吃透中考数学29个几何模型13 正方形与45°角的基本图.docx
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1、更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC数学专题13 正方形与45角的基本图一、单选题 1如图,已知正方形ABCD的边长为12,BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于G,连接DG,现在有如下4个结论:AG+EC=GE;的周长是一个定值;连结FC,的面积等于在以上4个结论中,正确的是( )A1B2C3D4【答案】D【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF,A=GFD=90,于是根据“HL”判定,再由,从而判断,由对折可得: 由,可得:从而可判断, 设 则利用三角形的周长公式可判断,如图,连接 证明是直角三角形,从而可判断,从而可得本
2、题的结论【详解】解:由正方形与折叠可知,DF=DC=DA,DFE=C=90, DFG=A=90, , 故正确;由对折可得: , 故正确;设 则 所以:的周长是一个定值,故正确,如图,连接 由对折可得: 故正确综上:都正确故选【点睛】本题考查的是正方形的性质,三角形全等的判定与性质,轴对称的性质,直角三角形的判定,掌握以上知识是解题的关键2如图,正方形和正方形的顶点在同一直线上,且,给出下列结论:,的面积,其中正确的个数为( )A个B个C个D个【答案】B【分析】根据正方形的性质和平角的定义可求COD;根据正方形的性质可求OE,再根据线段的和差关系可求AE的长;作DHAB于H,作FGCO交CO的延
3、长线于G,根据含45的直角三角形的性质可求FG,根据勾股定理可求CF,BD,即可求解;根据三角形面积公式即可求解【详解】解:AOC=90,DOE=45,COD=180-AOC-DOE=45,故正确;EF=,OE=2AO=AB=3,AE=AO+OE=2+3=5,故正确;作DHAB于H,作FGCO交CO的延长线于G,则FG=1,CF=,BH=3-1=2,DH=3+1=4,BD=,故错误;COF的面积SCOF=31=,故错误;故选:B【点睛】本题考查了正方形的性质,含45的直角三角形的性质,三角形面积,勾股定理,平角的定义,综合性较强,有一定的难度,正确作出辅助线是解题的关键3如图,在正方形有中,是
4、上的动点,(不与、重合),连结,点关于的对称点为,连结并延长交于点,连接,过点作交的延长线于点,连接,那么些的值为( )A1BCD2【答案】B【分析】作辅助线,构建全等三角形,证明DAEENH,得AE=HN,AD=EN,再说明BNH是等腰直角三角形,可得结论【详解】如图,在线段AD上截取AM,使AM=AE,AD=AB,DM=BE,点A关于直线DE的对称点为F,ADEFDE,DA=DF=DC,DFE=A=90,1=2,DFG=90,在RtDFG和RtDCG中,RtDFGRtDCG(HL),3=4,ADC=90,1+2+3+4=90,22+23=90,2+3=45,即EDG=45,EHDE,DEH
5、=90,DEH是等腰直角三角形,AED+BEH=AED+1=90,DE=EH,1=BEH,在DME和EBH中,DMEEBH(SAS),EM=BH,RtAEM中,A=90,AM=AE, ,即.故选:B.【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定定理和性质定理,等知识,解决本题的关键是作出辅助线,利用正方形的性质得到相等的边和相等的角,证明三角形全等4如图,在正方形内作,交于点,交于点,连接,过点作,垂足为点,将绕点顺时针旋转得到,若,则以下结论:,正确的个数有( )A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】利用正方形的性质与旋转的性质证明再证明判断,利用全等三角形的性质与勾股定理先求解正方
6、形的边长,再分别求解,判断,再利用勾股定理计算,判断,通过计算,判断【详解】解:由旋转的性质可知:AF=AG,DAF=BAG 四边形ABCD为正方形, BAD=90 又EAF=45, BAE+DAF=45 BAG+BAE=45 GAE=FAE 在GAE和FAE中, 故正确, 设正方形的边长为,则 由勾股定理得: 解得:(舍去) 故错误, 故正确, 故正确综上:正确,故选C【点睛】本题考查的是旋转的性质,正方形的性质,三角形的全等的判定与性质,勾股定理的应用,掌握以上知识是解题的关键二、解答题5已知:四边形为正方形,是等腰,(1)如图:当绕点旋转时,若边、分别与、相交于点、,连接,试证明:(2)
