系统工程原理12-9夏昊翔40489.pptx

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1、 系统工程原理系统工程原理(2060120023)3-14周：周四 5-8节，研教楼-201室荣莉莉荣莉莉 、夏昊翔夏昊翔大连理工大学大连理工大学 管理与经济学部管理与经济学部 管理科学与工程学院管理科学与工程学院 系统工程研究所系统工程研究所夏昊翔 84706689(o)第11章 随机服务系统第第1节节 随机服务系统概念随机服务系统概念随机服务系统是一类研究得较多的离散事件动态系统。现实随机服务系统是一类研究得较多的离散事件动态系统。现实中很多问题可以使用随机服务系统加以描述和分析。中很多问题可以使用随机服务系统加以描述和分析。火车站买票，顾客火车站买票，顾客-售票员；售票员；船靠码头卸货，

2、船船靠码头卸货，船-码头卸船机；码头卸船机；计算机任务处理，任务计算机任务处理，任务-计算机；等等。计算机；等等。这类系统的特点：这类系统的特点：随机性：顾客到来的时间与服务者提供服务的时间都是随机随机性：顾客到来的时间与服务者提供服务的时间都是随机的；的；排队：顾客排队等待服务；（因此，随机服务系统理论也称排队：顾客排队等待服务；（因此，随机服务系统理论也称为排队论）为排队论）排排队队论论（queuing),queuing),也也称称随随机机服服务务系系统统理理论论，是是运运筹学的一个主要分支。筹学的一个主要分支。19091909年年，丹丹麦麦哥哥本本哈哈根根电电子子公公司司电电话话工工程程

3、师师A.A.K.K.ErlangErlang的的开开创创性性论论文文“概概率率论论和和电电话话通通讯讯理理论论”标标志此理论的诞生。志此理论的诞生。排排队队论论的的发发展展最最早早是是与与电电话话、通通信信中中的的问问题题相相联联系的，并到现在是排队论的传统的应用领域。系的，并到现在是排队论的传统的应用领域。近近年年来来在在计计算算机机通通讯讯网网络络系系统统、交交通通运运输输、医医疗疗卫卫生生系系统统、库库存存管管理理、作作战战指指挥挥等等各各领领域域中中均均得得到到应用。应用。排队是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列。排队是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列。排队系统是指一个具

4、有排队等待现象的服务系统。排队系统是指一个具有排队等待现象的服务系统。排队论是指定量的研究排队问题，寻找系统内在规律，寻找排队论是指定量的研究排队问题，寻找系统内在规律，寻找供求关系平衡的最优方案。供求关系平衡的最优方案。现实世界中排队的现象比比皆是，但有如下共同特征现实世界中排队的现象比比皆是，但有如下共同特征:(1)有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求着陆的飞有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求着陆的飞机等，我们将此称为机等，我们将此称为“顾客顾客”。(2)有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称为我们称为“服务员服务员”。由顾

5、客和服务员就组成服务系统。由顾客和服务员就组成服务系统。(3)顾客随机地一个一个顾客随机地一个一个(或者一批一批或者一批一批)来到服务系统，来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定确定的，服务过程的这种随每位顾客需要服务的时间不一定确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时间服务员又空闲无机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时间服务员又空闲无事。事。各种形式的排队系统 各种形式的排队系统各种形式的排队系统各种形式的排队系统各种形式的排队系统随机服务系统研究目的与方法面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务设施，但是增加面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务设施，但是增加的数量越

6、多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。客会带来不良影响。如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，就是随机服务系统理论盾，就是随机服务系统理论排队论所要研究解决的问题。排队论所要研究解决的问题。因此，研究随机服务系统的基本目的在于合理

7、设计实际的随因此，研究随机服务系统的基本目的在于合理设计实际的随机服务系统，在保证服务质量的同时使服务系统的开支最小。机服务系统，在保证服务质量的同时使服务系统的开支最小。由于随机因素在服务系统中起着根本性的影响，所以研究随由于随机因素在服务系统中起着根本性的影响，所以研究随机服务系统时，需要采用研究随机现象规律性的概率论的方法。机服务系统时，需要采用研究随机现象规律性的概率论的方法。随机服务系统研究的基本问题随机服务系统研究的基本问题 1.1.排排队队系系统统的的统统计计推推断断:即即通通过过对对排排队队系系统统主主要要参参数数的的统统计计推推断断和和对对排排队队系系统统的的结结构构分分析析

