信号与系统分析第七章--离散时间信号与系统的Z域分析课件.ppt

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1、第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的第七章离散时间信号与系统的Z域分析域分析7.1 Z变换变换7.2 Z变换的性质变换的性质7.3 Z反变换反变换7.4 Z变换与拉普拉斯变换变换与拉普拉斯变换7.5 差分方程的差分方程的Z变换求解变换求解7.6 系统函数与系统特性系统函数与系统特性7.7 离散时间系统的频率响应离散时间系统的频率响应7.8 离散时间系统的离散时间系统的Z域模拟域模拟7.9 离散时间系统离散时间系统Z域分析的域分析的MATLAB实现实现第七章离散时间信号与系统的Z域分析离散信号或离散系统的z域分析与连续信号或连续系统的复频域分析有许多相似之处。Z变换可使离

2、散时间信号的卷积运算变成代数运算，离散时间系统的差分方程变成z域代数方程，从而可以比较方便地分析系统的响应。本章首先从拉氏变换导出Z变换的定义,然后讨论Z变换的性质、收敛域、Z反变换以及Z变换与拉氏变换的关系。在此基础上,着重讨论离散时间系统的Z变换分析法。即应用Z变换求解差分方程，应用系统函数及其零极点的分布来分析系统的时域特性和频率特性,最后简要介绍离散时间系统的z域模拟。第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.1Z变换变换7.1.1Z变换的定义变换的定义Z变换可以借助抽样信号的拉氏变换来引入,也可由定义直接给出。连续信号f(t)经均匀冲激抽样,得抽样信号fs(t)为第七章离散时间信号与系统

3、的Z域分析 式中,Ts为抽样时间间隔。对上式取双边拉氏变换得交换积分与求和的次序,并利用冲激函数的抽样性质得(7.1)令(7.2)或 第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析离散序列并不一定是由连续信号抽样所得,有的信号原本就是离散的,与连续信号的采样序列在形式上是相同的,故此,其Z变换可直接用式(7.4)定义。即若有序列f(k)(k=0,1,2,),则定义f(k)的双边Z变换定义为(7.5)式中,z为复变量。通常,F(z)称为序列f(k)的象函数,简记为F(z)=Zf(k)。f(k)称为F(z)的原函数,记为f(k)=Z-1F(z),二者之间的关系还可表示为f(k

4、)F(z)(7.6)第七章离散时间信号与系统的Z域分析双边Z变换不仅涉及信号f(k)中k0部分,而且还涉及到k0部分,如果只考虑f(k)中k0的部分,则有(7.7)上式称为序列f(k)的单边Z变换。显然，如果f(k)是因果序列(即k0时,f(k)=0),则单双边Z变换相等,否则,二者不等。第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.1.2Z变换的收敛域变换的收敛域由式(7.5)和(7.7)可知,Z变换是复变量z-1的幂级数,显然只有当该级数收敛时,Z变换才有意义。根据级数理论,该级数收敛的充分必要条件是(7.8)上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的Z变换存在的充要条件。第七章离散时间信号与系统的

5、Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析上式是一个有限项级数,只要级数的各项都存在且有限,则它们的和一定存在且有限。由该级数可以看出,对于k的各个可能取值,在|f(k)|的情况下,当k1=k2=0时,则,F(z)在整个z平面均收敛,即收敛域为0|z|;当k2k10或k2k10时,F(z)除了z=0点外,在z平面上处处收敛,即收敛域为|z|0;当0k2k1或0k2k1时,F(z)除了z=点外,在z平面上处处收敛,即收敛域为|z|;当k20,k10时,F(z)除了z=0和z=点外,在z平面上处处收敛,即收敛域为0|z|。第七章离散时间信号与系统的Z域分析可见,有限长序列的Z变换的收敛域至少为0|

6、z|,但也可能包括z=0或z=点,这是由序列的形式而确定的。2.右边序列右边序列右边序列又称为有始无终序列,即当kk1时,f(k)=0,此时,序列的Z变换为第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析则该级数收敛,Rr称为该级数的收敛半径。可见,右边序列的收敛域是z平面内以原点为中心、Rr为半径的圆的外部,如图7.1(a)所示。如果k10,结合有限长序列收敛域的判定,该收敛域不包括处点,即收敛域为Rr|z|,而如果k10,则收敛域为Rr|z|。当k10时,右边序列为因果序列,因此因果序列的收敛域为Rr|z|,因果序列在z=处收敛是它的一个重要特性。第七章离散时间信号与系

