2011届高考数学总复习-第2单元--函数及其性质课件(理)苏教版.ppt

《2011届高考数学总复习-第2单元--函数及其性质课件(理)苏教版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届高考数学总复习-第2单元--函数及其性质课件(理)苏教版.ppt（97页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二单元第二单元 函数及其性质函数及其性质知识体系知识体系第一节第一节 函数及其表示函数及其表示基础梳理基础梳理1.函数的概念设A、B是非空的 ,如果按照某种 ,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有 和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.记作 .其中,所有输入值x组成的集合A叫做函数的 ;对于A中的每一个x都有一个 与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的 .数集对应法则f唯一的元素yy=f(x),xA定义域输出值y值域2.构成函数的三要素:、和 。3.两个函数相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域B和对应关系f.定义域和对应关系为函数的两个基本条件,当且仅当两个

2、函数的 和 都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.4.常用的函数表示法(1)(2)(3).5.分段函数若一个函数的定义域分成了若干个 ,而每个 的 不同,这种函数称为分段函数.定义域对应法则值域定义域对应关系解析法列表法图象法子区间解析式子区间6.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的 元素,在集合B中都有 的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射.记作 。每一个唯一“f:AB”典例分析典例分析题型一题型一 函数的概念函数的概念【例例1 1】设函数f(x)=求f(-4);f()=8,求分析 这是分段函数的变换问题，需要结合定义域作

3、数值代换。解 综上所述，学后反思 本题是在已知分段函数的解析式的前提下，通过给出自变量（函数值），确定函数值（函数值）这也是在近几年高考中考查函数概念的常见题型，解决这类问题的关键是要理解函数的定义：自变量确定，有唯一的函数值与之对应，函数值确定，可能有多个自变量与之对应，同时，面对分段函数一定要结合定义域分段考虑举一反三举一反三1.已知符号函数sgnx=,则不等式（x+1）sgn的解集是 。解析：不等式（x+1）sgn x2,可化为 或 或解得x1或x-3,解集为x|x1答案：x|x1题型二题型二 判断两个函数是否相同判断两个函数是否相同【例例2 2】试判断以下各组函数是否表示同一函数.xx

4、g(x),1xx(x)(4)*);N(n)x(g(x),x(x)(3)0);1(x-0),1(g(x),|x|(x)(2);xg(x),x(x)(1)21n-21n21n21n2332+=+=ffff举一反三举一反三2.下列四组函数,表示同一函数的是 .解析 中两函数定义域不同,中两函数定义域不同,中两函数定义域不同,中两函数定义域相同，对应法则也相同.答案：f(x).3x,x1f2f(x)f(x)(3)f(x);lgx,1)2(f(2)f(x);,x1x)x1f(x(1)22求）（满足已知求已知求已知=+=+=+x题型三题型三 求函数解析式求函数解析式【例例3 3】分析 (1)用配凑法;(2

5、)用换元法;(3)用方程组法.解(1)把中的x换成学后反思 函数解析式的常见求法有:(1)配凑法.已知f h(x)=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.(2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），比如二次函数可设为f(x)=+bx+c(a0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列出方程组,解出a、b、c即可.(3)换元法.已知f h(x)=g(x),求f(x)时，往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元，便可求解.(4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未

6、知量,如 等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).举一反三举一反三3.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);（2）已知g(x)=1-2x,.解析 (1)设f(x)=ax+b(a0),由3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,得3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=2x+17ax+5a+b=2x+17，(2)令g(x)=1-2x=,得题型四题型四 分段函数的应用分段函数的应用【例例4 4】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收

7、基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%,若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x7)吨，试计算本季度他应缴多少水费？分析 在本题中，用水量（自变量x）属于不同范围时有不同的缴费办法，所以应分段计算水费.解 用y表示本季度应交水费（单位：元）.当0 x5时，=1.3x3当5x6时，应把x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分收基本水费1.35，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.3(x-5)+1.3(x-5)200%=1.3(x-5)(1+200%)，=1.35+1.3（x-5）(1+200%)=3.9x-137