8、，判判断断一一个个给给定定的的排排队队系系统统符符合合于于哪哪种种模模型型，以以便便根根据排队理论进行研究。据排队理论进行研究。2.2.系系统统性性态态问问题题:即即研研究究各各种种排排队队系系统统的的概概率率规规律律性性，主主要要研研究究队队长长分分布布、等等待待时时间间分分布布和和忙忙期分布等统计指标期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。包括了瞬态和稳态两种情形。3.3.最最优优化化问问题题：即即包包括括最最优优设设计计(静静态态优优化化)，最优运营（动态优化）。，最优运营（动态优化）。排队问题求解排队问题求解排队问题求解排队问题求解(主要指性态问题主要指性态问题主要指性态问题主要指

9、性态问题)求求解解一一般般排排队队系系统统问问题题的的目目的的主主要要是是通通过过研研究究排排队队系系统统运运行行的的效效率率指指标标，估估计计服服务务质质量量，确确定定系系统统的的合合理理结结构构和和系系统统参参数数的的合合理理值值，以以便便实实现现对对现现有有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。系统合理改进和对新建系统的最优设计等。排队问题的一般步骤：排队问题的一般步骤：1 1.确确定定或或拟拟合合排排队队系系统统顾顾客客到到达达的的时时间间间间隔隔分分布和服务时间分布布和服务时间分布(可实测可实测)。2.2.研研究究系系统统状状态态的的概概率率。系系统统状状态态是是指指系系统统中中顾顾

10、客客数数。状状态态概概率率用用P Pn n(t)(t)表表示示,即即在在t t时时刻刻系系统统中中有有n n个顾客的概率，也称瞬态概率。个顾客的概率，也称瞬态概率。求解状态概率求解状态概率P Pn n(t)(t)方法是建立含方法是建立含P Pn n(t)(t)的微分差分方程，的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此我们常常使确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此我们常常使用它的极限用它的极限(如果存在的话如果存在的话)：稳态的物理意义见右图，系稳态的物理意义见右

11、图，系统的稳态一般很快都能达到，统的稳态一般很快都能达到，但实际中达不到稳态的现象但实际中达不到稳态的现象也存在。值得注意的是求稳也存在。值得注意的是求稳态概率态概率P Pn n并不一定求并不一定求t的的极限极限,而只需求而只需求P Pn n(t)=0(t)=0 即即可。可。过渡状态 稳定状态 pn t 排队系统状态变化示意图 称为稳态称为稳态(steady state)steady state)解，解，或称统计平衡状态或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)Statistical Equilibrium State)的解。的解。第2节 随机服务系统特征

12、和基本排队模型u共同特征：共同特征：(1)(1)请求服务的人或者物请求服务的人或者物顾客；顾客；(2)(2)有为顾客服务的人或者物，即服务员或服务台；有为顾客服务的人或者物，即服务员或服务台；(3)(3)顾顾客客到到达达系系统统的的时时刻刻是是随随机机的的，为为每每一一位位顾顾客客提提供供服服务务的的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。ServerQueueArrivalu每每个个顾顾客客由由顾顾客客源源按按一一定定方方式式到到达达服服务务系系统统，首首先先加加入入队队列列排排队队等等待待接接受受服服务务，然然后后服服务务台台按按一一

13、定定规规则则从从队队列列中中选选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开。择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开。基本排队过程基本排队过程 随机服务系统的基本组成随机服务系统的基本组成随机服务系统的基本组成随机服务系统的基本组成 随机服务系统一般有三个基本组成部分：随机服务系统一般有三个基本组成部分：1.1.输入过程；输入过程；2.2.排队排队规则；规则；3.3.服务机构。服务机构。输入过程输入过程(顾客按照怎样的规律到达顾客按照怎样的规律到达);排队规则排队规则(顾客按照一定规则排队等待服务顾客按照一定规则排队等待服务);服务机构服务机构(服务机构的设置服务机构的设置,服务台的数量服务台的数量

14、,服务的方式服务的方式,服务时服务时间分布等间分布等)排队长度服务者1服务者2服务者n顾客到达几个关键时间指标：几个关键时间指标：1）顾客到来的时间间隔）顾客到来的时间间隔 2）排队时间）排队时间 3）系统服务时间）系统服务时间随机服务系统的性质由三个部分决定：顾客到来的规律、排队随机服务系统的性质由三个部分决定：顾客到来的规律、排队规律、服务机理。规律、服务机理。1输入过程 这这是是指指要要求求服服务务的的顾顾客客是是按按怎怎样样的的规规律律到到达达排排队队系系统统的的过过程程，有有时时也也把把它它称称为为顾顾客客流流。一一般般可可以以从从3 3个个方方面来描述面来描述个输入过程。个输入过程