7、统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.1求序列f(k)=ak(k)的双边Z变换,并确定其收敛域。解解由式(7.5),序列f(k)的双边Z变换为上式为序列等比级数求和,只有当|az-1|1,即|z|a|时,级数收敛。运用等比级数求和公式可得序列的Z变换为）第七章离散时间信号与系统的Z域分析3.左边序列左边序列左边序列又称为无始有终的序列,即当kk2时,f(k)=0,此时,序列Z变换为若令n=-k,上式变为由根值判定法,若F(z)满足第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析解解由式(7.5),序列f(k)的双边Z变换为令n=-k,则有上式为序列等比级数求

8、和,只有满足|a-1z|1,即|z|a|时,级数收敛,此时序列Z变换为 第七章离散时间信号与系统的Z域分析比较例7.1与例7.2可以看出,两个不同序列对应相同的Z变换,但是其收敛域不同。因此,为了单值地确定Z变换所对应的序列,不仅要给出序列的Z变换式,而且必须同时说明它们的收敛域。4.双边序列双边序列双边序列又称为无始无终序列,它是从k=-延伸到k=的序列,其Z变换可以写成第七章离散时间信号与系统的Z域分析显然,可以把它看成是左边序列与右边序列Z变换的叠加。等式右边第一个级数是左边序列,其收敛域为|z|Rl,第二个级数是右边序列,其收敛域为|z|Rr。当RlRr时,双边序列的收敛域为两个级数收

9、敛域的重叠部分,即Rr|z|Rl(7.11)其中,Rr0,Rl。此时,双边序列的收敛是一个环形区域,如图7.1(c)所示。如果RlRr,则两个收敛域不重叠,此时,双边序列的收敛域不存在,所以F(z)也不存在。第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.3求序列f(k)=ak(k)-bk(-k-1)的双边Z变换,并确定其收敛域。解解由例7.1、7.2的结果,可以得到第七章离散时间信号与系统的Z域分析若|b|a|,则F(z)的收敛域为|a|z|b|,是一个环形区域,如果|b|a|,则两个序列不存在公共收敛域,序列f(k)的双边Z变换不存在。显然,该序列的双边Z变换的零点位于z=0和处,极点位于z=a

10、和z=b处,由于F(z)在收敛域内是解析的,因此收敛域内不包含任何极点。一般来说,收敛域是以极点为边界的,即对于右边序列来说,收敛域位于最外面(最大值)的极点的外部(可能包含点),左边序列位于最里边(最小值)的内部(可能包含0点)。第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析2.单位序列单位序列(k)(7.13)即单位序列(k)的Z变换等于常数1,它在整个z平面内收敛。3.单边指数序列单边指数序列ak(k)由例7.1可以得到,(7.14)若令a=ejk,则可以得到复指数序列的Z变换(7.15)第七章离散时间信号与系统的Z域分析4.左边指数序列左边指数序列-ak(-k-1

11、)由例7.2可以得到(7.16)5.单边正弦与余弦序列单边正弦与余弦序列由上述复指数序列的Z变换,不难得到单边余弦序列的Z变换为(7.17)|Z|1第七章离散时间信号与系统的Z域分析同理可得单边正弦序列的Z变换为(7.18)表7.1给出了常用序列的Z变换,以便查阅。第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.2Z变换的性质变换的性质 Z变换也可以由它的定义推出许多性质,这些性质表示了函数在时域与z域之间的关系,其中有不少可和拉普拉斯变换的性质相对应。利用这些性质可以非常方便地进行Z变换和Z反变换的求解。7.2.1线性性质线性性质若f

12、1(k)F1(z)，1|z|1f2(k)F2(z)，2|z|2则 af1(k)+bf2(k)aF1(z)+bF2(z)(7.19)第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.2.2移位性质移位性质 移位性质也称为延时性质,它是分析离散系统的重要特性之一。单边与双边Z变换的移位性质有重要的差别,因此对其进行分别讨论。1.双边双边Z变换的移位变换的移位对于序列f(k),若f(k)F(z)，|z|则序列移位m后,有f(km)zmF(z)，|z|(7.20)第七章离散时间信号与系统的Z域分析 式中,m为任意正整数；、均为正实数。证明证明:由双边Z变换的定义有令n=km,则上

13、式可写为第七章离散时间信号与系统的Z域分析可见,序列f(k)沿k轴移位m后,对应的Z变换等于原序列Z变换与zm的乘积,由于移位仅影响Z变换在z=0或z=处的零、极点的情况发生变化,因此,对于具有环形收敛域的序列,其移位后Z变换的收敛域不变。2.单边单边Z变换的位移变换的位移设f(k)是双边序列,若f(k)(k)F(z),|z|则(7.21)第七章离散时间信号与系统的Z域分析证明证明:由单边Z变换定义得令n=k+m,则上式化为第七章离散时间信号与系统的Z域分析同理,可得(7.22)式中,m为任意正整数。当m=1,2时,由式(7.21)、(7.22)可得第七章离散时间信号与系统的Z域分析如果序列f