8、当6x7时,同理：=1.35+1.3(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.611综上可能 学后反思 对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关系，再结合在一起，注意要使各区间的端点既不重复又不遗漏.举一反三举一反三4.为刺激消费，某商场开展让利促销活动，规定：顾客购物总金额不超过1000元，则享受一定的折扣优惠，折扣按下表累计计算：20%超过500元的部分 10%不超过500元的部分 折扣率可以享受折扣优惠的金额（购物金额超出1000元的部分）例如，某人购物1300元，则享受这口优惠的金额为（1300-1000）元，优惠额300 10%=30，实际付款1270元。（

9、1）某顾客购买了1800元的商品，它实际应付款多少元？（2）设某人购物总金额为x 元，实际应付款y 元，求y 关于x 的函数解析式解析 （1）若顾客购买了1800元的商品，则实际付款为 100+500（1-10%）+（1800-1500）（1-20%）=1690（元）（2）当 元时，应付款 x 元;当 元时，应付款 当【例例】已知 错解 由已知得 易错警示易错警示错解分析 在使用直接配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域的变化致错.也就是说,在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换.正解 由已知得10.如图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(

10、终点)移动,设P点移动的路程为x,ABP的面积为y=f(x).求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式.解析：由题易知函数的定义域为(0,12).当0 x4时,S=f(x)=4x=2x;当4x8时,S=f(x)=8;当8x-2x的解集为（1，3）.若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式.12.经市场调查得知，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t)=80-2t（件），价格近似满足f(t)=20-(元）。（1）是写出该种商品的日销售额y与时间（）的函数表达式；（2）球该种商品的日销售额y的最大值与最小值

11、解析 由方程f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=-(2+4a)x+3a因为方程f(x)有两个相等的实根，所以 -(2+4a)x+9a=0即 -4a-1=0,解得 a=1或a=-易知 a0,故舍去a=1,将a=-代入得 f(x)的解析式为f(x)=解析 （1）y=g(t)f(t)=(80-2t)(20 )=(40-t)(40-)=(2)当 时，y 的取值范围是 ，当t=5时，y 取得最大值为1225；当 时，y的取值范围是 当t=20时,y取得最小值为600 所以日销售额的最大值为1225元，最小值为600元 第二节第二节 函数的定义域与值域函数的定义域与值域基础梳理基础梳理1.在函数y=f

12、(x),xA中,x叫做自变量,叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,1.叫做函数的值域.2.2.函数的定义域的常见求法(1)分式的分母 .(2)偶次根式的被开方数 .1.(3)对数的真数 ,底数 .x组成的集合A函数值的集f(x)|xA不为零大于或等于零大于零大于零且不等于1(4)零次幂的底数 .(5)三角函数中的正切函数 .(6)已知函数f(x)的定义域为D,求函数f g(x)的定义域,只需 .(7)已知函数f g(x)的定义域为D,求函数f(x)的定义域,只需要求 .不为零g(x)D.g(x)的值(xD).典例分析典例分析题型一题型一 函数的定义域函数的定义域【例例1 1】求函

13、数 的定义域.举一反三举一反三 1.求下列函数的定义域解析 （1）定义域为 x|1x2 （2）定义域为分析 只需要使解析式有意义,列不等式组求解解 要使函数有意义,则只需要即 解得-3x0或2x 0,b0 a+b(或ab)为定值；取等号条件 a=b三个条件缺一不可.(5)函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，当利用不等式法等号不能成立时，可考虑用函数的单调性。(6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，形如 ，可联想两点 与 连线的斜率。(7)函数的有界性法形如y=，可用y表示出 sinx，再根据 ，解关于y 的不等式

14、，求出y 的取值范围举一反三举一反三(8)导数法设 y=f(x)的导数为 ，由 可求得极值点坐标，若函数定义域为 ，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值或最小值2.求下列函数的值域.解析 (1),定义域为-2,8.又函数为增函数,值域为(2)+(2y-1)x+2y-1=0,当y=0时，方程 有解x=-1；当y0时,xR,=(2y-1)2-4y(2y-1)0,即(2y-1)(-1-2y)0,(3)原式化简得 ，显然y0,即值域为（0，1）。题型三题型三 函数的最值函数的最值【例例3 3】(14分)已知函数 ,x 1,+).(1)当a=4时,求f(x)的最小值;(2)当 时,求f(x)的最