15、。(1)(1)顾顾客客总总体体数数，又又称称顾顾客客源源、输输入入源源。这这是是指指顾顾客客的的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。(2)(2)顾顾客客到到达达方方式式。这这是是描描述述顾顾客客是是怎怎样样来来到到系系统统的的，是单个到达，还是成批到达。是单个到达，还是成批到达。(3)(3)顾顾客客流流的的概概率率分分布布，或或称称相相继继顾顾客客到到达达的的时时间间间间隔隔的的分分布布。这这是是求求解解排排队队系系统统有有关关运运行行指指标标问问题题时时，首首先先需需要要确确定定的的指指标标。顾顾客客流流的的概概率率分分布布一一般般有有定定长长

16、分分布布、二二项项分分布布、泊泊松松流流(最最简简单单流流)、爱爱尔尔朗朗分分布布等等若若干种。干种。输入过程随机服务系统的输入就是顾客的到来，由于到来规律的不同，随机服务系统的输入就是顾客的到来，由于到来规律的不同，所以有各种类型的输入过程。一般用两个顾客到达的时间间隔所以有各种类型的输入过程。一般用两个顾客到达的时间间隔来描述系统的输入特点。来描述系统的输入特点。主要输入过程类型：主要输入过程类型：（1 1）定长输入）定长输入顾客有规律地等间隔到达，假如每隔时间顾客有规律地等间隔到达，假如每隔时间到一个，这时候相到一个，这时候相继两个顾客到达的相隔时间继两个顾客到达的相隔时间的分布函数为：

17、的分布函数为：例如：生产线上的产品从传送带过来进入包装箱的情况例如：生产线上的产品从传送带过来进入包装箱的情况（2）泊松输入前面讲到的定长输入过程是一个确定性过程，更多情况下输入前面讲到的定长输入过程是一个确定性过程，更多情况下输入过程是随机的。过程是随机的。是随机变量。最常见的顾客到来规律按照泊是随机变量。最常见的顾客到来规律按照泊松分布到来，称这样的输入过程为泊松输入。泊松输入满足以松分布到来，称这样的输入过程为泊松输入。泊松输入满足以下条件：下条件：1）平稳性：在每个时间段）平稳性：在每个时间段a,a+t内内k个顾客到达的概率与个顾客到达的概率与a无无关，只与关，只与t,k有关；有关；2

18、）无后效性：不相交的时间段到达的顾客数相互独立；）无后效性：不相交的时间段到达的顾客数相互独立；3）普通性）普通性在把时间段分的足够小的话，每个时间段最多在把时间段分的足够小的话，每个时间段最多到达一个顾客；到达一个顾客；4）有限性：任意有限区间到达有限个顾客的概率为）有限性：任意有限区间到达有限个顾客的概率为1。（k=0，1，2，）在泊松输入下，在时间长度为在泊松输入下，在时间长度为t的时间段里面到达的时间段里面到达k个顾客的概个顾客的概率被定义为泊松分布：率被定义为泊松分布：其分布函数为负指数分布：其分布函数为负指数分布：这种输入是应用最广泛的，而且是最容易处理的。这种输入是应用最广泛的，

19、而且是最容易处理的。0-t这个时间段内顾客到达的平均数：这个时间段内顾客到达的平均数：因此，单位时间里面顾客到达的平均数为因此，单位时间里面顾客到达的平均数为，称为平均到达率。，称为平均到达率。平均到达的时间间隔为：平均到达的时间间隔为：其它输入u（3）爱尔朗（）爱尔朗（Erlang）输入）输入u它的到达间隔相互独立，具有相同的分布它的到达间隔相互独立，具有相同的分布 a(t)=(t)k-1e-t/(k-1)!,t0u（4）一般独立输入）一般独立输入u到达间隔相互独立、相同分布，其分布函数到达间隔相互独立、相同分布，其分布函数A(t)可以是任可以是任意一个函数，上面的几种输入都可看作是它的特例

