勾股定理综合难题---附答案(超好---打印版).docx

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1、练习题1 如图，圆柱的高为10 ，底面半径为2 .，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上及A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为3 ，底面是边长为2 的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案5BCBACD3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是。4、如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为8，长为10当小红折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）想一想，此时有多长？5如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点及A点重合，则的长是（ ）A3B4

2、 C D5 6已知：如图，在中，90，30，的垂直平分线交于D，垂足为E，4求的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6，8，现将直角边沿直线折叠，使其落在斜边上，且及重合，则的长为 8、如图，在矩形中，将矩形折叠，使点B及点D重合，落在处，若，则折痕的长为 。9、如图，已知：点E是正方形的边上的点，现将沿折痕向上翻折，使落在对角线上，则10、如图，是的中线，45o，把沿对折，点C落在C的位置，若2，则CBAAFEDCBDC题5图图1D11如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边6，8，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且及重合，则等于（ ）A.2 B.3 C.4 D.5 12、有一个直

3、角三角形纸片，两直角边68,现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且及重合，你能求出的长吗？ 13、如图，在中，6，把ADBCEF进行折叠，使点A及点D重合，1:2，折痕为，点E在上，点F在上，求的长。14已知，如图长方形中，3，9，将此长方形折叠，使点B及点D重合，折痕为，则的面积为（） A、62B、82C、102D、122ABEFDC第11题图15如图，将矩形沿折叠，使点D及点B重合，已知3，9，求的长16、如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形的面积。17、如图，已知：在中，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积及直角三角形的面积相等18如图8，有一块

4、塑料矩形模板，长为10，宽为4，将你手中足够大的直角三角板 的直角顶点P落在边上(不及A、D重合)，在上适当移动三角板顶点P：图8能否使你的三角板两直角边分别通过点B及点C？若能，请你求出这时 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点P在上移动，直角边 始终通过点B，另一直角边及的延长线交于点Q，及交于点E，能否使2？若能，请你求出这时的长；若不能，请你说明理由21能.设x米，由于2162，216+(10x)2，而在中，有2+ 22，即162+16+(10x)2100，所以x210160，即(x5)29，所以x53，所以x8，x2，即8或2，能.仿照可求得4.19.如图中，则

5、4 20、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ）（A） （B） （C） （D）解:设两直角边分别为,斜边为,则,. 由勾股定理,得. 所以.所以.所以.故选（C）21在中,边上有2006个不同的点,记,则.22如图所示，在中,且,求的长.23、如图，在中，6，P为上任意一点，请用学过的知识试求2的值。ABPC24、如图在中,，在的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种及示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5的黑色签字笔画出正确的图形）25如图，

6、A、B两个村子在河的同侧，A、B两村到河的距离分别为1，3，3，现在河边上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。ABPC第28题图26已知：如图，中，C = 90，点O为的三条角平分线的交点，点D、E、F分别是垂足，且 = 8， = 6，则点O到三边，和的距离分别等于 COABDEF第26题图27（8分）如图，在中，P为上任意一点，请说明：22。28、如图，已知：，于P求证： AB小河东北牧童小屋29（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8北7处，他想把他

7、的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？30. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?32在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?33长为4 m的梯子搭在墙

8、上及地面成45角，作业时调整为60角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了34已知：如图，中，C90，D为的中点，E、F分别在、上，且求证：22235已知：如图，在正方形中，F为的中点，E为的四等分点且，求证：36已知中，a2b2c210a24b26c338，试判定的形状，并说明你的理由37已知a、b、c是的三边，且a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为1和3，高为6如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?39、a、b为任意正数，且ab，求证：边长

9、为2、 a2b2、a22的三角形是直角三角形ABCD第24题图40. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.41.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100的B处有一台风中心，沿方向以20的速度向D移动，已知城市A到的距离60，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？42.（14分）中，若90，如图（1），根据勾股定理，则，若不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比

10、勾股定理，试猜想及的关系，并证明你的结论. 解：若是锐角三角形，则有a22c2 若是钝角三角形，C为钝角，则有a220，x0 20 a22c2 当是钝角三角形时，43（10分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 千米/时的速度向北偏西60的方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域 （1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24的筷子，置于底面直径为15，高8的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（）Ah17 Bh8C15h16 D7

