线性代数练习册第五章题目及答案(本).docx

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1、第五章 相似矩阵及二次型5-1 方阵的特征值及特征向量一、填空题1.已知四阶方阵的特征值为0，1，1，2，则 2.设0是矩阵的特征值，则 1 3.已知三阶方阵的特征值为1，-1，2，则的特征值为 1,5,8 ； -2 ；的对角元之和为 2 .4.若0是方阵的特征值，则 不可逆。5. 是阶方阵，则的特征值是（共个） 二、选择题1.设，为n阶矩阵的特征值，分别是的属于特征值，的特征向量，则（ D ）（A）当时，必成比例 （B）当时，必不成比例（C）当时，必成比例 （D）当时，必不成比例2.设a=2是可逆矩阵A的一个特征值，则有一个特征值等于 （ C ）A、2； B、-2; C、; D、-;3.零为

2、方阵A的特征值是A不可逆的（ B ）A、充分条件； B、充要条件; C、必要条件; D、无关条件;三、求下列矩阵的特征值和特征向量1. 解：的特征多项式为故的特征值为.当时，解方程.由得基础解系，故是的全部特征向量.当时，解方程.由得基础解系，故是的全部特征向量.2. 解：的特征多项式为故的特征值为.当时，解方程.由得基础解系，故是的全部特征向量.当时，解方程.由得基础解系，故是的全部特征向量.四、设为维非零列向量，证明：是矩阵的特征向量，并求对应的特征值.证明：因为； 所以，是矩阵的特征向量，对应的特征值为。五、设为阶方阵，1.当时，求的特征值；2.当时，求的特征值，其中为正整数.证明：1.

3、 设的特征值为，则，所以，又因为，所以，即当时，的特征值为1或-1。2. 设的特征值为，则，所以，又因为，所以，即当时，的特征值为0。5-2相似矩阵5-3对称矩阵的相似矩阵一、填空题1.若是矩阵的特征向量，则 是的特征向量.2.若A,B相似，则 0 3.已知及相似，则 0 ， 1 4.若是的重特征根，则必有个相应于的线性无关的特征向量 不对 （对，不对）；如果是实对称矩阵，则结论 对（对，不对）.二、选择题1.阶方阵相似于对角阵的充分必要条件是有个（ C ） （A）互不相同的特征值； （B）互不相同的特征向量； （C）线性无关的特征向量； （D）两两正交的特征向量.2.方阵及相似，则必有（ B

4、 D ） （A） （B）及有相同的特征值 （C）及有相同的特征向量 （D）及有相同的秩3. 为阶实对称矩阵，则（ ACD ） （A）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B） （C）必有个两两正交的特征向量； （D）的特征值均为实数.三、设，试求一个可逆矩阵使得为对角阵，并求.解：先求的特征值和特征向量.故的所有特征值为.当时，解方程.令，则即为对应于的特征向量.当时，解方程.令，则为的特征向量.显然，线性无关.令，则（或:令令，则所以，。）四、三阶实对称矩阵的特征值为0，2，2，又相应于特征值0的特征向量为，求出相应于2的全部特征向量.解：因为为三阶实对称矩阵，故有三个线性无关的特征向量，且

5、对应于不同特征值的特征向量两两正交. 已知对应于的特征向量为，设对应于的特征向量为，则.即为齐次线性方程组的两个线性无关的解.由得取，则即为的特征向量.令（不全为零）为对应于的全部特征向量.五、设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量分别为，求矩阵.解：因为，故可对角化，且所对应的特征向量线性无关.由特征值定义，令 由故5-4 二次型及其标准形5-5 用配方法化二次型为标准形5-6 正定二次型一、填空题1.是不是二次型？答： 不是 2.的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数.3.设，为正定矩阵，则k.二、单项选择题1.设则及合同的矩阵是（ B）。（A） （B） （C） （D）2.二次型为正定

6、二次型的充要条件是（D）。（A） （B）负惯性指数为（C）的所有对角元 （D）合同于单位阵3.当满足（ C）时，二次型为正定二次型。（A） （B）（C） （D）三、设 1.求二次型所对应的矩阵. 2.求正交变换，将二次型化为标准形.解：1.故二次型所对应的矩阵.2. 问题可转化为求正交矩阵，将化为对角形.故的特征值为.当时，解方程.取，则即为的特征向量.显然，正交.将单位化得当时，解方程.取，则即为对应于的特征向量.将单位化得.令，则.故的标准形为.四、已知都是阶正定矩阵，求证的特征值全部大于零.证明：因为都为阶正定矩阵，则对任意维列向量，有.即是正定矩阵.故的特征值全部大于零.五、已知为阶正定矩阵，证明.证明：因为A为n阶正定矩阵，所以A的所有特征值：都大于零。设A+E的特征值为，而,所以，则，所以。第 8 页