20、。意一个函数，上面的几种输入都可看作是它的特例。u（5）成批到达的输入）成批到达的输入u每次到来的不一定是一个顾客，而可能是一批顾客，数目每次到来的不一定是一个顾客，而可能是一批顾客，数目n是一个随机变量，分布为是一个随机变量，分布为 pn=k=ak,k=0,1,2,u到达时间间隔则可能是上述几类输入中的一种。到达时间间隔则可能是上述几类输入中的一种。2排队规则u这这是是指指服服务务台台从从队队列列中中选选取取顾顾客客进进行行服服务务的的顺顺序序。一一般般可可以以分分为为损损失失制制、等等待待制制和和混混合合制等制等3 3大类。大类。u(1)(1)损失制损失制 这是指如果顾客到达排队系统时，所

21、有服务这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都被先到的顾客占用，那么他们就自动离台都被先到的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。开系统永不再来。典型例子如电话服务。典型例子如电话服务。(2)(2)等待制等待制 这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。等待制中，服务台在选择顾客进行服务排队行列等待服务。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时时常有如下四种常有如下四种规则规则：1)1)先到先服先到先服务务。按。按顾顾客到达的先后客到达的先后顺顺序序对顾对顾客客进进行服行服务务。最最通常的情况。通常的情况。2)2)后

22、到先服后到先服务务。堆栈堆栈 3)3)随机服随机服务务。即当服。即当服务务台空台空闲时闲时，不按照排，不按照排队队序列而随意指序列而随意指定某个定某个顾顾客接受服客接受服务务。每一顾客被接待的概率相同每一顾客被接待的概率相同 4)4)优优先先权权服服务务。分轻重缓急，如加急电报分轻重缓急，如加急电报 5 5）多个服务台情况：可派成几队，或一队。多个服务台情况：可派成几队，或一队。(3)(3)混合制混合制 这这是是等等待待制制与与损损失失制制相相结结合合的的一一种种服服务务规规则则，一一般般是是指指允允许许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种：排队，但又不允许队列无限长下去。具体

23、说来，大致有三种：1)1)队队长长有有限限。当当排排队队等等待待服服务务的的顾顾客客人人数数超超过过规规定定数数量量时时，后后来来的的顾顾客客就就自自动动离离去去，另另求求服服务务，即即系系统统的的等等待待空空间间是是有有限的。限的。2)2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度定的长度T T，当等待时间超过，当等待时间超过T T时，顾客将自动离去，并不再时，顾客将自动离去，并不再回来。回来。3)3)逗留逗留时间时间(等待等待时间时间与服与服务时间务时间之和之和)有限。有限。3服务机理u服务机理是随机服务系统的第三个要素，包

24、括：服务者的服务机理是随机服务系统的第三个要素，包括：服务者的个数、单个服务还是成批服务、以及服务的时间分布个数、单个服务还是成批服务、以及服务的时间分布u(1)(1)服务台数量及构成形式。服务台数量及构成形式。u从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。u从构成形式上看，服务台有：从构成形式上看，服务台有：u单队单队单服务台式；单服务台式；u单队单队-多服务台并联式；多服务台并联式；u多队多队多服务台并联式；多服务台并联式；u单队单队多服务台串联式；多服务台串联式；u单队单队多服务台并串联混合式，以及多队多服务台并多服务台并串联混合式，以及多队多

25、服务台并串联混合式等等。串联混合式等等。u(2)(2)服服务务方式。方式。u这这是是指指在在某某一一时时刻刻接接受受服服务务的的顾顾客客数数，它它有有单单个个服服务务和和成批服成批服务务两种。两种。u(3)(3)服服务时间务时间的分布。的分布。u服服务务时时间间分分为为确确定定型型和和随随机机型型。在在多多数数情情况况下下，对对每每一一个个顾顾客的服客的服务时间务时间是一随机是一随机变变量。量。u1 定长分布：每一个顾客服务时间都是常数。类似于输定长分布：每一个顾客服务时间都是常数。类似于输入过程的定长分布情况。入过程的定长分布情况。u2 负指数分布：各顾客的服务时间相互独立，具有相同负指数分

26、布：各顾客的服务时间相互独立，具有相同分布。分布。同样类似于泊松输入的分析，平均服务时间为同样类似于泊松输入的分析，平均服务时间为1/。3 爱尔朗分布：爱尔朗分布：平均服务时间为平均服务时间为1/。当。当k=1时就就转化化为负指数分布，指数分布，k时就得到就得到长度度为1/的定的定长分布。分布。4 一般服务分布：服务时间相互独立，分布相同，分布函数一般服务分布：服务时间相互独立，分布相同，分布函数可能是任意函数。可能是任意函数。5 多服务台情况。多服务台情况。6 服务时间依赖于队长的情况。服务时间依赖于队长的情况。第3节 随机服务系统的一般描述 从一般意义上讲，随机服务系统可以采用如下符号表示

