第3章优化设计--现代设计方法教学课件.ppt
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1、优化设计主要讲述内容一.一.优化设计概述优化设计概述二.二.优化数学模型优化数学模型三.三.优化设计的数学基础优化设计的数学基础四.四.一维搜索方法一维搜索方法五.五.无约束优化方法无约束优化方法六.六.约束优化方法约束优化方法第一节 优化设计概述v定义:在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术,是根据最优化原理和方法综合各方面的因素,以人机配合方式或“自动探索”方式,在计算机上进行的自动或半自动设计,以选出现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。v设计原则:最优设计v设计手段:电子计算机和计算程序v设计方法:最优化数学方法第一节 优化设计概述v机械优化设计在给定的载荷或环境条
2、件下,在对机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制(约束)范围内,选取设计变量,建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。设计变量、目标函数和约束条件三者在设计空间(以设计变量为坐标轴组成的实空间)的几何表示中构成设计问题。第一节 优化设计概述v优化设计与传统设计的比较 机械的传统设计方法机械的传统设计方法:基于手工劳动或简易计算工具基于手工劳动或简易计算工具,低效低效,一般只能获得一个可行的设计方案。一般只能获得一个可行的设计方案。机械的优化设计方法:机械的优化设计方法:基于计算机的应用,从实际基于计算机的应用,从实际问题中抽象出数学模型问题中抽象出数学模型;选择合适的优化方法求解
3、选择合适的优化方法求解数学模型。以人机配合或自动搜索方式进行,能从数学模型。以人机配合或自动搜索方式进行,能从“所有的所有的”可行方案中找出可行方案中找出“最优的最优的”设计方案。设计方案。第一节 优化设计方法概述v优化设计方法的发展是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。1 1)二二十十世世纪纪三三十十年年代代.前前苏苏联联 根根据据生生产产组组织织和和计计划划管管理理的的需需要要提提出出线线性性规规划划问问题题.在在第第二二次次世世界界大大战战期期间间出出于于战战争争运运输输需需要要,提提出出线线性性规规划划问题的
4、解法;问题的解法;2 2)二二十十世世纪纪五五十十年年代代末末.H.W.Kuhn H.W.Kuhn&A.W.TuckerA.W.Tucker提提出出非非线线性性规规划划的的基基本本定定理理,奠奠定定了了非非线线性性规规划划的的理理论论基基础础.其求解方法在六十年代获得飞速发展其求解方法在六十年代获得飞速发展;第一节 优化设计概述3)3)二二十十世世纪纪六六十十年年代代.美美数数学学家家 R.J.Duffin R.J.Duffin 提提出出了了几几何何规规划划,可可把把高高度度非非线线性性的的问问题题转转化化为为具具有有线线性性约约束束的的问题来求解问题来求解,使计算大为简化使计算大为简化;4)
5、4)动态规划动态规划由由 R.Bellman R.Bellman 创立创立,可解与时间有关的最优可解与时间有关的最优化问题化问题;5)5)混合离散规划混合离散规划是二十世纪八十年代提出的是二十世纪八十年代提出的,目前仍在发目前仍在发展过程中。展过程中。v优化设计方法的发展第一节 优化设计概述*最最优优化化方方法法用用于于机机械械设设计计是是从从二二十十世世纪纪六六十十年年代代开开始始的的,较较早早的的成成果果主主要要反反映映在在机机构构的的优优化化设设计计方方面面,现现已已广广泛泛用用于机械零部件设计和机械系统的优化设计于机械零部件设计和机械系统的优化设计.v优化设计方法的发展第二节 优化数学