15、小值;(3)若a为正常数,求f(x)的最小值.分析 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用基本不等式求解,但须逐一验证应用基本不等式所具备的条件.若条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.(3)函数 在(0,上是减函数,在 ,+)上是增函数11若 1,即a1时,f(x)在区间 1,+)上先减后增,f(x)min=f()=2 +2；若 1,即0g(x)时,求函数 的最小值.解析 (1)由已知得 于是 =2,b=2，k=1,b=2.(2)由f(x)g(x),得x+2 -x-6,即(x+2)(x-4)0,解得-2x+=+=0,f(x)=是R上的偶函数。（1）求实数a的值；（2）求证：f(x)在（0，

16、+）上为增函数。解析 （1）依题意，对一切xR,有f(-x)=f(x).即 不可能恒为0，a0,a=1(2)证明：方法一（定义法）设=，f(x)在(0,+)上为增函数。f(x)在(0,+)上为增函数。方法二（导法):a=1,x(0,+),题型二题型二 求函数的单调区间求函数的单调区间【例例2 2】求函数f(x)=x+的单调区间分析 利用定义法或导数法.解 方法一:首先确定定义域:x|x0,在(-,0)和(0,+)两个区间上分别讨论.任取x1、x2(0,+)且x1x2,则要确定此式的正负只要确定 的正负即可.这样,又需要判断 大于1还是小于1.由于x1、x2的任意性,考虑到要将(0,+)分为(0

17、,1)与(1,+).(1)当x1、x2(0,1)时,0,f(x2)-f(x1)0,f(x2)-f(x1)0,f(x)为增函数.同理，(3)当x1、x2(-1,0)时,f(x)为减函数;(4)当x1、x2(-,-1)时,f(x)为增函数.方法二:f(x)=1-,令f(x)0,得x21,即x1或x-1;令f(x)0,得x21,即-1xb0),求f(x)的单调区间.解析 在定义域内任取 则分析 根据题目中所给的关系式，通过赋值、变形、构造,寻找 与 的关系.解 (1)证明：设 ,，2 ,5f(x2)f(x1),即f(x)是R上的增函数6 ab0,b-a0时,f(x)1.(1)求证:f(x)是R上的增

18、函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3 -m-2)3.(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3,8原不等式可化为 .10f(x)是R上的增函数,.12解得-1m ,故解集为(-1,).14学后反思 (1)抽象函数的单调性问题一般是给出一个关于抽象函数的关系式,再给出函数的某些信息或性质.处理这种问题的关键是根据所求,利用所提供的信息,对关系式进行恰当的赋值、变形、构造,不断产生新的信息；同时,式子的形式也不断接近目标的形式.但要注意函数定义域不能扩大或缩小.(2)第二步是利用第一步的结果,去求进一步的问题,往往是通过合理变形,根据单调性脱去“f”,得到具体的代

19、数式,然后进行求解或论证.举一反三举一反三3.（创新题）设函数f(x)是R上的增函数，令F(x)=f(x)-f(2-x),F(x)在R上为增函数，且 求证：.证明：F(x)在R上是增函数，.易错警示易错警示【例】【例】求函数的 单调区间，并指出在每一单调区间上的单调性。错解 设 ，则 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数。错解分析 由于忽略了对数函数的定义域，而求错函数的单调区间。正解 由 ，解得函数的定义域为（-，1）（3，+).设 ，则又 ，故由二次函数的性质知：当 时，为增函数，当 时，为减函数。因为函数定义域（-，1）（3，+）且 为减函数，所以函数 在（-，1）为增函数，在（3，+

20、）上为减函数。考点演练考点演练10.已知是定义f(x)在上 的奇函数，若 时，判断函数在 上的单调性。解析 任取=f(x)在 上是增函数解析 当x1或x-1时，当-1x1时，有函数图像可知，函数的减区间为函数的增区间为11.作出函数 的图像，并根据函数图像写出函数的单调区间。12.已知函数（1）若 ，求a求的值；（2）求证：不论为何实数，f(x)总为增函数解析 （1）由 得 ，解得a=1(2)证明：f(x)的定义域为R，设则 不论a为何实数，f(x)总为增函数第四节第四节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性基础梳理基础梳理1.定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于意 ,都