27、：从一般意义上讲，随机服务系统可以采用如下符号表示：/（A/B/C/K/m/Z)代表输入过程（时间分布）、代表输入过程（时间分布）、代表服务时间分布、代表服务时间分布、是服是服务者数目、务者数目、是系统中允许的最大顾客数、是系统中允许的最大顾客数、是能够到来的顾是能够到来的顾客数、客数、是排队规则。是排队规则。各符号的具体内涵各符号的具体内涵：表示表示顾顾客相客相继继到达到达间间隔隔时间时间分布，常用下列符号：分布，常用下列符号：M M表示到达的表示到达的过过程程为为泊松泊松过过程或程或负负指数分布；指数分布；D D表示定表示定长输长输入；入；E EK K表示表示K K阶爱阶爱尔尔朗分布；朗分

28、布；G G表示一般相互独立的随机分布。表示一般相互独立的随机分布。u表表示示服服务务时时间间分分布布，所所用用符符号号与与表表示示顾顾客客到到达达间间隔隔时时间分布相同。间分布相同。u表表示示服服务务台台(员员)个个数数：“1”“1”表表示示单单个个服服务务台台，“s”(s1)“s”(s1)表示多个服务台。表示多个服务台。u表表示示系系统统中中顾顾客客容容量量限限额额，或或称称等等待待空空间间容容量量。如如系系统统有有K K个个等等待待位位子子，则则，0K0K1)s(s1)个个服服务务台台；系系统统等等待待空空间间容容量量无无限限(等等待待制制)；顾顾客客源源无限；采用先到先服无限；采用先到先

29、服务规则务规则。u一般情况下不限制顾客数，采用先到先服务排队规则，这样一般情况下不限制顾客数，采用先到先服务排队规则，这样系统可简写为前三项系统可简写为前三项/（A/B/C）。）。uM/M/s即即Poisson输入、负指数服务时间分布、输入、负指数服务时间分布、S个服务台个服务台的等待制排队模型。的等待制排队模型。uM/M/1表示指数输入和指数服务分布、一个服务者。表示指数输入和指数服务分布、一个服务者。uM/G/n表示指数输入、一般服务分布、表示指数输入、一般服务分布、n个服务者。个服务者。uM/G/1即即Poisson输入，一般服务时间分布，单个服务台的输入，一般服务时间分布，单个服务台的

30、等待制排队模型。等待制排队模型。其他模型uM/M/c/K/Kl顾客来源是有限的服务系统顾客来源是有限的服务系统.例如：例如：一个饭店有一个饭店有 X 张桌子和张桌子和 Y个服务生服务来源有限的顾客个服务生服务来源有限的顾客.uM/D/1l服务时间不变的服务系统服务时间不变的服务系统.uD/M/1l确定性到达模式确定性到达模式,及指数分布服务时间及指数分布服务时间.例如：医生赴约治病例如：医生赴约治病的时间表的时间表.uM/E k/1l服务服从服务服从 Erlang 分布分布.例如：用相同平均时间去完成一些程序。例如：用相同平均时间去完成一些程序。随机服务系统的主要数量指标u描述一个排队系统运行

31、状况的主要数量指标有：描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：u1 1队长和排队长队长和排队长(队列长队列长)u队长是指系统中的顾客数队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和与正在接受服务的顾客数之和)。u排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。队长和排队长一般都是随机变量。队长和排队长一般都是随机变量。u这是双方都关心的，也是系统设计者关心的。这是双方都关心的，也是系统设计者关心的。u2 2等待时间和逗留时间等待时间和逗留时间u从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。从顾客到达时刻起到他开

32、始接受服务止这段时间称为等待时间。等待时间是个随机变量。等待时间是个随机变量。u从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间，从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。也是随机变量。u这是顾客最关心的，希望越短越好。这是顾客最关心的，希望越短越好。u3.3.忙期和忙期和闲闲期期 u忙期是指从忙期是指从顾顾客到达空客到达空闲闲着的服着的服务务机构起，到服机构起，到服务务机构再次成机构再次成为为空空闲闲止的止的这这段段时间时间，即服，即服务务机构机构连续连续忙的忙的时间时间。这这是个随机是个随机变变量，量，是服是服务员务员最最为为关心的指关心的指标标，因，因为

