高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积ppt.ppt

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1、1.3 1.3 简单几何体的表面积和体积简单几何体的表面积和体积1.3.1 1.3.1 柱体、锥体、台体柱体、锥体、台体的表面积与体积的表面积与体积 1 1、表面积：几何体表面的面积、表面积：几何体表面的面积 2 2、体积：几何体所占空间的大小。、体积：几何体所占空间的大小。回忆复习有关概念回忆复习有关概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱锥：、正棱锥：4、正棱台：、正棱台：侧棱和底面侧棱和底面垂直垂直的棱柱叫直棱柱的棱柱叫直棱柱底面是正多边形的底面是正多边形的直直棱柱叫正棱柱棱柱叫正棱柱底面是正多边形，底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心顶点在底面的射影是底面中心的棱

2、锥的棱锥正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台叫正棱台作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高斜高COBAPD斜高的概念 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，h它们的侧面展开图还是平面图形，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和之和棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h正棱

3、柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图2.2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？正三棱锥的侧面展开图正三棱锥的侧面展开图把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？侧面展开正五棱锥的侧面展开图正五棱锥的侧面展开图 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 典型例题典型例题DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角

4、形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成因为因为BC=a，所以：所以：因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点作的面积，过点作 ，把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积）类比梯形的面积）侧面展开hh正四棱台的侧面展开图正四棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？例2:(1)一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;(2)正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧

5、面积.例3：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E答：60思思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？宽宽长方形长方形圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形3.3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法O思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着

6、一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？扇形扇形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形O思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？扇环扇环扇环扇环OO侧侧OO圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？Orr上底扩大上底扩大Or0上底缩小上底缩小 例例4 4 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口

7、直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？典型例题典型例题 解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 例5 圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角例6：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1

8、800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）答：1800小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公式C=0C=CS圆柱侧=2rlS圆锥侧=rlS圆台侧=（r1+r2)lr1=0r1=r2柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和知识小结知识小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥几何体占有空间部分的大小叫做它的体积几何体占有空间部分的大小叫做它的体积一、体积的概念与公理一、体积的概念与公理:公理公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。V长方体长方体=abc推论推论1、长方体的体积等于它的底面积

9、、长方体的体积等于它的底面积s和高和高h的积。的积。V长方体长方体=sh推论推论2、正方体的体积等于它的棱长、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。的立方。V正方体正方体=a3定理定理1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积的底面积 s 和高和高 h 的积。的积。V柱体柱体=sh二：柱体的体积二：柱体的体积推论推论：底面半径为底面半径为r，高为高为h圆柱的体积是圆柱的体积是V圆柱圆柱=r2h三三:锥体体积锥体体积例例2 2：如图：三棱柱如图：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面积为底面积为S S,高为高为h h.ABD C D1C1CDA BC

10、D1ADCC1D1A答答:可分成可分成棱锥棱锥A-D1DC,棱锥棱锥A-D1C1C,棱锥棱锥A-BCD.问：（问：（1 1）从）从A A点出发棱柱能点出发棱柱能分割分割成几个三棱锥？成几个三棱锥？3.13.1锥体（棱锥、圆锥）的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积（底面积S，高高h）注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离问题问题:锥体锥体(棱锥、圆锥）棱锥、圆锥）的体积的体积定理定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：积是，高是，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是推论：

11、如果圆锥的底面半径是，高是，高是，那么它的体积是：那么它的体积是：hSS锥体锥体 圆锥圆锥 Shss/ss/hx四四.台体的体积台体的体积V V台体台体=上下底面积分别是上下底面积分别是s/,s,高是高是h，则，则推论：如果圆台的上推论：如果圆台的上,下底面半径是下底面半径是r r1 1.r.r2,2,高是高是，那么它的体积是：，那么它的体积是：圆台圆台 h五五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥

12、体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 例例7 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，已知底面是正六边形，边长为边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这，问这堆螺帽大约有多少个（堆螺帽大约有多少个（取取3.14）？）？典型例题典型例题所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个 解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即:例8从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得

13、到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？1 1 球的球的概念和概念和性质性质2 2球的球的体积体积3 3 球的球的表面积表面积4 4 例题例题讲解讲解5 5 课堂课堂练习练习6 6 课堂课堂小结小结7 7 课堂课堂作业作业球球球的概球的概念和性念和性质质 球的概念球的概念ABORC一一 如图所示，半圆以它的直如图所示，半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做叫做球面球面.球面所围成的几何球面所围成的几何体叫做体叫做球体球体，简称简称球球.半圆的半圆的圆心叫圆心叫球心球心,图中点图中点O O.连结球连结球心和球面上任意一点的线段叫心和球面上任意一点的

14、线段叫做做球的半径，球的半径，(图中线段图中线段R)R).连连结球面上两点并且经过球心的结球面上两点并且经过球心的线段叫做线段叫做球的直径，球的直径，(图中线段图中线段AB)AB).球的概球的概念和性念和性质质 球的概念球的概念一一QPO 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆（如（如图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫做做小圆小圆（如图中绿色部分）（如图中绿色部分）.球面上两点之间最短连线球面上两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧大圆在这两点间的一段劣弧的

15、长度，这个弧长叫做两点的长度，这个弧长叫做两点的的球面距离球面距离（如图中（如图中 的长的长度就是度就是P P、Q Q两点之间的球面两点之间的球面距离距离 ）.球的概球的概念和性念和性质质 球的性质球的性质二二do1o2Rr 用一个平面（如图中平面用一个平面（如图中平面 ）去截一个球，截）去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：面是圆面，球的截面有下面的性质：、球心和截面圆心的连线、球心和截面圆心的连线 垂直于截面（如图直线垂直于截面（如图直线o o1 1o o2 2垂直于平面垂直于平面 ）；）；、球心到截面的距离、球心到截面的距离d d与球的半径与球的半径R R及截面的半及截面的半径径

16、r r有下面的关系：有下面的关系：球的表面积和体积球的表面积和体积:球的表面积球的表面积 球的体积球的体积:例题例题讲解讲解例例9 9、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径直径.求证：求证：（1 1）球的表面积等于球的表面积等于 圆柱的侧面积；圆柱的侧面积；（2 2）球的表面积等于球的表面积等于 圆柱全面积的圆柱全面积的2/3.2/3.OROR例题例题讲解讲解(2)(2)证明证明：（：（1 1）设球的半径为）设球的半径为 R R，则圆柱的底面半径，则圆柱的底面半径 为为R R，高为，高为2R2R，得，得例例3.3.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD

17、-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重

18、合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系OABC例例10已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如解：如

19、图图，设设球球O半径半径为为R，截面截面 O的半径的半径为为r，例例11、有三个球、有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体一球过正方体的各顶点的各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比.作轴截面作轴截面柱、锥、台和球的侧面积和体积柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧V 圆锥S侧V 圆台S侧V (S上S下 )h2rlSh r2h rl(r1r2)l习题课习题课面积体积直棱柱S侧V正棱锥S侧 V 正棱台S侧 V球S球面VChSh4 R21(教材习题改编教材习题改编)一个正方体的体积是一个正方体的体积是8，则这个

20、正方，则这个正方体的内切球的表面积是体的内切球的表面积是()A8 B6C4 D答案：答案：C 解析：设正方体的棱长为解析：设正方体的棱长为a，则，则a38，a2.而此而此正方体的内切球直径为正方体的内切球直径为2，S表表4r24.答案：答案：A4(教材习题改编教材习题改编)在在ABC中，中，AB2，BC3，ABC120，若使，若使ABC绕直线绕直线BC旋转一周所形旋转一周所形成的几何体的体积为成的几何体的体积为_答案：答案：3答案：答案：C5如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的外接球的体角形，俯视图是正方形，

