湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析.docx

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1、湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）给出下列两个推理：在ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为BCD的重心，则=（+）无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045是无限不循环小数，所以e是无理数对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A是类比推理，是归纳推理B是类比推理，是演绎推理C是归纳推理，是演绎推理D是演绎推理，是类比推理2（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面的法向量为，对于原命题

2、“若=0，则l”，下列判断正确的是（）A原命题为真，否命题为真B原命题为假，否命题为假C原命题为假，否命题为真D原命题为真，否命题为假3（5分）已知复数z=32i，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4（5分）已知某个车轮旋转的角度（弧度）与时间t（秒）的函数关系是=t2（t0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A20弧度/秒B10弧度/秒C8弧度/秒D5弧度/秒5（5分）“1”是“函数f（x）=（32a）x单调递增”（）A充分不必要B必要不充分C充分且必要D既不充分也不必要6（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人

3、，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A24种B36种C42种D48种7（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（）10428用电量y（度）20445680据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=3.2，由回归方程可以预报最高气温为6时当天的用电量约为（）A32度B34度C36度D38度8（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）ABCD9（5分）已知双

4、曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）Ay=xBy=xCy=xDy=x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=11（5分）在（2）6的展开式中，含x2项的系数是12（5分）设复数z=1i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=13（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：x00，x0+a1=0，若“p（q）”为真命题

5、，则a的取值范围是14（5分）当x时，函数f（x）=ex（sinxcosx）的最小值是15（5分）设椭圆+=1（ab0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为，则椭圆的离心率为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响（）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率17（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A底面ABC，ABAC，E分别是

6、A1B1，CC1的中点（）用基向量，表示向量；（）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值18（12分）已知数列an满足：a1=1，an+1an2an+1=0（nN*）（）猜测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于219（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示（）根据图中相关数据完成以下22列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计4

7、0（）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望参考公式：K2=临界值附表：P（K2k0）0.50.40.250.150.10.01k00.4550.7081.3232.0722.7066.63520（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=+2的动点M的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）过曲线C的焦点F作倾斜角为（为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当变化时，|FT|（1cos2）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由

8、21（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数（）当a=1时，计算由曲线y=f（x）lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（）若f（x）在（0，+）上是增函数，求a的取范围；（）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x0时，比较与的大小湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）给出下列两个推理：在ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为BCD的重心，则=（+）无根不循环小数都

9、是无理数，因为e=2.7182818459045是无限不循环小数，所以e是无理数对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A是类比推理，是归纳推理B是类比推理，是演绎推理C是归纳推理，是演绎推理D是演绎推理，是类比推理考点：类比推理 专题：推理和证明分析：根据类比推理，演绎推理的定义，对两个推理进行判断即可得出正确选项解答：解：平面结论推广到空间是类比推理，三段论是演绎推理，故选B点评：考查类比推理，演绎推理的定义，理解定义，运用定义，套准定义是解题的关键2（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面的法向量为，对于原命题“若=0，则l”，下列判断正确的是（）A原命题为真，否命题为真B原命题为假，

10、否命题为假C原命题为假，否命题为真D原命题为真，否命题为假考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：根据命题的条件与结论，判定命题是否为真，再根据逆命题的定义写出逆命题判定逆命题的真假；然后根据命题与其逆否命题的同真性判定，否命题与逆否命题的真假即可解答：解：“若=0，则，得到l，或l，所以原命题为假命题，若l”则，得到=0，所以逆命题为真命题，从而否命题为真，故选：C点评：本题考查四种命题的真假关系命题与逆否命题同真、同假3（5分）已知复数z=32i，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数代数形式

11、的乘除运算化简，求出z的坐标得答案解答：解：z=32i=32i+12i=44i，复数z对应复平面上的点Z的坐标为（4，4），位于第四象限故选：D点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4（5分）已知某个车轮旋转的角度（弧度）与时间t（秒）的函数关系是=t2（t0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A20弧度/秒B10弧度/秒C8弧度/秒D5弧度/秒考点：实际问题中导数的意义 专题：导数的综合应用分析：直接利用函数的导数的几何意义求解即可解答：解：由题意可得=，车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度：=10故选：B点评：他考查函数的导数的应用，注

12、意导数的几何意义是解题的关键，考查计算能力5（5分）“1”是“函数f（x）=（32a）x单调递增”（）A充分不必要B必要不充分C充分且必要D既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合条件求出对应的等价条件，进行判断即可解答：解：由1得0a1，若函数f（x）=（32a）x单调递增，则32a1，解得a1，故“1”是“函数f（x）=（32a）x单调递增”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系以及指数函数的性质是解决本题的关键6（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个