33、为它关系到服它关系到服务员务员的服的服务务强强度。度。u与忙期相与忙期相对对的是的是闲闲期期,即服即服务务机构机构连续连续保持空保持空闲闲的的时间时间。在排。在排队队系系统统中，忙期和中，忙期和闲闲期期总总是交替出是交替出现现的。的。u这些量都是随机变量，常常要求取它们的分布及平均值。这些量都是随机变量，常常要求取它们的分布及平均值。u 4 4数量指标的常用记号数量指标的常用记号u(1)(1)主要数量指标主要数量指标uLL平平均均队队长长，即即稳稳态态系系统统任任一一时时刻刻的的所所有有顾顾客客数数 的的期期望值；望值；uL Lq q平平均均等等待待队队长长，即即稳稳态态系系统统任任一一时时刻

34、刻等等待待服服务务的的顾顾客客数的期望值；数的期望值；uWW平平均均逗逗留留时时间间，即即(在在任任意意时时刻刻)进进入入稳稳态态系系统统的的顾顾客客逗留时间的期望值；逗留时间的期望值；uW Wq q平平均均等等待待时时间间，即即(在在任任意意时时刻刻)进进入入稳稳态态系系统统的的顾顾客客等待时间的期望值。等待时间的期望值。u(2)(2)其他常用数量指标其他常用数量指标uss系统中并联服务台的数目；系统中并联服务台的数目；u平均到达率；平均到达率；u1 1平均到达间隔；平均到达间隔；u平均服务率；平均服务率；u1/1/平均服务时间；平均服务时间；uNN稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数

35、）；稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）；uUU任一顾客在稳态系统中的逗留时间；任一顾客在稳态系统中的逗留时间；uQQ任一顾客在稳态系统中的等待时间；任一顾客在稳态系统中的等待时间；系统状态系统状态=排队系统顾客的数量。排队系统顾客的数量。N(t)=在时间在时间 t 排队系统中顾客的数量。排队系统中顾客的数量。队列长度队列长度 =等待服务的顾客的数量。等待服务的顾客的数量。Pn(t)=在时间在时间t,排队系统中恰好有排队系统中恰好有n个顾客的概率。个顾客的概率。s =服务台的数目。服务台的数目。u服服务务强强度度，即即每每个个服服务务台台单单位位时时间间内内的的平平均均服服务务时时间间

36、，般般有有=(s)(s)。这这是是衡衡量量排排队队系系统统繁繁忙忙程程度的重要尺度。度的重要尺度。u当当趋趋近近于于0 0时时，表表明明对对期期望望服服务务的的数数量量来来说说，服服务务能能力力相相对对地地说说是是很很大大的的，这这时时，等等待待时时间间一一定定很很短短，服服务务台有大量的空闲时间。台有大量的空闲时间。u如如服服务务强强度度趋趋近近于于1 1，那那么么服服务务台台空空闲闲时时间间较较少少而而顾顾客等待时间较多。客等待时间较多。u一一般般都都假假定定平平均均服服务务率率大大于于平平均均到到达达率率，即即/1,/0有：有：(1)到达到达(生生)：在：在(t，t+t)内系内系统统出出

37、现现一个新的到达的概率一个新的到达的概率为为的常数；没有的常数；没有发发生新的到达的概率生新的到达的概率为为；出；出现现多于一个以上的新的到达概率多于一个以上的新的到达概率为为0(t)。的常数，没有消失的概率的常数，没有消失的概率为为消失多于一个以上的概率消失多于一个以上的概率为为0(t)。则则称系称系统统状状态态随随时间时间而而变变化的化的过过程程X(t)为为一个生一个生灭过灭过程。程。(2)消失消失(灭灭)：在：在(t，t+t)内，系统消失一个的概率为内，系统消失一个的概率为 2.生生灭过灭过程微分差分方程程微分差分方程组组 设设表示系统在时刻t的状态X(t)=n的概率即，状态为n的概率近

38、似于以下四个概率之和：(1)P系统在时刻t时为n，而在t内没有到达也没有消失=(2)P系统在t时为n-1而在t内有一个到达并且没有一个消失=(3)P系统在t时为n+1，而在t内没有到达而有一个消失=则系统在时刻t+t的 (4)P系统在t内发生多于一个的到达或消失=0(t)应用全概率公式有 当 时 类似地，当S为有限集时，对 有 令t0得 当系统状态S为有限集时，生灭过程的微分差分方 程组为 当系统状态S为可数集时，生灭过程微分差分方程组为 若能求解这组方程，则可得到在时刻t系统状态概率分布 称为生灭过程的瞬时解，一般这种瞬时解是难以求得的。可以证明，前述的生灭过程存在统计平衡态，即系统各个状态