14、(k)为因果序列,则式(7.22)右边一项全部为零,因此,因果序列右移位的单边Z变换为Zf(k-m)(k)=z-mF(z)(7.23)例例7.4求矩形序列RN(k)=(k)-(k-N)的单边Z变换。解解由Z变换的线性性质和移位性质,得第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.5已知单边周期序列,m、N为正整数,N为最小正周期,若设f1(k)(k)F1(z),试求f(k)的Z变换。解解根据题意，由f(k)为单边周期序列可知，f1(k)也必为单边周期序列，故单边周期序列可以表示为由Z变换移位性质得(7.24)第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.2.3z域尺度性质域尺度性质(序列指数加权序列指数加

15、权)若f(k)F(z),|z|则(7.25)式中,a为非零常数;、均为正实数。证明证明:由Z变换定义得第七章离散时间信号与系统的Z域分析z域尺度性质表明,时域中乘以指数序列等效于z平面的尺度压缩或扩展。利用该性质,可以得到下列关系a-kf(k)F(az),|az|(7.26)(-1)kf(k)F(-z),|z|(7.27)例例7.6求指数衰减序列akcos(k)(k)的Z变换(式中0a1)。解解由表7.1可得第七章离散时间信号与系统的Z域分析由z域尺度性质得收敛域为|z|a。第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.7求序列的双边Z变换及其收敛域。解解令f1(k)=3k+1(k+1),则有由序

16、列的移位性质得第七章离散时间信号与系统的Z域分析由z域尺度性质得第七章离散时间信号与系统的Z域分析式中，、均为正实数。证明证明:由Z变换定义上式两边对z求导,得第七章离散时间信号与系统的Z域分析Z交换求导与求和的次序，上式可写为第七章离散时间信号与系统的Z域分析重复上述运算,可以得到(7.29)其中,所示的运算为(共求导m次)例例7.8求下列序列的双边Z变换。(1)k(k);(2)。第七章离散时间信号与系统的Z域分析(7.31)解解(1)由于(k),|z|1,由z域微分性质得(7.30)同理可得(2)由z域微分性质与线性性质可得第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.2.5z域积分性质域积分性质

17、(序列除序列除k+m)若f(k)F(z)|z|则(7.32)式中,m为整数,且k+m0。若m=0且k0,则(7.33)证明证明:由Z变换定义第七章离散时间信号与系统的Z域分析由于上述级数在收敛域内绝对可和且一致收敛,故可逐项积分。将上式两端除以zm+1并从z到进行积分得由于k+m0,所以上式写为第七章离散时间信号与系统的Z域分析移项后得|z|例例7.9求序列(k)的Z变换。解解由于(k)故由z域积分性质(这里m=1)得|z|1第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.2.6时域折叠时域折叠若f(k)F(z)，|z|则 f(-k)F(z-1)，|z|(7.34)证明证明:由Z变换定义第七章离散时间信

18、号与系统的Z域分析由时域折叠性质得(-k)，|z|1例例7.10已知ak(k),求序列a-k(-k-1)的Z变换。解解由时域折叠性质得对上式左移一个单位,可得a-k-1(-k-1)对上式两边同乘上a,可得第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.2.7初值定理初值定理初值定理适用于因果序列,它可用于由象函数直接求得序列的初值,而不必求原序列。若因果序列f(k)的Z变换为Zf(k)(k)=F(z),则f(k)的初值为f(0)=F(z)(7.35)证明证明:由于 第七章离散时间信号与系统的Z域分析当z时,上式级数中除了第一项f(0)外,其他各项都趋近于零,所以有类似地,可以推导出:(7.37)(7.3

19、6)(7.38)第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.2.8终值定理终值定理终值定理适用于因果序列,用于由象函数直接求得序列的终值,而不必求原序列。若因果序列f(k)的Z变换为Zf(k)(k)=F(z),如果k时,f(k)的终值存在并且有限,则f(k)的终值为(7.39)证明证明:由Z变换定义有第七章离散时间信号与系统的Z域分析令z1,上式可写为由移位性质得第七章离散时间信号与系统的Z域分析对上式取极限得所以f()=(z-1)F(z)成立。从推导中可以看出,终值定理只有当k时f(k)收敛的情况下才能应用,也就是说，要求F(z)的极点必须在单位圆之内,若在单位圆上,则只能位于z=1处,且为一阶极