21、有 ,则称函数y=f(x)为奇函数;如果对于任意xA,都有 ,则称函数y=f(x)为偶函数.xAf(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)2.图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 ;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象 .关于原点对称关于y轴对称3.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足 ,那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)典例分析典例分析题型一题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性【例例1 1】判断下列函数的奇偶性.分析 先求

22、函数的定义域,然后判断f(x)与f(-x)之间的关系.解 (1)由 ,得定义域为-1,1),关于原点不对称,f(x)为非奇非偶函数.f(x)既是奇函数又是偶函数.f(x)为偶函数.(4)当x0,则f(-x)=f(x)；当x0时,-x0,则f(-x)=-f(x).综上所述,对任意的x(-,0)(0,+),都有f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.学后反思 判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域.若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).举一反三举一反三1.设函数f(x)在(-,+)内有定义，下列函数：必为奇函数的

23、是 。（填写序号)解析 设y=g(x)，根据奇偶函数的定义判断,g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x).答案 题型二题型二 奇偶性的应用奇偶性的应用【例例4 4】定义在R上的函数 (a0)为奇函数，求 的值.分析 利用奇函数的定义域求出a.解 方法一：由条件知f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,化简得 ，a=4,方法二：f(x)是奇函数且f(x)在x=0处有意义，f(0)=0,=0,即 ,解得a=4,学后反思 方法一是利用“若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)对任意x恒成立”，“对任意x恒成立”是解题关键.方法二要注意“f(x)在x=0处有意义”这个条件,这种方法

24、很常用，需要熟练掌握.举一反三举一反三2.已知函数 是奇函数,又f(1)=2,f(2)3求a,b,c的值.解析 由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c),c=0.由f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)3,得 ,解得-1a2.又aZ,a=0或a=1.若a=0,则b=Z,应舍去;若a=1,则b=1Z.a=1,b=1,c=0.题型三题型三 函数的周期性函数的周期性【例例3 3】（14分)(2010日照调研)设f(x)是(-,+)上的奇函数,对任意实数x,都有f(x+2)=-f(x),当-1x1时,f(x)=.(1)求证:直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴;(2)当x 1,5

25、时,求函数f(x)的解析式.分析 通过f(x+2)=-f(x),与-f(x)=f(-x)的转化,来求函数的对称轴与周期，技巧在于通过换元进行转化.求函数f(x)的解析式要利用函数的周期性进行转化,转化到知道函数解析式的区间上.解 (1)证明：因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x),所以f(x+2)=f(-x)，2 所以f(x-1)+2=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).4 所以直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴.6(2)因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数8又当-1x1时,f(x)=;当x 1,3 时,x-2-1,1,所以f(x

26、)=f(x-2+2)=-f(x-2)=;.10当x(3,5 时,x-4(-1,1,所以f(x)=f(x-4+4)=f(x-4)=.12所以当x 1,5 时,f(x)的解析式为学后反思 函数的奇偶性经常与函数的其他性质,如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此,在复习过程中应加强知识间的联系举一反三举一反三3.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是,且当 时，f(x)=sin x,求 的值.解析：由题意可得易错警示易错警示【例例】判断函数f(x)=x=0 的奇偶性。错解 当x0 时，f(x)=f(x)是奇函数。错误分析 尽管对定义域的每一个x0,f(-x)=-

27、f(x)成立，但当 x=0时，f(0)=20,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。正解 f(x)既不是奇函数也不是偶函数考点演练考点演练10.（2009山东改编）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=求f(2009)的值解析 当x0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x+1),两式相加得：f(x+1)=-f(x-2)即f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),f(2009)=f(6344+5)=f(5)=f(-1)=111.已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当x0时，f(x)=(a为常数）。求函数f(x)的解析式解析：因为