39、（K1个）的概率分布:pi=常数（i=0,1,K)即：3.统计平衡下的极限解 实际应用中，关心的是 时方程的解，称为生灭过程微分差分方程组的极限解。令 得当S为有限状态集时：当S为可数状态集时：从而可以求得概率分布列第第5节节 典型随机服务系统模型典型随机服务系统模型和理论结果和理论结果1、M/M/1系统分析通过分析排队队长无限、泊松输入、指数服务分布的随机服务通过分析排队队长无限、泊松输入、指数服务分布的随机服务系统来了解随机服务系统分析的基本方法。系统来了解随机服务系统分析的基本方法。下面介绍满足生灭过程典型排队下面介绍满足生灭过程典型排队M/M/1与与M/M/S的结果的结果1）在时间区段

40、）在时间区段(t,t+t)内，当系内，当系统统在在t时时刻的状刻的状态为态为i（已（已经有有i人在系人在系统中，包括排中，包括排队的和接受服的和接受服务的）又有一个新的的）又有一个新的顾客到客到来的概率来的概率为i itt；2 2）在时间区段在时间区段(t,t+t)内，当系统在内，当系统在t时刻的状态为时刻的状态为i而有一个而有一个顾客离去的概率为顾客离去的概率为i it；3)3)两个以上顾客同时到来或者离去的概率为高阶无穷小可忽略两个以上顾客同时到来或者离去的概率为高阶无穷小可忽略这一情况与生灭过程一致，可以用生灭过程进行分析。这一情况与生灭过程一致，可以用生灭过程进行分析。M MM M1

41、1模型模型u一个基本的排列模型。一个基本的排列模型。u一个服务台一个服务台,到达率到达率 和服务率和服务率 都服从指数分都服从指数分布。布。u模型的条件是：模型的条件是：u1 1、输输入入过过程程顾顾客客源源是是无无限限的的，顾顾客客到到达达完完全全是是随随机机的的，单单个个到到来来，到到达达过过程程服服从从普普阿阿松松分分布，且是平稳的；布，且是平稳的；u2 2、排排队队规规则则单单队队，且且队队长长没没有有限限制制，先先到到先服务；先服务；u3 3、服服务务机机构构单单服服务务台台，服服务务时时间间的的长长短短是是随机的，服从相同的指数分布随机的，服从相同的指数分布 。M/M/1系统分析假

42、定：假定：(1)对于所有状态对于所有状态i而言，到达率为常数，即而言，到达率为常数，即 i=(2)对所有状态对所有状态i而言，服务率为常数，即而言，服务率为常数，即 i=(3),保证队列不会越排越长。保证队列不会越排越长。单位时间内平均到达顾客数单位时间内平均到达顾客数 （即到达率），即顾客平均到（即到达率），即顾客平均到达时间达时间1/服务率服务率 ：单位时间平均服务完的顾客数：单位时间平均服务完的顾客数，每个顾客平均，每个顾客平均服务时间服务时间1/。定义定义 为服务强度。为服务强度。对于对于M/M/1系统，其平衡点的主要指标有：系统，其平衡点的主要指标有：系统中有系统中有n个顾客的概率：

43、个顾客的概率：平均队长（系统中平均顾客数）：平均队长（系统中平均顾客数）：平均排队长度：平均排队长度：每个顾客在系统中平均所花时间：每个顾客在系统中平均所花时间：每个顾客排队所花费的平均时间每个顾客排队所花费的平均时间:M/M/1 举例例例1 某某医医院院急急诊诊室室同同时时只只能能诊诊治治一一个个病病人人，诊诊治治时时间间服服从从指指数数分分布布，每每个个病病人人平平均均需需要要1515分分钟钟。病病人人按按泊泊松松分分布布到到达达，平平均均每每小小时时到到达达3 3人人。试试对对此此排排队队队队系系统统进行分析。进行分析。解解:对此排队队系统分析如下：对此排队队系统分析如下：（1 1）先确