20、点。例例7.11已知某因果序列的Z变换为|z|a|第七章离散时间信号与系统的Z域分析求f(0)、f(1)和f()。解解由初值定理得终值定理的应用条件f(k)的终值必须存在,即F(z)的极点必须在单位圆之内,或是单位圆上z=1处的一阶极点,因此需要对a进行讨论。(1)当|a|1时,终值存在,且终值为f()=(z-1)=0;(2)当a=1时,终值存在,且终值为f()=(z-1)=1;第七章离散时间信号与系统的Z域分析(3)当a为其他值时,终值不存在。实际上由F(z)不难求出f(k)=ak(k)。显然,当|a|1时,序列发散,终值不存在;当a=-1时,f(k)=(-1)k(k),终值不存在。因此这两

21、种情况下,终值定理不成立,只有当|a|1和a=1时,终值存在,且结果与上述相同。第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.2.9时域卷积定理时域卷积定理若f1(k)F1(z)，1|z|1f2(k)F2(z)，2|z|2则 f1(k)*f2(k)F1(z)F2(z)(7.40)一般情况下,收敛域为两个收敛域的公共部分,即max(1,2)|z|min(1,2),若两个收敛域没有公共部分,则Z变换不存在。另外,有可能出现零、极点相互抵消的情况,此时收敛域可能扩大。证明证明:第七章离散时间信号与系统的Z域分析交换求和次序得时域卷积定理说明,时域中两序列的卷积和的Z变换等于原两个时域序列各自Z变换的乘积。同

22、连续系统类似,若已知系统激励和单位序列响应,求系统零状态响应时,利用卷积定理可以避免卷积运算,简化求解过程。第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.12若已知某离散时间系统的单位序列响应为h(k)=ak(k),试求激励为f(k)=bk(k)(0ab)时系统的零状态响应yzs(k)。解解由时域分析法可知,系统的零状态响应yzs(k)等于激励与单位序列响应的卷积和,即yzs(k)=f(k)*h(k)由时域卷积定理,可得Yzs(z)=F(z)H(z)式中,Yzs(z)=Zyzs(k),F(z)=Zf(k),H(z)=Zh(k)第七章离散时间信号与系统的Z域分析由表7.1,可知所以将Yzs(z)展成

23、部分分式,得由Z变换的基本变换对,可以得到第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.13若已知f(k)F(z),利用卷积定理求和序列f(n)的Z变换。解解由序列卷积和的定义可知,和序列f(n)可看成是序列f(k)与单位阶跃序列(k)的卷积和,即故由时域卷积定理可得(7.41)第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.2.10z域卷积定理域卷积定理若f1(k)F1(z),1|z|1f2(k)F2(z),2|z|2则(7.42)或(7.43)第七章离散时间信号与系统的Z域分析式中,C1,C2分别为F1()与F2或F1与F2()收敛域内重叠部分逆时针旋转的围线。而两序列相乘后Z变换的收敛域一般为F1()

24、与F2或F1与F2()的重叠部分,即2|z|12。证明从略。表7.2列出了Z变换的一些主要性质(定理),以便查阅。第七章离散时间信号与系统的Z域分析表表7.2Z变换的主要性质变换的主要性质(定理定理)第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.3Z 反反 变变 换换同连续时间系统一样,在离散时间系统分析中,常常要求从z域的象函数F(z)求出时域的原序列f(k),这个过程就是Z反变换,也称Z逆变换。若已知序列f(k)的Z变换为Zf(k)=F(z),则F(z)的反变换记为f(k)=Z-1(z)第七章离散时间信号与系统的Z域分析由于Z变换的定义中,F(z)为幂级数,因此,

25、可以把F(z)展开为幂级数,然后根据幂级数各项的系数求反变换f(k)。若F(z)为有理式,则可以把F(z)展开成部分分式,结合常用Z变换对求反变换。除此之外,还可以根据复变函数理论,利用反演积分(留数法)来求解Z反变换。下面来具体讨论这三种Z反变换计算方法。第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.3.1幂级数展开法幂级数展开法(长除法长除法)由于f(k)的Z变换定义为z-1的幂级数,即因此,只要在给定的收敛域内,把F(z)展成幂级数,级数的系数就是原序列f(k)。一般情况下,F(z)是一个有理分式,分子分母都是z的多项式,因此,可以直接利用分子多项式除以分母多项式,得到幂级数展开式,从而得到f(