13、学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A24种B36种C42种D48种考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题；排列组合分析：根据题意，分2种情况讨论：、甲乙两人中有1人参加竞赛，可以分3步进行分析先在甲乙中选取1人，在剩余3人选取2人，将选出的人对应三科竞赛；求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得这种情况下的参赛方案数目；、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有排列数公式可得这种情况下的参赛方案数目；最后由分类计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，分2种情况讨论：、甲乙两人中有1人参加竞赛，先在甲乙中选取1人，有2种选法；在剩余3人选取2人

14、，有C32=3种选法；将选出的人对应三科竞赛，有A33=6种情况，则此时有236=36种选法；、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有A33=6种情况，则一共有36+6=42种不同的参赛方案；故选C点评：本题考查排列、组合的应用，解题时注意分析“甲、乙两人至多选1人参赛”的条件，明确分类讨论的思路7（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（）10428用电量y（度）20445680据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=3.2，由回归方程可以预报最高气温为6

15、时当天的用电量约为（）A32度B34度C36度D38度考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a值，再将x=6代入可得答案解答：解：由表格知样本中心点为，则回归方程是=3.2x+a，将（1，50）点代入得：a=53.2，则回归方程是=3.2x+53.2，则当x=6时，y的预测值为，故选：B点评：本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目8（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中

16、不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）ABCD考点：条件概率与独立事件 专题：概率与统计分析：设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B，先求出n（A），n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可解答：解：设第一次抽到白球为事件A，第二次抽到白球为事件B，则n（A）=12，n（AB）=6，所以P（B|A）=点评：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键9（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）

17、Ay=xBy=xCy=xDy=x考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可解答：解：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=6，又|PF1|=2|PF2|，3|PF2|=6，即|PF2|=2，由双曲线定义可知：|PF1|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，|PF2|=2a，即a=1，由已知，双曲线的焦半距c=2，则b=，双曲线的渐近线方程为：y=x，故选：A点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中

18、目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=1.6考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：根据题意可判断n次独立重复试验问题，X服从B（10，0.8），二项分布问题，根据方差求解即可解答：解：根据题意可判断：X服从B（10，0.8），则随机变量X的方差D（X）=100.80.2=1.6，故答案为1.6点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的放出，同时考查了计算能力，属于中档题11（5分）在（2）6的展开式中，含x2项的系数是192考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：写出二项展开式的通项，由x的次数为2求得r值，则含x2项的系数可求

19、解答：解：=，由3r=2，得r=1含x2项的系数是25=192故答案为：192点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题12（5分）设复数z=1i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=5考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：把z=1i代入z2+az+b=，整理后利用复数相等的条件求得a，b，再由复数模的计算公式得答案解答：解：由z=1i，且z2+az+b=，得（1i）2+a（1i）+b=1+i，即2i+aai+b=1+i，a+b（a+2）i=1+i，解得a=3，b=4故a+bi=3+4i|a+bi|=故答案为：5点评：本题考查了复数代数形

20、式的乘除运算，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是基础题13（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：x00，x0+a1=0，若“p（q）”为真命题，则a的取值范围是考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：若p（q）为真，则p真，q假，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可解答：解：“p（q）”为真命题，p真，q假，若命题p为真，则a（a2）0，即0a2，若命题q为真，x0，x+a10，则1a0，即a1，解得1a2故a的取值范围为时，函数f（x）=ex（sinxcosx）的最小值是1考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用

21、分析：求出函数f（x）的导数，求得f（x）在（1，1）内的单调区间，即可得到极小值，也为最小值解答：解：函数f（x）=ex（sinxcosx）的导数为f（x）=ex（sinxcosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx（x），由f（x）0，可得0x1，即f（x）在（0，1）递增，由f（x）0，可得1x0，即f（x）在（1，0）递减即有x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为1故答案为：1点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键15（5分）设椭圆+=1（ab0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为，则椭圆的离心率为考点：

22、椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过设点A（a，0），B（a，0），M（m，n），利用kAMkBM=及，计算即得结论解答：解：设点A（a，0），B（a，0），M（m，n），则kAMkBM=，n2=b2（1）=（a2m2），即=，=，则e=，故答案为：点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响（）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（）若甲、乙两人各射击4次，

23、求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式 专题：概率与统计分析：（）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得他们都没有击中目标的概率，再用1减去此概率的值，即为所求（）由条件根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率解答：解：（）若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有击中目标的概率为（1）（1）=，故至少有一个命中目标的概率为1=（）若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为（1）=点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及n次独立重复试验中恰好发生k次的