44、定参数值：这是单服务台系统，有：先确定参数值：这是单服务台系统，有：故服务强度为：故服务强度为：（2）计算稳态概率：计算稳态概率：这就是急诊室空闲的概率，也是病人不必等待立即就能就诊这就是急诊室空闲的概率，也是病人不必等待立即就能就诊的概率。的概率。而病人需要等待的概率则为：而病人需要等待的概率则为：这这也是急也是急诊诊室繁忙的概率。室繁忙的概率。（3）计算系统主要工作指标。计算系统主要工作指标。急诊室内外的病人平均数：急诊室内外的病人平均数：急急诊诊室外排室外排队队等待的病人平均数：等待的病人平均数：病人在急病人在急诊诊室内外平均逗留室内外平均逗留时间时间：病人平均等候病人平均等候时间时间：

45、（4）为使病人平均逗留时间不超过半小时，那么平均服务为使病人平均逗留时间不超过半小时，那么平均服务时间应减少多少？时间应减少多少？由于由于代入代入=3=3，解得，解得55，平均服，平均服务时间为务时间为：151512123min3min即平均服即平均服务时间务时间至少至少应应减少减少3min3min(5)(5)若医院希望候诊的病人若医院希望候诊的病人90%90%以上都能有座位以上都能有座位,则候诊室则候诊室至少应安置多少座位至少应安置多少座位?设应该设应该安置安置个座位个座位,加上急加上急诊诊室的一个座位室的一个座位,共有共有+1+1个。要使个。要使90%90%以上的候以上的候诊诊病人有座位，

46、相当于使病人有座位，相当于使“来来诊诊的的病人数不多于病人数不多于+1+1个个”的概率不少于的概率不少于90%90%，即，即两两边边取取对对数数（x x2 2）lglg lg0.1lg0.1因因 1 1，故，故所以所以 6 6即候诊室至少应安置即候诊室至少应安置6 6个座位。个座位。2、M/M/S 模型模型u此此模模型型与与M/M/1模模型型不不同同之之处处在在于于有有S个个服服务务台台，各各服服务务台台的的工工作作相相互互独独立立，服服务务率率相相等等，如如果果顾顾客客到到达达时时，S个个服服务务台台都都忙忙着着，则排成一队等待，先到先服务的单队模型。则排成一队等待，先到先服务的单队模型。u

47、整个系统的平均服务率为整个系统的平均服务率为s，u*/s，（，（*0Q0）0.750.750 02020L Lq q2.252.25人人0 01212人人L L3 3人人0 08787人人W W60min60min17174min4minW Wq q45min45min2 24min4minp0 例例3 某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时间服从指数分布，平人，挂号员服务时间服从指数分布，平均服务率每分钟均服务率每分钟0.4人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向人，现假设就

48、诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/3M/M/3型的排队服务模型。型的排队服务模型。求：该系统的运行指标求：该系统的运行指标 解解:如果在例如果在例3 3中，就诊者到达后在每个挂号窗口各自排成中，就诊者到达后在每个挂号窗口各自排成一队，即排成一队，即排成3 3队，且进入队列后不离开，各列间也互不串队，且进入队列后不离开，各列间也互不串换，这就形成换，这就形成3 3个队列，而例个队列，而例3 3中的其它条件不变。假设每中的其它条件不变。假设每个队列平均到达率相等且为：个队列平均到达率相等且为：1

49、 12 23 30.9/30.9/30.30.3（人（人/分钟）分钟）这样，原来的这样，原来的M/M/3M/M/3系统就变成了系统就变成了3 3个个M/M/1M/M/1型的子系统。型的子系统。现按现按M/M/1M/M/1型计算主要运行指标，并与上面的例子进行型计算主要运行指标，并与上面的例子进行对比分析，结果见表对比分析，结果见表2 2。表表2 2 两个模型的比较两个模型的比较指标指标（1 1）M/M/3M/M/3型型（2 2）M/M/1M/M/1型型挂号间空闲挂号间空闲的概率的概率0.07480.07480.250.25（各子系统）（各子系统）就诊者必须等待就诊者必须等待的概率的概率P(N3

50、)=0.57P(N3)=0.570.750.75平均队列长平均队列长1.71.7（人）（人）2.252.25（人）（人）（各子系统）（各子系统）平均队长平均队长3.953.95（人）（人）9 9（人）（人）（整个系统）（整个系统）平均逗留时间平均逗留时间4.394.39（分钟）（分钟）1010（分钟）（分钟）平均等待时间平均等待时间1.891.89（分钟）（分钟）7.57.5（分钟）（分钟）3、M/M/S/N/系统容量有限u固定长度排队意味着若到了最大系统容量顾客将不能固定长度排队意味着若到了最大系统容量顾客将不能进入系统。进入系统。u当当N=S 时为损失制系统时为损失制系统u当当NS时为混合