6、模型解解:设货箱的长、宽、高分别为设货箱的长、宽、高分别为 ,该问题可表示为该问题可表示为:求求 使使 达到最小达到最小 满足于满足于其解为其解为:该问题可表示为该问题可表示为求求使使满足于满足于解:由解:由 有有2.设计一曲柄摇杆机构设计一曲柄摇杆机构.已知已知:要求要求:使使 达到最大达到最大.第二节 优化数学模型二二.优化数学模型优化数学模型 完整的规格化的数学模型包含三要素:设计变量,目标函数,约束函数。由于数学模型构成不同,可以分为:无约束优化有约束优化线性规划非线性规划第二节 优化数学模型二二.优化数学模型优化数学模型 第二节 优化数学模型三三.设计变量设计变量 v在设计中需进行优
7、选的独立的待求参数;在设计中需进行优选的独立的待求参数;v)设计常量设计常量预先已给定的参数;预先已给定的参数;v)设计方案设计方案由设计常量和设计变量组成。由设计常量和设计变量组成。v)维维 数数设计变量的个数设计变量的个数n.通常通常,设计自由度设计自由度 ,越能获得理想的结果越能获得理想的结果,但求解难度但求解难度 .第二节 优化数学模型三三.设计变量设计变量 2)2)设计空间设计空间设计点的集合(设计点的集合(维实欧氏空间维实欧氏空间 )。)。当设计点连续时当设计点连续时,为直线为直线;为平面为平面;为立体空间为立体空间;为超越空间为超越空间.第二节 优化数学模型四四.目标函数目标函数
8、 最最好好的的性性能能;最最小小的的重重量量;最最紧紧凑凑的的外外形形;最小的生产成本最小的生产成本;最大的经济效益等最大的经济效益等.-对极大化问题可取原函数的负值对极大化问题可取原函数的负值常处理为极小化形式常处理为极小化形式;单目标和多目标单目标和多目标;常用指标常用指标:数学模型中用来评价设计方案优劣的函数式(又称评价函数数学模型中用来评价设计方案优劣的函数式(又称评价函数):):第二节 优化数学模型四四.目标函数目标函数 在无约束极小点处,等值线一般收缩一个点在无约束极小点处,等值线一般收缩一个点。如如:目标函数的等值线目标函数的等值线(面面)能使目标函数取某一定值能使目标函数取某一
9、定值的所有设计点的集合的所有设计点的集合;第二节 优化数学模型五五.约束函数约束函数 对设计变量的取值范围加以限制的条件;对设计变量的取值范围加以限制的条件;为使问题有解,须使为使问题有解,须使(1)(1)按约束的数学形式分按约束的数学形式分 不等式约束:不等式约束:等式约束:等式约束:第二节 优化数学模型五五.约束函数约束函数 对设计变量的取值范围加以限制的条件;对设计变量的取值范围加以限制的条件;-由需满足的某种性能条件而导出的约束由需满足的某种性能条件而导出的约束(如如强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等)。强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等)。-对某个设计变量直接给出取值范围对某个设计变
10、量直接给出取值范围:边界约束边界约束性能约束性能约束(2)(2)按约束的作用分按约束的作用分*此外,也有将约束分成此外,也有将约束分成显约束显约束和和隐约束隐约束的。的。第二节 优化数学模型五五.约束函数约束函数 满足满足 的约束为起作用约束的约束为起作用约束,否则为否则为不起作用不起作用的约束的约束.(.(等式等式约束一定是起作用约束约束一定是起作用约束)起作用的约束与不起作用的约束起作用的约束与不起作用的约束约束边界上的可行点为边界点约束边界上的可行点为边界点,其余可行点为内点其余可行点为内点.)边界点边界点与与内点内点D D内的设计点为可行点内的设计点为可行点,否则为否则为不可行点不可行