7、如图,当绕点旋转时,若边、分别与、的延长线相交于点、,连接试写出此时三线段、的数量关系并加以证明若,求:正方形的边长以及中边上的高【答案】(1)证明见解析;(2),证明见解析;【分析】(1)延长CB到G,使BG=DF,连接AG,根据正方形性质得出AD=AB,D=ABG,根据全等三角形的判定推出即可;(2)EF=BE-DF,理由是:在BC上取BG=DF,连接AG,证ABGADF,FAEEAG即可;过F作FHAE于H,设正方形ABCD的边长是x,则BC=CD=x,EF=GE=BC-BG+CE=x+4,在RtFCE中,由勾股定理得出方程(x+4)2=(x+2)2+62,求出x后再求出FH即可【详解】
8、(1)证明:如图1,延长CB到G,使BG=DF,连接AG,四边形ABCD是正方形,D=ABC=DAB=ABG=90,AD=AB,在ADF和ABG中,ADFABG(SAS),AG=AF,DAF=BAG,EAF=45,EAG=EAB+BAG=EAB+DAF=45,EAF=EAG,AE=AE,EAFEAG,EF=EG=EB+BG=EB+DF(2)三线段、的数量关系是:,理由如下:如图2,在上取一点,使连接,同(1)可证,AG=AF,DAF=BAG,是等腰直角三角形,在和中,如图2,过F作FHAE于H,设正方形ABCD的边长是x,则BC=CD=x,CE=6,DF=BG=2,EF=GE=CG+CE=BC
9、-BG+CE=x-2+6=x+4,在RtFCE中,由勾股定理得:EF2=FC2+CE2,(x+4)2=(x+2)2+62,解得:x=6,AG=AF=,FAM=45,FH=AF=,即AEF中AE边上的高为【点睛】本题考查旋转综合题、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题6如图,点、分别在边、上,过点作,且点在的延长线上(1)与全等吗?为什么?(2)若,求的长【答案】(1)GABFAD,理由见解析;(2)EF=5【分析】(1)由题意可得ABG=D=90,进一步即可根据ASA证得GAB
10、FAD;(2)由(1)的结论可得AG=AF,GB=DF,易得BAE+DAF=45,进而可推出GAE=EAF,然后利用SAS即可证明GAEFAE,可得GE=EF,进一步即可求出结果【详解】解:(1),点在的延长线上,ABG=D=90,在GAB和FAD中,AB=AD,ABG=D,GABFAD(ASA);(2)GABFAD,AG=AF,GB=DF,BAE+DAF=45,BAE+GAB=45,即GAE=45,GAE=EAF,在GAE和FAE中,AG=AF,GAE=EAF,AE=AE,GAEFAE(SAS),GE=EF,GE=GB+BE=DF+BE=2+3=5,EF=5【点睛】本题主要考查了全等三角形的
11、判定和性质,属于常考题型,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键7如图,在矩形中,的平分线交于点,于点,于点,与交于点(1)求证:四边形是正方形;(2)若,求证:;(3)在(2)的条件下,已知,求的长【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)【分析】(1)首先证明是矩形,然后找到一组邻边相等即可证明四边形是正方形;(2)主要证明,从而得出,由(1)知,四边形是正方形,等量代换即可证明;(3)已知,可知,又因为,求出AD的长度,DF=AD-AF,根据等式关系求出DF的长,最后证明为等腰直角三角形,OD=DF即可求解【详解】(1)在矩形中,四边形是矩形,又AE平分,为等腰直角三角形,=,四边形
12、是正方形(邻边相等的矩形为正方形);(2),又,AD=AE,(AAS),由(1)知,四边形是正方形,;(3)在正方形中,由(2)知:, AD=AE=,DF=AD-AF=-1,又,为等腰直角三角形,OD=DF=2-【点睛】本题主要考查了矩形与正方形的判定与性质、证明三角形全等等知识点,熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键8正方形ABCD的边长为6,E,F分别是AB,BC边上的点,且EDF45,将DAE绕点D逆时针旋转90,得到DCM(1)求证:EFCF+AE;(2)当AE2时,求EF的长【答案】(1)见解析;(2)5,详见解析【分析】(1)由旋转可得DEDM,EDM为直角,可得出EDF+M