28、是增函数，所以当x0时，也是增函数，又因为f(x)是偶函数，所以 =f(0)=3+a又f(x)的最小值是3,故3+a=3，即a=0当x0，所以f(x)=f(-x)=综上，f(x)=12.已知函数f(x)=(1)求f(x)的定义域；（2）求证：f(x)是奇函数；（3）判断函数y=f(x)与y=2的图像是否有公共点，并说明理由。解析：（1）由 ，得-1x0)的图象可由y=f(x)的图象 得到.对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:.而对于上、下平移，则比较容易掌握，原则是上加下减，但要注意的是加、减指的是 .如:h0,y=f(x)h的图象可由y=f(x)的图象 而得到.3.对称

29、变换(1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称;(2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 对称;(3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称;向左平移a(a0)个单位向右平移b个单位左加右减.在f(x)整体上向上(下)平移h个单位y轴x轴原点(4)与y=f(x)的图象关于 对称;(5)y=|f(x)|的图象:可将y=f(x)的图象 ;(6)y=f(|x|)的图象:可先作出y=f(x),当x0时的图象,再利用偶函数的图象关于 对称,作出y=f(x)(x0)的图象.4.伸缩变换(1)y=Af(x)(A0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的纵坐标 ,不变而得到;(2)y=f

30、(ax)(a0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的横坐标 ,不变而得到.直线y=x在x轴下方的部分关于x轴翻转180,其余部分不变y轴原来的A倍横坐标变为原来的纵坐标典例分析典例分析题型一题型一 作图作图【例例1 1】作出下列函数的图象.分析 首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数,然后由基本初等函数图象变换得到.解 (1)首先化简解析式得 利用二次函数的图象作出其图象,如图.(2)因 ,先作出 的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,即得 的图象,如图.(3)先作出征性 的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=的图

31、象,如图.学后反思 已知函数解析式研究函数图象问题,主要是将解析式进行恰当的化简,然后与一些常见函数的图象相联系,通过各种图象变换(主要有平移变换、伸缩变换、对称变换)等得到要求的函数图象.另外,还要善于借助解析式发现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等),以此帮助分析函数图象的特征.(4)先作出y=2x的图象,再将其图象在y轴左边的部分去掉,并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=2|x|的图象,再将y=2|x|的图象向右平移一个单位,即得y=2|x-1|的图象,如图.举一反三举一反三 1.已知函数y=xf(x)的图象如图所示（其中f（x）是2.函数f(x)的导函数），画出y=f(x

32、)的大致图象.答案：题型二题型二 识图识图【例例2 2】为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为 (a为常数),如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 ;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么药物释放开始,至少需要经过_小时后,学生才能回到教室分析 根据函数图象求出函数图象所过的特殊点是求解的关键.解 (1)当0t0.1时,设y=kt,

33、由图象知y=kt过点(0.1,1),则1=k0.1,k=10,y=10t(0t0.1).由 过点(0.1,1)得 a=0.1,(2)由 ，得t0.6,故至少需经过0.6小时.学后反思 函数图象是函数的另外一种表达形式.图象可以形象地描述函数的性质,但具体到有关具体量的分析还必须借助函数的解析式以及代数的有关知识解决.举一反三举一反三 2.已知函数 的图象如图,求b的取值范围 解析:方法一:观察f(x)的图象,可知函数f(x)的图象过原点,即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1,0),0=a+b+c，又f(-1)0,-a+b-c0，+得b2时,f(x)0,从而有a0,b0.即b的取值范

34、围是(-,0).题型三题型三 函数的图象变换函数的图象变换【例例3 3】(2008青岛模拟改编)已知函数 则下列函数的图象错误的是_解:f(x)的图象如图所示,f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位,故正确;f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,故正确;分析 先画出分段函数 的图象,再根据函数图象间的变换逐一判断.由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在y轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象关于y轴对称得到,故正确;|f(x)|的图象是将f(x)图象在x轴下方部分关于x轴翻转180,其余部分不变,故错.学后反思 这类问题主要考查函数图象的几种变换(如平移变换、对称变换、伸

