换规律，得出结论.【解答】解：曲线。2 ：力= sin(2x +区)= cos(2x +工) = cos2(x + &), 636把G：V = cosx上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，可得y = cos2x的图象，再把得到的曲线向左平移工个单位长度，可以得到曲线C2：y = cos2(x + ) = sin(2x +红)的图象， 666故选：C.【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y = 4sinx +的图象变换规律，属于基础题.【例题2】(2021秋泰兴市期中)把函数y = sin(x-生)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标

29、不变，再把所得曲线向右平移。个单位长度，得到函数y = /(x)的图象，则/(x) = ()a /X 5乃./X 71、A. sin()B. sin()2 122 12C. sin(2x-D. sin(2x-jy-)【分析】由题意利用函数y = Zsin(s + e)的图象变换规律，得出结论.【解答】解：把函数y = sin(x-工)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，4可得y = sin( -工)的图象；再把所得曲线向右平移。个单位长度，得到函数夕=X)=5呜-$呜-总的图象, 故选：A .【点评】本题主要考查函数y = Zsin(s + 9)的图象变换规律，属于基础题.【例题3

30、】(2021秋绵阳月考)把函数/(x) = 3sin(2x +工)的图象向右平移工个单位长度，再把横坐标66缩短到原来的,倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(xJ = g(X2)-6 , X1 , x?,则再-马的最大值为()【分析】先根据图像的平移变换、伸缩变换的规律求出g(x)的解析式，然后根据正弦函数的性质求出g(x)的 最值点的横坐标，根据给的范围求出结果.【解答】解：将/(x)的图象向右平移工个单位，得到y = 3sin2(x-工) + K = 3sin(2x-K), 6666再把横坐标缩短到原来的-倍，得到g(x) = 3sin(2-2x-) = 3sin(4x-), 266由题意，要使g(M)= g(