数学分析第一章--实数集与函数课件.ppt

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1、第一章第一章 实数集与函数实数集与函数 1 实数教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质教学重点：绝对值与其不等式性质教学要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。一一 实数及其性质实数及其性质实数 1 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：对于正有限小数,其中记:2对于正整数则记对于负有限小数（包括负整数）,则先将小数，再在所得的小数之前加负号.表示为无限例：34不足近似值;过剩近似值.不减，不增。6命题命题：7实数的主要性质81011(3)Bernoulli不等式132 数集确界原理

2、教学内容：区间与邻域；有界集与确界原理重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定 义。15一一 区间与邻域区间与邻域区间（用来表示变量的变化范围）设且称为开区间，记为16 无限区无限区间间18x19（见下页示图）20点点a的的右邻域和点右邻域和点a的空心的空心右邻域右邻域，点点a的的左邻域和点左邻域和点a的空心的空心左邻域左邻域，。21邻域，邻域，邻域邻域，邻域邻域 （其中为充分大的正数）；22MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界2425263 确界原理 为非空数集，若有上界，则上确界；若有下界，则必有下确界。定理1.1 设必有数集的确界可能属于

3、，也可能不属于；、确界的性质唯一性：若数集存在上（下）确界，则一定是唯一的；若数集存在上、下确界，则有例例3设数集有上(下)界，证明：2829作业P9,1(1)(2),2(1),4(2)(4),531教学目的教学目的：使学生深刻理解函数概念。教学要求教学要求：（）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和 初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求 初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。教学重点教学重点：函数的概念。教学难点教学难点：初等函数复合关系的分析。第一章 函数概念32一一 函数的定义函数的定义定义定义 设，如果存在对应法则，使对，存在唯

4、一的一个数与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作().函数在点的函数值，记为称为函数，全体函数值的集合的值域，记作。即33。几点说明几点说明（1）函数定义的记号中“”表示按法则建立到的函数关系，元素之间的对应关系，也记作。习惯上称自变量，为因变量。表示这两个数集中34当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。例如：1）（不相同，对应法则相同，定义域不同）（相同，对应法则的表达形式不同）。2）（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。35（3）函数用公式法（解

5、析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则个函数。即“函数”或“函数”。来表示一（4）“映射”的观点来看，函数本质上是映射。（5）函数定义中，只能有唯一的一个值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个值，可以对应多于一个这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数。值，则称36二二 函数的表示方法函数的表示方法 1 主要方法：解析法（公式法）、列表法和图象法。2 可用“特殊方法”来表示的函数。（1）分段函数）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。例如，（符号函数）（借助于S

6、gnx可表示即）。37（）用语言叙述的函数用语言叙述的函数。（注意；以下函数不是分段函数）例 ）（取整函数）（irichlet）（Riemman函数）38三三 函数的四则运算函数的四则运算39一质点作自由落地运动,求该质点的动能.404142五 反函数434445六 初等函数1、常数函数2、幂函数46474849505 三角函数6 反三角函数 arcsinx,arccosx 图像-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.5xasin(x)-1-0.500.5100.511.522.53xacos(x)51-6-4-20246-1.5-1-0.500.511.5xatan(x)ar

7、ctgx 图图 像像52定义定义给定实数，设为无理数，我们规定：初等函数 定义由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数.如：不是初等函数的函数，称为非初等函数。如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数。53注：初等函数是本课程研究的主要对象。为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域。确定定义域时应注意两点。例例求下列函数的定义域。（）（）作业:P15 3,4(2)(3),5(2),6,7(2)(3),85455授课章节授课章节：4 具有某些特性的函数教学目的教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常

8、见术语.教学目的教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶 函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。教学重点教学重点：函数的有界性、单调性。教学难点教学难点：周期函数周期的计算、验证。1.有界函数有界函数1有上界函数、有下界函数的定义定义定义 设为定义在上的函数，若存在数使得对每一个有，则称为上的有上（下）界函数，称为的一个上（下）界。在上56注：（）在上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；（）又若为则任何大于（小于）的数也是的上（下）界。在上的一个上（下）界，在上（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（）及“有界集”定义，可类比给出 “有界函数”定

9、义：572 注：（）在上有界 在上既有上界又有下界；（2）在上无界在上无下界或无上界 58定义定义 设为定义在上的函数。若对每一个正数，使得，则称 为上的无界函数。都存在例1 证明上是无界函数。在59二二 单调函数单调函数 定定义义 设为定义在上的函数，（）若，则称 为上的增函数；若，则称为上的严格增函数。（）若，则称为上的减函数；若，则称为上的严格减函数。例2 设为D上的有界函数。证明：（1）（2）。60)(xfy=)(1xf)(2xfxyoI)(xfy=)(1xf)(2xfxyoI )(xfy=)(1xf)(2xfxyoI)(xfy=)(1xf)(2xfxyoI例例3 讨论函数在上的单调性

10、 61o-2-424-224-4o o-2-424-224-4 定理定理.2 设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域严格增（减）函数。上也是62例例讨论函数在上反函数的存在性；如果在上不存在反函数，在上存在反函数否？的子区间63例例证明：当时在上严格增，当时在上严格递减。64三三 奇函数和偶函数奇函数和偶函数定义定义.设为对称于原点的数集，为定义在上的有:，则称为上的奇函数；，则称为上的偶函数。函数。若对每一个奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶轴对称 函数的图象关于奇偶性的前提是定义域对称（）注注：（）（）（）65两条件缺一不可。6667o-2-424-21四四 周期函数周期函数1定义设为定义在数集上的函数，若存在，使得对一切有，则称为 周期函数，称为的一个周期。68几点说明：（1）若是的周期，则也是的周期 若在周期函数最小的正周期，则称此最小正周期为简称“周期”。的所有周期2）任给一个函数不一定存在周期；中有一个的“基本周期”，周期也不一定有基本周期.，即使存在例 求的周期。如:Dirichlet函数以任一有理数为周期,但无基本周期.69作业P20,1,2(2),3(1),4(4),5(3),670