26、k),因此这种方法也称为长除法。第七章离散时间信号与系统的Z域分析在利用长除法做Z反变换时,同样要根据收敛域判断序列f(k)的性质。如果F(z)的收敛域为|z|,则f(k)是因果序列,此时,将F(z)的分子分母按照z的降幂(或z-1的升幂)进行排列,再进行长除;如果F(z)的收敛域为|z|,则f(k)为反因果序列,此时,将F(z)的分子分母按照z的升幂(或z-1的降幂)进行排列,再进行长除运算。第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.14已知其收敛域为:(1)|z|1；(2)|z|1。试分别求其对应的原序列。解解(1)收敛域|z|1,故f(k)为因果序列,将F(z)的分子分母按照z的降幂排列

27、,即第七章离散时间信号与系统的Z域分析进行长除,得1+3z-1+5z-2+7-3+第七章离散时间信号与系统的Z域分析所以故原序列为f(k)=(2k+1)(k)第七章离散时间信号与系统的Z域分析(2)收敛域|z|1,故f(k)为左边序列,将F(z)的分子分母按照z的升幂排列,则进行长除,得Z+3z2+5z3+第七章离散时间信号与系统的Z域分析故原序列为f(k)=-(2k+1)(-k-1)通常情况下,如果只要求序列f(k)的前几个值,则用长除法比较方便。长除法的缺点在于不易求得f(k)的闭合形式。第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.3.2部分分式展开法部分分式展开法一般情况下,F(z)是z的有理

28、分式,且可以表示成(7.44)式中,an,an-1,a1,a0和bm,bm-1,b1,b0均为实系数;n和m为正整数;D(z)为特征多项式,D(z)=0为特征方程,其根称为F(z)的特征根,也称为F(z)的极点。第七章离散时间信号与系统的Z域分析当mn时,可以直接利用部分分式展开的方法求Z反变换。若mn,则F(z)为假分式,在将F(z)展开为部分分式之前,需要用多项式长除法将F(z)分解为多项式和真分式之和,即(7.45)第七章离散时间信号与系统的Z域分析令B(z)=B0+B1z+Bm-nzm-n,它是z的有理多项式,其Z反变换为单位序列(k)及其移位,即Z-1B(z)=B0(k)+B1(k+

29、1)+Bm-n(k+m-n)(7.46)所以只要确定的反变换即可,而的反变换可以利用部分分式展开法得到。下面来讨论当mn时,利用部分分式展开法求Z反变换的过程。第七章离散时间信号与系统的Z域分析 利用部分分式展开的方法求Z反变换与拉普拉斯反变换类似。但由于Z反变换的主要形式为 等,其分母上都有z,为了保证F(z)分解后能得到这样的标准形式,通常先将展开为部分分式之和,再乘以z,然后根据Z变换的收敛域求得原序列f(k)。下面根据F(z)极点的不同类型,将 展开成下述三种情况。第七章离散时间信号与系统的Z域分析1.F(z)的极点均为互不相同的单实极点的极点均为互不相同的单实极点若F(z)仅含有互不

30、相同的单实极点z1,z2,zn,且不等于0,则可以展开为(7.47)式中,z0=0,Ki为待定系数,且其计算式为(7.48)将求得的各系数代入式(7.47),得根据给定的收敛域,由基本的Z变换对,对F(z)进行反变换,即可得到f(k)的表达式。第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.15已知收敛域分别为:(1)|z|2；(2)|z|；(3)|z|2。第七章离散时间信号与系统的Z域分析试求其对应的原序列f(k)。解解将F(z)除以z得上式展成部分分式之和第七章离散时间信号与系统的Z域分析所以(1)由于F(z)的收敛域为|z|2,即半径为2的圆外,故f(k)为因果序列,所以(2)由于F(z)的收

31、敛域为|z|1/2,即半径为1/2的圆内,故f(k)为反因果序列,所以第七章离散时间信号与系统的Z域分析(3)由于F(z)的收敛域为1/2|z|2的圆环,故f(k)为双边序列,由序列的展开式不难看出,第一项为反因果序列(|z|2),第二项为因果序列(|z|1/2),分别求其对应的Z反变换得第七章离散时间信号与系统的Z域分析2.F(z)的极点中含有共轭复数极点且无重极点的极点中含有共轭复数极点且无重极点若F(z)含有一对共轭单极点z1,2=ajb=rej,则可以展开为(7.49)式中,K0、K1、K2的计算式与式(7.48)相同。同拉普拉斯反变换相同,由于z1与z2为共轭复数,因而K1,K2互为

32、共轭复数,因此,若设K1=|K1|ej,则K2=|K1|e-j,故F(z)可写为(7.50)第七章离散时间信号与系统的Z域分析设Fc(z)=,则当|z|r时,Fc(z)对应的时域序列为(7.51)同理可得，当|z|r时,Fc(z)对应的时域序列为fc(k)=-2|K1|rkcos(k+)(-k-1)(7.52)第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.16已知试求其对应的原序列f(k)。解解将F(z)除以z得第七章离散时间信号与系统的Z域分析上式展成部分分式之和第七章离散时间信号与系统的Z域分析所以由于F(z)的收敛域为|z|2,故f(k)为因果序列,所以第七章离散时间信号与系统的Z域分析3.

