浙教版初二数学第三讲全等三角形的相关模型.docx

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1、第三讲 全等三角形的相关模型【要点梳理】要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）ABD AEC （2）+BOC=180 （3）OA平分BOC变形： 要点二：角平分线模型特点：由角平分线构成了的两个三角形。结论：（1）AFGAEG （2）FG=GE变形： 要点三：半角模型特点： 结论：（1）MN=BM+DN （2）CMN的周长=2AB （3）AM、AN分别平分BMN和DNM变形：要点四：等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：（1）将ABD逆时针旋转90，使ACMABD，从而推出ADM为等腰直角三角形。（2）过点C作BCMC

2、，连AM导出上述结论2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连AD. （1）使BF=AE（或AF=CE），导出BDFADE（2）使EDF+BAC=180，导出BDFADE3.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图： 要点五：双垂直模型特点：图形中包含两条垂线，且有一组边或角相等。结论：若AD=BD,则BH=AC变形： 1=2，则AE=AF 1=2， BAP=DAP，则AE=AF，APCF要点六：三垂直模型特点：图形中包含三条垂线，且有一组边。结论：（1）ABEBCD （2） ED=AE-CD变形：要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利

3、用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段及原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形。3.遇到角平分线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线及角的两边相交，形成一对全等三角形；（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。以上利用的思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是

4、全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5.截长法及补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段及特定线段相等，或是将某条线段延长，是之及特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6.已知某线段的垂直平分线，可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，形成一对全等三角形。7.在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。【典型例题】例1（手拉手模型）：如图，点C 为线段AB 上一点，ABC、CDE 是等边三角形，请你证明：。（1）AD=BE （2）ACB=AOB （3）PCQ为等边三

5、角形 （4）PQAE （5）AP=BQ （6）CO平分AOE （7）OA=OB+OC （8）OE=OC+OD例2（角平分线模型）：如图，已知1=2，3=4，求证：AP平分BAC。举一反三：1、如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分BAC，求证A+C=1802、如图，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F。求证：3、ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。例3（半角模型）：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：MAN=45；CMN的周

6、长=2AB；AM、AN分别平分BMN和DNM举一反三：1、 在正方形ABCD中，已知MAN=45，若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动：试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系；求证：AB=AH. 2、在四边形ABCD中，B+D=180，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD且上，满足EF=BE+DF.求证：例4（等腰直角三角形模型）： 等腰直角ABC中，BAC=90，点M、N在斜边BC上滑动，且MAN=45，试探究BM、MN、CN之间的数量关系。举一反三：1、两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接

7、ME、MC，试判断EMC的形状，并证明你的结论。2.如图，在等腰直角ABC中，AC=BC，ACB =90，P为ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC。求证：BCP=15例5(双垂线模型)：如右图，ABC中，ABC =45，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为 。举一反三：1、如图14-1，在ABC中，BC边在直线L上，ACBC,且AC=BC。EFP的边FP也在直线L上，边EF及AC重合，且EF=FP.(1)猜想并写出AB及AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线L向左平移至图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ，则BQ及AP满足什么样的数量关系和位

8、置关系，请猜想并证明；（3）将EFP沿直线L向左平移至图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ，你认为（2）中所猜想的BQ及AP的数量关系和位置关系还成立吗？例6（三垂线模型）：如图所示，在ABC中，AB=AC，BAC =90，D为AC中点，AFBD于E，交BC于F，连接DF.求证：ADB=CDF. 举一反三：1、 如图所示，在ABC中，AB=AC，AM=CN，AFBM于E，交BC于F，连接NF.求证：ADB=CDF； BM=AF+FN 2、如图所示，在ABC中，AB=AC，AM=CN，AFBM于E，交BC于F，连接NF，并分别延长 BM和FN交于点P.求证：PM=

9、PN； PBPF+AF【巩固练习】1、 如图，在四边形ABCD中，B+D=180，BC=CD，求证：AC平分BAD.2、如图,ABAC，A的平分线及BC的垂直平分线相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：BE=CF3、如图所示，在ABC中，BC边的垂直平分线DF交BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB于E，并且ABAC。求证：BEAC=AE。4、如图，D、E、F分别是ABC的三边上的点，CE=BF，且DCE的面积及DBF的面积相等，求证：AD平分BAC。5、如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D， CE垂直于BD，交BD的延长线于点E

10、。求证：BD=2CE。6、如图，在ABC中，BAC的角平分线AD交BC于D，且AB=AD, 作CMAD的延长线及M，求证：7、如图，在ODC中，D=90，CE是DCO的角平分线，且OECE，过点E作FFOC交OC于点F，猜想：线段OD及EE之间的关系，并证明 。8、如图， BD、C E分别是ABC的外角平分线，过点A作ADBD,AECE, 垂足分别是D、E，连接DE.求证：（1）DEBC，且（2）若BD、CE分别是ABC的内角平分线（如图2），其他条件不变，则线段FG及ABC三边又有怎样的数量关系？（3）若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线（如图3），则线段FG及ABC三边又有

11、怎样的数量关系？9、如图，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较 PB+PC及AB+AC的大小，并说明理由。10.如图，RtABC 中，AB=AC，BAC =90，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM. （1）判断OMN的形状，并证明你的结论. (2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？11. 在正方形ABCD中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求BAE+DCF=?13. 如图，在ABC中，AC=BC，ACB =2ABC，P为ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC。求证： 2 =2114.如图，在四边形ABCD中，B=D=90，AB=AD，若 E、F分别在边BC、CD上的点，且 求证：EF=BE +DF.15. 如图ADBC，ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=90，AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积。- 9 - / 9