11、点.*)可行点与不可行点可行点与不可行点第二节 优化数学模型六六.优化数学模型的求解优化数学模型的求解 优化设计工作包括两部分内容:优化设计工作包括两部分内容:将设计问题的物理模型转化为数学模型;将设计问题的物理模型转化为数学模型;用适当的最优化方法求解数学模型。用适当的最优化方法求解数学模型。1)1)解析法解析法-对简单的无约束问题及等式约束问题对简单的无约束问题及等式约束问题;2)2)图解法图解法-对简单的低维问题对简单的低维问题;3)3)数值迭代法数值迭代法-利用计算机按某种逻辑方式反复利用计算机按某种逻辑方式反复运算运算,是是最基本的最基本的方法。方法。第二节 优化数学模型六六.优化数
12、学模型的求解优化数学模型的求解 产生点列产生点列:使得使得:当满足终止迭代条件时当满足终止迭代条件时,便认为达到了最优点便认为达到了最优点.迭代过程迭代过程3)3)数值迭代法数值迭代法-利用计算机按某种利用计算机按某种逻辑方式反复运算逻辑方式反复运算,是是最基本的最基本的方法。方法。第二节 优化数学模型六六.优化数学模型的求解优化数学模型的求解 1.初始点初始点:2.搜索方向搜索方向:3.步长步长:4.是否终止迭代是否终止迭代.)需解决的问题需解决的问题:-后三个问题是每次迭代都要解决的问题后三个问题是每次迭代都要解决的问题第二节 优化数学模型六六.优化数学模型的求解优化数学模型的求解 )算法
13、的收敛性、收敛速度和收敛准则算法的收敛性、收敛速度和收敛准则:算法的收敛性算法的收敛性第二节 优化数学模型六六.优化数学模型的求解优化数学模型的求解 )算法的收敛性、收敛速度和收敛准则算法的收敛性、收敛速度和收敛准则:算法的收敛准则算法的收敛准则 点距准则点距准则第二节 优化数学模型六六.优化数学模型的求解优化数学模型的求解 )算法的收敛性、收敛速度和收敛准则算法的收敛性、收敛速度和收敛准则:算法的收敛准则算法的收敛准则 目标函数下降量准则目标函数下降量准则相对下降量准则相对下降量准则绝对下降量准则绝对下降量准则第二节 优化数学模型六六.优化数学模型的求解优化数学模型的求解 )算法的收敛性、收
14、敛速度和收敛准则算法的收敛性、收敛速度和收敛准则:算法的收敛准则算法的收敛准则 梯度准则梯度准则第二节 优化数学模型六六.优化数学模型的求解优化数学模型的求解 )算法的收敛性、收敛速度和收敛准则算法的收敛性、收敛速度和收敛准则:算法的收敛准则算法的收敛准则 梯度准则梯度准则以上各准则单独使用时并非十分可靠,有时需几种准则联用。以上各准则单独使用时并非十分可靠,有时需几种准则联用。第三节 优化设计的数学基础一一.函数的泰勒展开式函数的泰勒展开式 一元函数的一元函数的Taylor Taylor 展开式展开式*在实际计算中在实际计算中,常取前三项常取前三项(二次函数二次函数)来近似原函数来近似原函数
15、:第三节 优化设计的数学基础一一.函数的泰勒展开式函数的泰勒展开式 多元函数的多元函数的Taylor Taylor 展开式展开式第三节 优化设计的数学基础一一.函数的泰勒展开式函数的泰勒展开式 多元函数的多元函数的Taylor Taylor 展开式展开式梯度梯度海赛海赛(Hessian)(Hessian)矩阵矩阵第三节 优化设计的数学基础故故解:解:例:将函数例:将函数 写成在点写成在点 处泰勒展开式的矩阵形式。处泰勒展开式的矩阵形式。第三节 优化设计的数学基础二二.二次其次矩阵二次其次矩阵 系数矩阵系数矩阵第三节 优化设计的数学基础二二.二次其次矩阵二次其次矩阵 *矩阵矩阵A A为正定的充要