21、则该几何体的外接球的体积是积是_1求体积时应注意的几点求体积时应注意的几点(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已 知体积公式的几何体进行解决知体积公式的几何体进行解决(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及 数据的准确性数据的准确性2求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理题型一题型一 几何体的展开与折叠几何体的展开与折叠 有一根长为有一根长为3 cm3 cm，底面半径为，底面半径为1 cm1 cm的的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁

22、管上缠绕圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 2圈，并圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少？则铁丝的最短长度为多少？把圆柱沿这条母线展开，将问题转把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离化为平面上两点间的最短距离.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 把圆柱侧面及缠绕其上把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到的铁丝展开，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如图所示），（如图所示），由题意知由题意知BCBC=3 cm=3 cm，ABAB=4 cm=4 cm，点，点A A与点与点C C分别是铁丝

23、的起、止位分别是铁丝的起、止位置，故线段置，故线段ACAC的长度即为铁丝的最短长度的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为故铁丝的最短长度为5 cm.5 cm.题型二题型二 旋转体的表面积及其体积旋转体的表面积及其体积 如图所示如图所示,半径为半径为R R的半圆内的的半圆内的 阴影部分以直径阴影部分以直径ABAB所在直线为轴所在直线为轴,旋旋 转一周得到一几何体转一周得到一几何体,求该几何体的求该几何体的 表面积表面积(其中其中BACBAC=30)=30)及其体积及其体积.先分析阴影部分旋转后形成几何体的先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状形状,再求表面积再求表面积.解解 如图所示如图所

24、示,过过C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1,在半圆中可得在半圆中可得BCABCA=90,=90,BACBAC=30,=30,ABAB=2=2R R,ACAC=,BCBC=R R,S S球球=4=4R R2 2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算然后利用有关公式进行计算.知能迁移知能迁移2 2 已知球的半径为已知球的半径为R R，在球内作一个内，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧

25、面积最大？侧面积的最大值是多少？的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？知能迁移知能迁移2 2 解解 如图为轴截面如图为轴截面.设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底面半径为，底面半径为r r，侧面积为侧面积为S S，则，则题型三题型三 多面体的表面积及其体积多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为一个正三棱锥的底面边长为6 6，侧棱长，侧棱长 为为 ，求这个三棱锥的体积，求这个三棱锥的体积.本题为求棱锥的体积问题本题为求棱锥的体积问题.已知底面已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积和高，再根据体积公式求出其体积.

26、连接连接AHAH并延长交并延长交BCBC于于E E，则则E E为为BCBC的中点，且的中点，且AHAHBCBC.ABCABC是边长为是边长为6 6的正三角形，的正三角形，解解 如图所示，如图所示，正三棱锥正三棱锥S SABCABC.设设H H为正为正ABCABC的中心，的中心，连接连接SHSH，则则SHSH的长即为该正三棱锥的高的长即为该正三棱锥的高.答案答案C巧练模拟巧练模拟答案：答案：A2如图所示是一个几何体的三视图，根如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是据图中数据，可得该几何体的表面积是_解析：解析：此几何体的上部为球，球的直径为此几何体的上部为球，球的直径

27、为2，下部为一，下部为一圆柱，圆柱的高为圆柱，圆柱的高为3，底面圆的直径为，底面圆的直径为2，所以，所以S表表42312.答案：答案：12小结小结1在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理2以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系体中各元素间的位置关系及数量关系3圆柱、圆锥、圆台的侧

28、面是曲面，计算侧面积时需要圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和底面圆的面积之和.答案答案B若本例的三视图变为如图所示，求该几何体的体积若本例的三视图变为如图所示，求该几何体的体积解：解：该几何体下部是一个正方体，棱长为该几何体下部是一个正方体，棱长为4，上部为圆，上部为圆柱，底面半径为柱，底面半径为1，高为，高为4，则，则V444124644.答案：答案：D小结小结1计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注