11、h1645如图，已知：，于P. 求证：. 46【变式2】已知：如图，90，60，4，2。求：四边形的面积。47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决49、如图所示，是等腰直角三角形，D是斜边的中点，E、F分别是、边上的点，且，若12，5求线段的长。 50 如图，在等腰中，90，D、E为斜边上的点，且45。求证：222。51 如图，在A 中，1314 15，则边上的高A 。52 如图，长方形中，8

12、，4，将长方形沿折叠，点D落在点E处，则重叠部分的面积是 。53 在中，15 20边上的高A 12，试求边的长.54 在A 中，D是所在直线上一点，若06817，求的面积。55. 若三边a、b、c 满足 a2b2c233810a2426c，是直角三角形吗？为什么？56. 在中，1997，1998，2=1997+1998，则是否为直角三角形？为什么？注意、的大小关系。22=1997+19972+1998=1997（1+1997）+1998=19971998+1998=19982= 2。57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1处，如图，已知长方形长6，

13、宽5 ，高3 。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？58.木箱的长、宽、高分别为40、30和50，有一70的木棒，能放进去吗？请说明理由。59. 已知的三边a、b、c，且17，60，13, 是否是直角三角形？你能说明理由吗？60. 如图，E是正方形的边的中点，延长到F，使，那么及 相等吗？为什么？61. 如图，60, 90。若4，6，求的长。62如图，60，M是内的一点，它到的距离为2。它到的距离为11。求的长。带答案版的用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角

14、三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1和（3）2所示的两个形状相同的正方形。 在（3）1中，甲的面积=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）, 在（3）2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。练习题1 如图，圆柱的高为10 ，底面半径为2 .，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上及A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是

15、多少?2 如图，长方体的高为3 ，底面是边长为2 的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案5BCBACD3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是。4、如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为8，长为10当小红折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）想一想，此时有多长？5如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点及A点重合，则的长是（ ）A3B4 C D5 6已知：如图，在中，90，30，的垂直平分线交于D，垂足为E，4求的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6，8，现将直

16、角边沿直线折叠，使其落在斜边上，且及重合，则的长为 8、如图，在矩形中，将矩形折叠，使点B及点D重合，落在处，若，则折痕的长为 。9、如图，已知：点E是正方形的边上的点，现将沿折痕向上翻折，使落在对角线上，则10、如图，是的中线，45o，把沿对折，点C落在C的位置，若2，则CBAAFEDCBDC题5图图1D11如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边6，8，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且及重合，则等于（ ）A.2 B.3 C.4 D.5 12、有一个直角三角形纸片，两直角边68,现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且及重合，你能求出的长吗？ 13、如图，在中，6，把ADBCEF

17、进行折叠，使点A及点D重合，1:2，折痕为，点E在上，点F在上，求的长。14已知，如图长方形中，3，9，将此长方形折叠，使点B及点D重合，折痕为，则的面积为（） A、62B、82C、102D、122ABEFDC第11题图15如图，将矩形沿折叠，使点D及点B重合，已知3，9，求的长16、如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形的面积。17、如图，已知：在中，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积及直角三角形的面积相等18如图8，有一块塑料矩形模板，长为10，宽为4，将你手中足够大的直角三角板 的直角顶点P落在边上(不及A、D重合)，在上适当移动三角板顶点P：图8能否使

18、你的三角板两直角边分别通过点B及点C？若能，请你求出这时 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点P在上移动，直角边 始终通过点B，另一直角边及的延长线交于点Q，及交于点E，能否使2？若能，请你求出这时的长；若不能，请你说明理由21能.设x米，由于2162，216+(10x)2，而在中，有2+ 22，即162+16+(10x)2100，所以x210160，即(x5)29，所以x53，所以x8，x2，即8或2，能.仿照可求得4.19.如图中，则 4 20、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ）（A） （B） （C） （D）解:设两直角边分别为,斜边为,则,

19、. 由勾股定理,得. 所以. 所以.所以.故选（C）21在中,边上有2006个不同的点,记,则.解:如图,作于,因为,则.由勾股定理,得.所以所以.因此.22如图所示，在中,且,求的长.解:如右图：因为为等腰直角三角形,所以. 所以把绕点旋转到,则. 所以.连结. 所以为直角三角形. 由勾股定理,得.所以. 因为所以. 所以. 所以.23、如图，在中，6，P为上任意一点，请用学过的知识试求2的值。ABPC24、如图在中,，在的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种及示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学