33、F(z)的极点中含有重极点的极点中含有重极点设F(z)在z=z1处有r阶重极点,其余为互不相同的单极点,则可以展开为(7.53)式中,K0,Ki的计算同式(7.48),K1j可以由下式计算得到(7.54)第七章离散时间信号与系统的Z域分析将求出的系数代入式(7.53),整理得由表7.1可知,当序列为因果序列时(7.55)同样,可以根据表7.1得到其他部分分式的Z反变换序列。第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.17已知收敛域为|z|2,试求其对应的原序列f(k)。解解将F(z)除以z得第七章离散时间信号与系统的Z域分析将上式展成部分分式之和第七章离散时间信号与系统的Z域分析所以由于F(z)

34、的收敛域为|z|2,故f(k)为因果序列,因而第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.3.3围线积分法围线积分法(留数法留数法)若已知序列f(k)的Z变换为F(z),由复变函数理论,原函数f(k)可由以下围线积分给出(7.56)其中,围线C是F(z)收敛域内环绕原点的一条逆时针方向的闭合单围线,如图7.2所示。第七章离散时间信号与系统的Z域分析图 7.2围线积分路径第七章离散时间信号与系统的Z域分析下面由Z变换的定义导出式(7.56)。已知，|z|上式两端同乘zm-1,并在收敛域内进行围线积分,得(7.57)交换求和与积分的次序(7.58)第七章离散时间信号与系统的Z域分析根据复变函数理论中的柯

35、西定理知(7.59)这样,式(7.58)中等号右边的围线积分只有当k=m时值为2j,而其余的k值均为零,故式(7.58)可写为令k=m,则上式可写为从而导出Z反变换定义式(7.56)。第七章离散时间信号与系统的Z域分析(7.61)为了叙述方便,可以将象函数F(z)分为两个部分F1(z)、F2(z),则F(z)可写为F(z)=F1(z)+F2(z)，|z|(7.60)其中,F1(z)的收敛域为|z|,对应于因果序列f1(k);F2(z)的收敛域为|z|,对应于反因果序列f2(k)。对于F1(z)而言,其收敛域为|z|,它的极点在半径为|z|=的圆上或圆内区域,即围线积分路径C的内部。根据复变函数

36、中的留数定理,f1(k)等于积分路径C内F(z)zk-1的极点留数之和,即 第七章离散时间信号与系统的Z域分析对于F2(z)而言,其收敛域为|z|,它的极点在半径为|z|=的圆上或圆外区域,即围线积分路径C的外部。根据留数定理,f2(k)等于积分路径C外部区域F(z)zk-1的极点留数之和并取负号,即(7.62)第七章离散时间信号与系统的Z域分析归纳上述结果得(7.63)F(z)为有理式时,F(z)zk-1的极点留数计算方法如下:如果F(z)zk-1在z=zi处有一阶极点,则其留数为ResF(z)zk-1|z=zi=(z-zi)F(z)zk-1|z=zi(7.64)第七章离散时间信号与系统的Z

37、域分析如果F(z)zk-1在z=zi处有r阶极点,则其留数为(7.65)例例7.18已知F(z)同例7.15,即第七章离散时间信号与系统的Z域分析收敛域为|z|2,用留数法求其对应的原序列f(k)。解解由收敛域可知F(z)对应的原序列f(k)为双边序列,函数F(z)zk-1为积分围线C如图7.3所示。第七章离散时间信号与系统的Z域分析图 7.3例7.18中收敛域及闭合围线第七章离散时间信号与系统的Z域分析当k0时,函数在围线C内部有z2=处的一个极点,由式(7.64)得第七章离散时间信号与系统的Z域分析当k-1时,函数在围线C外部有z1=2处的一阶极点,由式(7.64)得第七章离散时间信号与系

38、统的Z域分析综上可得与例7.15所得结果相同。第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.4Z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系在7.1节中,给出了复变量s与z之间的关系为(7.66)或式中,Ts为取样周期。如果将s表示为直角坐标的形式,z表示为极坐标的形式,即s=+jz=rej将它们代入到式(7.66),可以得到第七章离散时间信号与系统的Z域分析故有(7.67)由上式可以看出,sz平面有如下的映射关系:(1)s平面的虚轴(=0,s=j)映射到z平面的单位圆上(r=1)。(2)s平面的左半平面(0)映射到z平面的单位圆的内部(r1),s平面的右半平面(0)映射到z平面的单位圆的外部(r