29、意充分利用多面体的截面和旋的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握方法，应熟练掌握3等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计求体积时，可选择容易计算的方式来计算；算；利用利用“等积法等积法”可求可求“点到面的距离点

30、到面的距离”.精析考题精析考题例例3 如图，在如图，在ABC中，中，ABC45，BAC90，AD是是BC上的高，沿上的高，沿AD把把ABD折起，使折起，使BDC90.(1)证明：平面证明：平面ADB平面平面BDC；(2)若若BD1，求三棱锥，求三棱锥DABC的表面积的表面积自主解答自主解答(1)折起前折起前AD是是BC边上的高，边上的高，当当ABD折起后，折起后，ADDC，ADDB.又又DBDCD，AD平面平面BDC.又又AD平面平面ABD，平面平面ABD平面平面BDC.巧练模拟巧练模拟6如图所示，已知一个如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形

31、和的正方形和4个边长为个边长为1的正三角形的正三角形组成，则该多面体的体积是组成，则该多面体的体积是_答案：答案：C小结小结 解决折叠问题时要注意解决折叠问题时要注意1对于翻折前后，线线、线面的位置关系，所成角及距离对于翻折前后，线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较，观察并判断变化情况加以比较，观察并判断变化情况2一般地，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系一般地，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系发生变化，位于同一个半平面的元素，其相和数量关系发生变化，位于同一个半平面的元素，其相对位置和数量关系不变对位置和数量关系不变3对于某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分

32、析、对于某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题计算，即将空间问题转化为平面问题数学思想数学思想 函数与方程思想在空间几函数与方程思想在空间几何体中的应用何体中的应用考题范例考题范例如图，半径为如图，半径为R的球的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_巧妙运用巧妙运用法一法一:设圆柱的轴与球的半径的夹角为设圆柱的轴与球的半径的夹角为，则圆柱高为，则圆柱高为2Rcos，圆柱底面半径为，圆柱底面半径为Rsin，S圆柱侧圆柱侧2Rsin 2Rcos 2R2sin

33、 2.当当sin 21时，时，S圆柱侧圆柱侧最大为最大为2R2，此时，此时，S球表球表S圆柱侧圆柱侧4R22R22R2.答案：答案：2R2柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积锥体锥体台体台体柱体柱体知识小结知识小结柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和知识小结知识小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥规律方法总结1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形2斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积3如果直棱柱的底面周长是如果直棱柱的底面

34、周长是c，高是，高是h，那么它的侧面，那么它的侧面积是积是S直棱柱侧直棱柱侧ch.4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用直角梯形等特征图形在公式推导中的作用规律方法总结5如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加加6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反求球的体积和

35、表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小的大小7计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解方法

36、与技巧方法与技巧1.1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决结构特点与平面几何知识来解决.2.2.要注意将空间问题转化为平面问题要注意将空间问题转化为平面问题.3.3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中 的已知元素彼此离散时的已知元素彼此离散时,我们可采用我们可采用“割割”、“补补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体的技

37、巧，化复杂几何体为简单几何体 （柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供 便利便利.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高（1 1）几何体的）几何体的“分割分割”几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求求,分割成若干个易求体积的几何体分割成若干个易求体积的几何体,进而求之进而求之.(2)(2)几何体的几何体的“补形补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外另外补台成锥是常见的解决台体侧面

38、积与体积的方法补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积补成锥体研究体积.（3 3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素形、直角梯形求有关的几何元素.失误与防范失误与防范1.1.将几何体展开为平面图形时将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母

39、线剪开条母线剪开.2.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是 外接外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点解题时要认真分析图形，明确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正 方体各个面的中心方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 上，正方体的体对角线长等于球的直径上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与球与 旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或球心，或“切点切点”、“接点接点”作出截面图作出截面图.