16、条件为正定的充要条件-A A的各阶主子式均大于零的各阶主子式均大于零。如如 为正定,则必有为正定,则必有:第三节 优化设计的数学基础三三.方向导数方向导数 函数沿指定方向函数沿指定方向 的平均变化率的极限的平均变化率的极限。第三节 优化设计的数学基础三三.方向导数方向导数 第三节 优化设计的数学基础三三.方向导数方向导数 第三节 优化设计的数学基础三三.梯度梯度 令令单位矢量单位矢量于是于是第三节 优化设计的数学基础三三.梯度梯度 从上式可得出如下结论:从上式可得出如下结论:最优点最优点*最速下降只是局部性质最速下降只是局部性质.4 4)在与梯度垂直的方向(等值线的切)在与梯度垂直的方向(等值
17、线的切线方向)上,函数的变化率为零。线方向)上,函数的变化率为零。2 2)梯梯度度的的模模是是最最大大的的方方向向导导数数,负梯度方向是函数的最速下降方向;负梯度方向是函数的最速下降方向;1 1)方向导数是梯度在指定方向上的投影;)方向导数是梯度在指定方向上的投影;3 3)最最速速下下降降方方向向为为等等值值线线(面面)的法线方向;的法线方向;第三节 优化设计的数学基础四四.共轭方向共轭方向 *几何意义几何意义:经过线性变换经过线性变换A A后成了与后成了与 正交的向量正交的向量.例:例:设设A A为为n*nn*n阶正定对称矩阵阶正定对称矩阵,是两个是两个n n维维向量向量,若存在若存在则称则
18、称 对对A A共轭共轭。第三节 优化设计的数学基础四四.共轭方向共轭方向 *这种性质称为这种性质称为有限步收敛性有限步收敛性(亦称(亦称二次收敛性二次收敛性)(2 2)从任意选定的初始点出发,只要依次沿从任意选定的初始点出发,只要依次沿n n个共轭方向进个共轭方向进行一维搜索,一轮后便可达到行一维搜索,一轮后便可达到n n元正定二次函数的极小点。元正定二次函数的极小点。(1 1)若矢量系若矢量系 彼此对正定对称矩阵彼此对正定对称矩阵A A共轭共轭,则它们组则它们组成线性无关的矢量系成线性无关的矢量系;共轭方向的性质第三节 优化设计的数学基础四四.共轭方向共轭方向 正定二元二次函数的性质(1 1
19、)正正定定二二元元二二次次函函数数的的等等值值线线是是一一族族同同心心椭椭圆圆,其其中中心坐标就是该函数的极小点。心坐标就是该函数的极小点。(2 2)过同心椭圆族的中心作任意直线与椭圆族中任意两)过同心椭圆族的中心作任意直线与椭圆族中任意两椭圆相交,再过两交点所作相应椭圆的切线必相互平行。椭圆相交,再过两交点所作相应椭圆的切线必相互平行。逆命题逆命题:设两平行线与同心椭圆族中两椭圆分别相切于设两平行线与同心椭圆族中两椭圆分别相切于 点点,则过则过 的直线必通过椭圆族的中心的直线必通过椭圆族的中心。第三节 优化设计的数学基础四四.共轭方向共轭方向 构成共轭方向的方法设设 为平行于为平行于 的两条
20、直线的两条直线,则过这两直线则过这两直线上正定上正定 n n元二次元二次目标函数的极小点目标函数的极小点 的向量的向量 和和 对对HessionHession矩矩阵阵A A共轭共轭。再从再从 出发出发,沿沿 搜索得搜索得 2)取初始点取初始点 ,沿沿 方向搜索方向搜索 解解:1)例例:对于目标函数对于目标函数 ,给定给定 ,试试求出与求出与 共轭的方向共轭的方向 ,并求出目标函数的极小点并求出目标函数的极小点。第三节 优化设计的数学基础五五.函数的凸性函数的凸性 X XX X2 2X X1 1凸集凸集非凸集非凸集凹集凹集*若若X X是是X X1 1和和X X2 2连线上的点,则有连线上的点,则