39、1)。(3)s平面平行于虚轴(为常数)的直线映射到z平面上的圆心在原点、半径为r的圆上。第七章离散时间信号与系统的Z域分析(4)s平面的实轴(=0,s=)映射到z平面的正实轴;平行于实轴的直线(为常数),映射到z平面上始于原点的辐射线;通过j(k=1,3,)而平行于实轴的直线映射到z平面上的负实轴。(5)由于ej是以s=为周期的周期函数,因此s平面上沿虚轴移动对应于z平面上沿单位圆周期性地旋转，每平移s,沿单位圆转一圈。所以，s平面到z平面的映射关系不是一一对应的,即z平面到s平面的映射是多值的。在z平面上的一点z=rej,映射到s平面将是无穷多点,即,m=0,1,2,(7.68)sz平面的映

40、射关系如表7.3所示。第七章离散时间信号与系统的Z域分析表表 7.3sz平面的映射关系平面的映射关系 第七章离散时间信号与系统的Z域分析第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.5差分方程的差分方程的Z变换求解变换求解 Z变换是求解线性差分方程的强有力的工具。通过利用Z变换的线性和移位性质,可以把描述系统的时域差分方程变换为z域的代数方程,简化求解过程;同时,单边Z变换将系统的初始状态自然地包含于象函数方程中。因此,既可分别求得零输入响应、零状态响应,也可以一举求得系统的全响应。第七章离散时间信号与系统的Z域分析设线性时不变系统的激励为f(k),响应为y(k),则描述n阶离散时间系统的差分方程为(

41、7.69)其中an-i、bm-j为常数,且an=1。设系统激励f(k)在k=0时接入,系统的初始状态为y(-1),y(-2),，y(-k),对式(7.69)两边做单边Z变换,则由Z变换的移位性质可得第七章离散时间信号与系统的Z域分析式中,F(z)=Z f(k),Y(z)=Z y(k)。将上式展开后得(7.70)即(7.71)第七章离散时间信号与系统的Z域分析式中,Y(z)为系统全响应y(k)的z域表示式。由式(7.71)可知,第一项仅与系统的初始状态有关,而与激励信号无关,因此它是系统零输入响应yzi(k)的Z变换表示式,即(7.72)第七章离散时间信号与系统的Z域分析式(7.71)的第二项仅

42、与系统激励信号有关,而与系统的初始状态无关,因此它是系统零状态响应yzs(k)的Z变换表示式,即(7.73)故式(7.71)可写为Y(z)=Yzi(z)+Yzs(z)第七章离散时间信号与系统的Z域分析分别对Yzi(z)、Yzs(z)和Y(z)取Z反变换,即可求得系统零输入响应、零状态响应和全响应的时域表达式为Yzi(k)=Z-1Yzi(z)Yzs(k)=Z-1Yzs(z)y(k)=Z-1Y(z)例例7.19已知某离散时间系统的差分方程为y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=f(k)+2f(k-1)第七章离散时间信号与系统的Z域分析初始状态为y(-1)=1,y(-2)=2,系统激励为f(k)

43、=(3)k(k),求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解解对差分方程两边做Z变换得第七章离散时间信号与系统的Z域分析所以上式中,第一项为零输入响应的z域表示式,第二项为零状态响应的z域表示式,将初始状态及激励的Z变换F(z)=代入,得零输入响应、零状态响应的z域表示式分别为第七章离散时间信号与系统的Z域分析将Yzi(z)、Yzs(z)展开成部分分式之和,得即第七章离散时间信号与系统的Z域分析对上两式分别取Z反变换,得零输入响应、零状态响应分别为故系统全响应为第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.20已知某离散时间系统的差分方程为y(k+2)+y(k+1)-2y(k)=2f(k+2)+f

44、(k+1)初始状态为y(-1)=1,y(-2)=0,系统激励为f(k)=(k),求系统的全响应。解解系统由前向差分方程构成,若直接求取Z变换,则需要知道y0、y1的值,为了计算方便,先将前向差分方程转换为后向差分方程。将前向差分方程中的k用k-2替代,则转换为后向差分方程为y(k)+y(k-1)-2y(k-2)=2f(k)+f(k-1)第七章离散时间信号与系统的Z域分析对上式两边做Z变换得即第七章离散时间信号与系统的Z域分析将初始状态及激励的Z变换F(z)=代入,得系统全响应的z域形式为将Y(z)展开成部分分式之和得第七章离散时间信号与系统的Z域分析即对上式取Z反变换,得系统全响应为第七章离散