24、概率公式，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题17（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A底面ABC，ABAC，E分别是A1B1，CC1的中点（）用基向量，表示向量；（）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义 专题：空间向量及应用分析：（）利用向量的分解和合成表示向量（）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的数量积求出线面间的正弦值解答：解：（）=（）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（，0，1），E（0，1，2）设为平面AB1C1的法向量，则因为则，取

25、x=1，则因为，则所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为点评：本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用，属常考题型、中档题18（12分）已知数列an满足：a1=1，an+1an2an+1=0（nN*）（）猜测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2考点：数学归纳法；数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）先猜想通项公式，利用数学归纳法证明（）先假设（）假设，且，因为an，ak0，利用两式子加和后的式子退出与已知矛盾，得出原命题成立解答：解：（）由已知，又a1=2，则a2=2a3

26、=2，a4=2，由此可猜想：证明：（1）当n=1时，所以猜想正确（2）假设当n=k（k1，kZ）时，猜想成立，即则=，即当n=k+1时也成立结合（1）（2）可知，数列an的递推公式是（）假设，且，因为an，ak0则1+an2an，且1+ak2an，两式相加得，（1+an）+（1+ak）2an+2ak，即an+ak2因为1，则：ak+an2，矛盾所以假设不成立，即：与中至少有一个小于2点评：本题主要考查了数学归纳法和反证法在数列题目中的应用，2015届高考经常涉及，属中档题型19（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图

27、如图所示（）根据图中相关数据完成以下22列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望参考公式：K2=临界值附表：P（K2k0）0.50.40.250.150.10.01k00.4550.7081.3232.0722.7066.635考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差 专题：综合题；概率与统计分析：（）根据条形图所给数据，得22列联表；根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出

28、观测值，即可得出结论（）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望解答：解：（）根据条形图所给数据，得22列联表为喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男151025女51015总计202040因为K2=2.6672.072，P（K22.072）=0.15故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；（）X的取值为0，1，2，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列 X 0 12 PEX=0+1+2=点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列和数学期望，本题解题的关键是正确利用观测值公式求出观测值，求概率

29、20（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=+2的动点M的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）过曲线C的焦点F作倾斜角为（为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当变化时，|FT|（1cos2）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）利用向量由|+|=+2得到点M的轨迹方程（）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tan（x1），直线和抛物线联立求得方程，利用韦达定理列得条件，根据题目条件列

30、式求解解答：解：（）设M（x，y）则，从而，所以|=，又，则由已知，则（x1）2+y2=（x+1）2，即y2=4x（）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tan（x1）联立y2=4x，消去x，得y=tan（），即y2tan4y4tan=0，设点D（x1，y1），E（x2，y2）则y1+y2=，x1+x2=，所以线段DE的垂直平分线方程为令y=0，得x=，所以点T（）故|FT|=（1cos2）=（）（1cos2）=2（）2sin2=4为定值点评：本题考查了圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中属常考题型21（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中

31、a为实常数（）当a=1时，计算由曲线y=f（x）lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（）若f（x）在（0，+）上是增函数，求a的取范围；（）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x0时，比较与的大小考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（）根据定积分的几何意义即可求出面积s，（）先求导，再分离参数，利用基本不等式即可求出a的范围；（）根据零点即是导数等于0时的方程的根，根据根与系数的关系得到x1x2=1，化简整理f（x1）+f（x2），再根据做差法比较大小，需要构造函数g（x）=xlnx1，利用导数求出函数的最小值，问题得以

32、证明解答：解：（）当a=1时，f（x）=lnx+，y=f（x）lnx=0，S=dx=（1）dx=|=2ln3；（）f（x）在（0，+）上是增函数，f（x）=+0恒成立，a=（x+2），x+22+2=4，当且仅当x=1时取等号，a4，故a的取范围为4，+）；（）由（）知f（x）=+，令f（x）=0，得到x2+（a+2）x+1=0，由题意得x1，x2是方程的两根，则x1x2=1，f（x1）+f（x2）=lnx1+lnx2+=lnx1x2+=a=a=a，于是=，设g（x）=xlnx1，则g（x）=1=当g（x）0时，即0x1，在g（x）在（0，1）上单调递减，当g（x）0时，即x1，在g（x）在（1，+）上单调递增，g（x）min=g（1）=0，当x（0，+）时，xlnx10，故，当且仅当x=1时取等号点评：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系，以及函数恒成立，不等式的证明等问题，考查了转化能力，运算能力，属于难题