20、们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰及底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。25如图，A、B两个村子在河的同侧，A、B两村到河的距离分别为1，3，3，现在河边上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。ABPC第28题图26已知：如图，中，C = 90，点O为的三条角平分线的交点，点D、E、F分别是垂足，且 = 8， = 6，则

21、点O到三边，和的距离分别等于 COABDEF第26题图27（8分）如图，在中，P为上任意一点，请说明：22。28、如图，已知：，于P求证： AB小河东北牧童小屋29（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8北7处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？30. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；

22、另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?32在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?33长为4 m的梯子搭在墙上及地面成45角，作业时调整为60角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了34已知：如图，中，C90，D为的中点，E、F分别在、上，且求证：22235已知：如图，在正方形中，F为的中点，E为的四等分点且，求证：36已知中，a2b2c210a24b26c338，试判定的形状，并说明你的理由37已知a、b、c是的三边，且a2c2b2c2a4b

23、4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为1和3，高为6如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?39、a、b为任意正数，且ab，求证：边长为2、 a2b2、a22的三角形是直角三角形ABCD第24题图40. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.41.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100的B处有一台风中心，沿方向以20的速度向D移动，已知城市A到的距离60，那么台风

24、中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？42.（14分）中，若90，如图（1），根据勾股定理，则，若不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想及的关系，并证明你的结论. 解：若是锐角三角形，则有a22c2 若是钝角三角形，C为钝角，则有a220，x0 20 a22c2 当是钝角三角形时，43（10分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 千米/时的速度向北偏西60的方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域 （1）A市是

25、否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24的筷子，置于底面直径为15，高8的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（）Ah17 Bh8C15h16 D7h1645如图，已知：，于P. 求证：. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以为一边的直角三角形. 所以连结. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. 又 （已知），.

26、在中，根据勾股定理有，. 46【变式2】已知：如图，90，60，4，2。求：四边形的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结，或延长、交于F，或延长、交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长、交于E。60，90，30。28，24，222=82-42=48，。 2= 22=42-22=12，。S四边形47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于如图所示，点D在离厂门中线0.8米处

27、，且， 及地面交于H解：1米(大门宽度一半)，0.8米（卡车宽度一半）在中，由勾股定理得：.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门48、如图，公路和公路在点P处交汇，且30，点A处有一所中学，160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段并计算其长度。（2）要求出学校

28、受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作，垂足为B。 在 中，90，30， 160， 80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A到直线的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路上沿方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么100(m)，由勾股定理得： 21002-8023600, 60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，100(m)，60(m),120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 185m t120m5m24s。 答：拖拉机在公路

29、上沿方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 （一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决49、如图所示，是等腰直角三角形，D是斜边的中点，E、F分别是、边上的点，且，若12，5求线段的长。 思路点拨：现已知、，要求，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接解：连接因为90，又因为为的中线，所以且45因为90又因为90所以所以（）所以5同理：12在中，根据勾股定理得：，所以13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等

30、知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50 如图，在等腰中，90，D、E为斜边上的点，且45。求证：222。分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。51 如图，在A 中，1314 15，则边上的高A 。答案12。52 如图，长方形中，8，4，将长方形沿折叠，点D落在点E处，则重叠部分的面积是 。设，那么8，222,所以422=(8)2,解得3，4*8/2-3*4/2=10答案：1053 在中，15 20边上的高A 12，试求边的长.答案25或7 54 在A

31、中，D是所在直线上一点，若06817，求的面积。答案84或3655. 若三边a、b、c 满足 a2b2c233810a2426c，是直角三角形吗？为什么？56. 在中，1997，1998，2=1997+1998，则是否为直角三角形？为什么？注意、的大小关系。22=1997+19972+1998=1997（1+1997）+1998=19971998+1998=19982= 2。57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1处，如图，已知长方形长6，宽5 ，高3 。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘

32、蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？58.木箱的长、宽、高分别为40、30和50，有一70的木棒，能放进去吗？请说明理由。59. 已知的三边a、b、c，且17，60，13, 是否是直角三角形？你能说明理由吗？答案： 是直角三角形。（平方差公式的灵活运用）60. 如图，E是正方形的边的中点，延长到F，使，那么及 相等吗？为什么？61. 如图，60, 90。若4，6，求的长。62如图，60，M是内的一点，它到的距离为2。它到的距离为11。求的长。 过点作，交的延长线于点，交的平行线于点。，（在直角三角形中，角所对的边斜边的一半），。在t中，答案.延长交于，在t中，第 12 页