45、时间信号与系统的Z域分析7.6系统函数与系统特性系统函数与系统特性离散时间系统的系统函数H(z)是离散系统分析的重要参数。同H(s)类似,离散系统函数H(z)与系统差分方程有着确定的对应关系;在给定激励的情况下,系统函数决定了系统的零状态响应。除此之外,通过分析系统函数零、极点的分布,还可以了解离散系统的时域响应、频域响应和系统的因果稳定性等诸多特性。第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.6.1系统函数系统函数如前所述,描述n阶离散系统的差分方程一般形式为设激励f(k)在k=0时接入系统,且系统处于零状态,则响应y(k)为零状态响应。对上式两边做Z变换,并令Z f(k)=F(z),Zyzs(k

46、)=Yzs(z),由Z变换移位性质得第七章离散时间信号与系统的Z域分析于是有(7.74)第七章离散时间信号与系统的Z域分析式中,(7.75)H(z)称为离散时间系统的系统函数或传输函数,它定义为系统零状态响应的Z变换与激励的Z变换之比。由上式可见,系统函数H(z)只与描述系统的差分方程的an-i、bm-j有关,而与激励和系统的初始状态无关。这说明系统函数只与系统本身结构有关,反映了系统固有的特性。由系统差分方程也可以很容易地求出系统函数,反之亦然。第七章离散时间信号与系统的Z域分析由第六章可知,系统的零状态响应等于激励与单位序列响应的卷积和,即yzs(k)=f(k)*h(k)由时域卷积定理,得

47、到Yzs(z)=F(z)Zh(k)=F(z)H(z)可以看出,系统函数H(z)与单位序列响应h(k)是一对Z变换。若系统函数和激励的Z变换F(z)已知,则由式(7.74)得到系统零状态响应的Z变换Yzs(z),对Yzs(z)求Z反变换可以得到系统的零状态响应yzs(k)。第七章离散时间信号与系统的Z域分析例例7.21已知某离散时间系统的差分方程为y(k)-5y(k-1)+6(k-2)=f(k)-3f(k-2)试求:(1)该系统的系统函数H(z)及单位序列响应h(k)。(2)当激励为f(k)=(k)时,系统的零状态响应yzs(k)。解解(1)由式(7.75),得将上式进行部分分式展开,得即第七章

48、离散时间信号与系统的Z域分析对H(z)取Z反变换,得单位序列响应为(2)由式(7.74)得系统零状态响应为Yzs(z)=F(z)H(z)将F(z)=代入上式得将进行部分分式展开,得第七章离散时间信号与系统的Z域分析对Yzs(z)取Z反变换,得系统零状态响应为yzs(k)=-1-（2）k+3(3)k(k)即第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.6.2系统函数的零点与极点系统函数的零点与极点一般来说,一个n阶的线性时不变离散系统的系统函数H(z)是有理函数,可以表示为z-1的有理分式(如式(7.75),也可以表示为z的有理分式,即(7.76)式中,ai(i=0,1,2,n)、bj(j=0,1,2,

49、m)为实数。将N(z)、D(z)进行因式分解,则H(z)可以表示为(7.77)第七章离散时间信号与系统的Z域分析式中,H0=为常数,zj(j=0,1,2,m)是分子多项式N(z)=0的根,称为H(z)的零点,pi(i=0,1,2,n)是分母多项式D(z)=0的根,称为H(z)的极点。零点zj和极点pi的值可以是实数、虚数或复数,由于差分方程的系数ai、bj均为实数,所以零、极点若为虚数或复数,则必须共轭成对出现。第七章离散时间信号与系统的Z域分析H(z)的零、极点分布有以下几种情况:(1)一阶实零、极点,位于z平面的实轴上;(2)一阶共轭虚零、极点,位于虚轴上并对称于实轴;(3)一阶共轭复零、

50、极点,对称于实轴;(4)二阶和二阶以上的实、虚、复零点和极点,它们具有和一阶极点相同的分布类型。第七章离散时间信号与系统的Z域分析离散时间系统的系统函数H(z)也可以用零、极点分布图来表示,即将系统函数的零、极点绘在z平面上,零点用“”表示,极点用“”表示,若是n阶零点或极点,则在相应的零、极点旁标注(n)。例如某离散时间系统函数为可以看出,H(z)的零点为z1=0(二阶)、z2=-1,极点为p1,2=-0.6(二阶)、p3,4=0.40.8j(共轭极点),对应的零极点分布图如图7.4所示。第七章离散时间信号与系统的Z域分析图 7.4零、极点分布图第七章离散时间信号与系统的Z域分析7.6.3系