35、缩变换等),有时也考查函数的奇偶性及互为反函数的两个函数的图象问题.复习时应加强对y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系的理解.3.在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x对称,现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位再沿y轴向上平移1个单位,所得图象是由两条线段组成的折线(如图所示),求函数f(x)的表达式.解析：设图中的函数为 则 举一反三举一反三题型四题型四 函数图象综合问题函数图象综合问题【例例4 4】(14分)如图,点A、B、C都在函数 的图象上,它们的横坐

36、标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A、B、C,记ABC的面积为f(a),ABC的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论.分析 (1)充分利用已知图形,通过图形的拆分与组合找到问题的突破口,从而解决问题.(2)比较两值大小经常用到作差比较,通过f(a)与g(a)的差和0的大小关系得出f(a)与g(a)的大小.解 (1)连结AA、BB、CC,.2 则f(a)=SABC=S梯形AACC-SAAB-SCCB学后反思 本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以

37、及等价变形找到问题的突破口.f(a)g(a).144.(2008北京改编)如图,动点P在正方体 的对角线 上.过点P作垂直于平面 的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)图象大致是 .解析：显然,只有当P移动到正方体中心O时,MN有唯一的最大值,排除、;P点移动时,x与y的关系应该是线性的,排除 答案：易错警示易错警示【例例】(2009滨州模拟)设函数f(x)=|lg x|,若0af(b),求证:ab1 错解 方法一:由函数f(x)=|lg x|作出图象如图,0af(b),a、b应是函数减区间上两点的横坐标,0ab1,ab1 方法二:f(x)=|lg x|,0

38、af(b),|lg a|lg b|,若b(0,1),则-lg a-lg b0,lg alg b0,0a1,ab1,lg a+lg b0,即lg ab0,ablg b，即lg a+lg b0,lg ab0,ablg b,ab,这与已知矛盾.综上可知,对于函数f(x)=|lg x|,若0af(b),都有ab1.错解分析 (1)f(x)=|lg x|图象可分为两段:当x1时,lgx0,f(x)的图象与y=lg x的图象重合;当0 x1时,lg x0,f(x)的图象与y=lg x的图象关于x轴对称.发挥函数图象功能,以形助数的出发点是好的,不过由图象难以看到函数f(x)的微观部分，得出ab1是令人费解

39、的.更何况,本题考查的是逻辑推理.(2)分类讨论,首先要确定分界点,其次讨论要做到不重、不漏.函数f(x)的定义域是(0,+),由f(x)=0，得x=1,即（1，0）是分界点,但是a,b的关系不只是a,b(0,1)和a,b(1,+),还有a(0,1),b=1;a(0,1),b(1,+)a=1,b(1,+).当然,排除某种情形的可能性是必要的,还要做到尽量减少逻辑划分结构,以减少讨论次数,比如将a=1,b=1合并在某种情形当中.本题恰恰在分类讨论策略上进行了有效的考查 正解 方法一:由已知0af(b)，ab不能同时在区间1,+)上,又由于0ab,故必有a(0,1).若b(0,1),显然有ab0,

40、有-lg a-lg b0,故lg ab0,abf(b),即|lg a|lg b|,(lg a)2(lg b)2,(lg a)2-(lg b)20,即(lg a+lg b)(lg a-lg b)0.函数y=lg x是增函数,又0ab,lg alg b,即lg a-lg b0,lg a+lg b0,即lg ab0,ab5时,f(x)0,1,y=f(x)与 的图象不再有交点 故函数f(x)与 的图象上的交点个数为4 11.已知函数 .(1)求证:函数f(x)是偶函数；(2)画出函数f(x)的图象.解析 (1)证明：xR,=f(x),f(x)是偶函数.（2）,函数f(x)的图象如图所示 12.某计算机公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，利润y(万元)关于总产量x(台)的函数的图象如图所示.（1）根据图象写出y（万元）关于总产量x(台)的函数关系式；（2）求出每台计算机的售价.解析：(1)由函数图象过点(0,-200)和(1 000,0),y=0.2x-200(xN*).(2)设每台售价m万元，则mx-(200+0.3x)=0.2x-200,解得m=0.5.即每台计算机售价0.5万元.