21、有 凸凸集集-若若任任意意两两点点 ,对对于于 ,恒恒有有 。第三节 优化设计的数学基础五五.函数的凸性函数的凸性 凸函数凸函数设设f(X)f(X)为定义在为定义在 R Rn n 内一个凸集内一个凸集D D上的上的函数函数,若对于若对于 及及D D上的任意两点上的任意两点X X1 1,X,X2 2,恒恒有有 第三节 优化设计的数学基础五五.函数的凸性函数的凸性 为凸函数的充要条件是对于任意的为凸函数的充要条件是对于任意的(D(D为凸集为凸集),),凸函数的判定第三节 优化设计的数学基础六六.优化问题存在极值的条件优化问题存在极值的条件 梯度为零向量梯度为零向量海赛矩阵正定海赛矩阵正定多元函数具
22、有极小值的充要条件多元函数具有极小值的充要条件一元函数具有极小值的充要条件一元函数具有极小值的充要条件第三节 优化设计的数学基础六六.优化问题存在极值的条件优化问题存在极值的条件 (2)对于对于整个可行域整个可行域,恒有恒有 ,则则X X*为全局极小点为全局极小点;(1)对于对于X X*在可行域中的在可行域中的一个邻域一个邻域,恒恒有有 ,则则X X*为局部极小点为局部极小点;局部极小点与全局极小点局部极小点与全局极小点第四节 一维搜索方法一一.一维问题是多维问题的基础一维问题是多维问题的基础如:如:*在上次迭代中已求得在上次迭代中已求得,由某种逻辑方式由某种逻辑方式(如负梯度方向如负梯度方向
23、、共轭共轭方向等方向等)给定给定,每次迭代可归结为以每次迭代可归结为以 为变量的一维问题为变量的一维问题。则则当当第四节 一维搜索方法二二.的确定方法的确定方法上例中,上例中,2 2)取最优步长:)取最优步长:上例中,上例中,-能使目标函数值下降的步长能使目标函数值下降的步长;1 1)取下降步长(任意步长):)取下降步长(任意步长):第四节 一维搜索方法三三.一维搜索的步骤一维搜索的步骤2 2)将含最优点的区间不断缩小)将含最优点的区间不断缩小1 1)确定一个包含最优点的初始搜索区间确定一个包含最优点的初始搜索区间特点:特点:高高-低低-高高*区间缩短率区间缩短率:当该区间的长度小于预先给定的
24、一个很小的正数当该区间的长度小于预先给定的一个很小的正数 ,则可认为该区间中的某点则可认为该区间中的某点(如中点如中点)是最优点是最优点。第四节 一维搜索方法四四.确定初始区间的进退算法确定初始区间的进退算法前进计算前进计算后退计算后退计算试探后作前进或后退计算试探后作前进或后退计算。第四节 一维搜索方法四四.确定初始区间的进退算法确定初始区间的进退算法h=hh=h0 0y y1 1=f(x=f(x1 1)、x x2 2=x=x1 1+h+h、y y2 2=f(x=f(x2 2)给定给定x x1 1、h h0 0y y1 1yy2 2y y22y y3 3是是h=2hh=2hx x3 3=x=
25、x2 2+h+h、y y3 3=f(x=f(x3 3)结束结束否否h=-hh=-hx x3 3=x=x1 1y y3 3=y=y1 1a=xa=x1 1、b=xb=x3 3是是x x1 1=x=x2 2y y1 1=y=y2 2x x2 2=x=x3 3y y2 2=y=y3 3是是a=xa=x3 3、b=xb=x1 1否否h0h0否否初始进退距初始进退距计算程序框图khx1 y1x2 y2x3 y310.10.20 90.1 8.2030.3 6.68120.40.1 8.2030.3 6.6810.7 4.42930.80.3 6.6810.7 4.4291.5 7.125第四节 一维搜索
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