解斜三角形(含答案).docx
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1、考点一、利用正余弦定理求多边形的边或角例1.如下图所示,在四边形中,已知,求的长.题型2:三角形面积例2在中,求的值和的面积。解法一:先解三角方程,求出角A的值。又, 解法二:由计算它的对偶关系式的值。 +得。 得。从而。以下解法略去。点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢?题型3:三角形中的三角恒等变换问题例3在ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2c2=acbc,求A的大小及的值。分析:因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求A,需找A及三边
2、的关系,故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a,再用正弦定理可求的值。解法一:a、b、c成等比数列,b2=ac。又a2c2=acbc,b2+c2a2=bc。在ABC中,由余弦定理得:cosA=,A=6在ABC中,由正弦定理得sinB=,b2=ac,A=60,=sin60=。解法二:在ABC中,由面积公式得bcsinA=acsinB。b2=ac,A=60,bcsinA=b2sinB。=sinA=。评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4:正、余弦定理判断三角形形状例4在ABC中,若2cosBsinAsinC,则ABC的形状一定是( )A.等腰
3、直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案:C解析:2sinAcosBsinC =sin(AB)=sinAcosB+cosAsinBsin(AB)0,AB另解:角化边点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向,通畅解题途径题型5:三角形中求值问题例5的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。解析:由A+B+C=,得=,所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ;当sin = ,即A=时, cosA+2cos取得最大值为。点评:运用三角恒等式简化三角因式
4、最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角函数的性质求得结果。题型6:正余弦定理的实际应用例6(2009辽宁卷文,理)如图,A,B,C,D都在同一个及水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km。试探究图中B,D间距离及另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449) 解:在ABC中,DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60,故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA, 在ABC中,
5、即AB=因此,BD=故B,D的距离约为0.33km。 点评:解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低,对三角的综合考查将向三角形中问题伸展,但也不可太难,只要掌握基本知识、概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关。考点四、正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用例8.在中,内角的对边长分别为,已知(1) 若的面积为,求的值.(2) 若,求的面积.例9.在中,角的对边长分别为,且.(1) 求角的大小;(2) 若,求的面积.三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是:(1)已知两角和一边(如A、B、C),由A+B+C = 求C,由正弦定理求a、b;(2)已知两边
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