13、DF90,由EDF45,得到MDF为45,可得出EDFMDF,再由DFDF,利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EFCF+AE;(2)由(1)的全等得到AECM2,正方形的边长为6,用ABAE求出EB的长,再由BC+CM求出BM的长,设EFMFx,可得出BFBMFMBMEF8x,在直角三角形BEF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为EF的长【详解】(1)证明:DAE逆时针旋转90得到DCM,FCMFCD+DCM180,AECM,F、C、M三点共线,DEDM,EDM90,EDF+FDM90,EDF45,FDMEDF45,在DEF
14、和DMF中,DEFDMF(SAS),EFMF,EFCF+AE;(2)解:设EFMFx,AECM2,且BC6,BMBC+CM6+28,BFBMMFBMEF8x,EBABAE624,在RtEBF中,由勾股定理得,即,解得:x5,则EF5【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理,关键是根据半角旋转得到三角形的全等,然后利用勾股定理求得线段的长9已知A(m,n),且满足|m2|+(n2)2=0,过A作ABy轴,垂足为B(1)求A点坐标(2)如图1,分别以AB,AO为边作等边ABC和AOD,试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系,并说明理由(3)如图2,过A作AEx轴,垂足为
15、E,点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点(不与端点重合),满足FBG=45,设OF=a,AG=b,FG=c,试探究ab的值是否为定值?如果是求此定值;如果不是,请说明理由【答案】(1)A(2,2);(2)AC=CD,ACCD.证明见解析;(3)0.【分析】(1)根据非负数的性质可得m、n的值;(2)连接OC,由AB=BO知BAO=BOA=45,由ABC,OAD为等边三角形知BAC=OAD=AOD=60、OA=OD,继而由BAC-OAC=OAD-OAC得DAC=BAO=45,根据OB=CB=2、OBC=30知BOC=75,AOC=BAO-BOA=30,DOC=AOC=30,证OACODC得A
16、C=CD,再根据CAD=CDA=45知ACD=90,从而得ACCD;(3)在x轴负半轴取点M,使得OM=AG=b,连接BG,先证BAGBOM得OBM=ABG、BM=BG,结合FBG=45知ABG+OBF=45,从而得OBM+OBF=45,MBF=GBF,再证MBFGBF得MF=FG,即a+b=c,代入原式可得答案【详解】(1)由题得m=2,n=2,A(2,2);(2)如图1,连结OC,由(1)得AB=BO=2,ABO为等腰直角三角形,BAO=BOA=45,ABC,OAD为等边三角形,BAC=OAD=AOD=60,OA=ODBAC-OAC=OAD-OAC即DAC=BAO=45在OBC中,OB=C
17、B=2,OBC=30,BOC=75,AOC=BAO-BOA=30,DOC=AOC=30,在OAC和ODC中,OACODC,AC=CD,CAD=CDA=45,ACD=90,ACCD;(3)如图,在x轴负半轴取点M,使得OM=AG=b,连接BG,在BAG和BOM中,BAGBOMOBM=ABG,BM=BG又FBG=45ABG+OBF=45OBM+OBF=45MBF=GBF在MBF和GBF中,MBFGBFMF=FGa+b=c代入原式=010已知,如图1,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在边AB、AD的延长线上,且BE=DF,连接EF(1)求E的度数;(2)将AEF绕点A顺时针方向旋转,当旋转角满
18、足045时,设EF与射线AB交于点G,与AC交于点H,如图所示,试判断线段FH、HG、GE的数量关系,并说明理由(3)若将AEF绕点A旋转一周,连接DF、BE,并延长EB交直线DF于点P,连接PC,则点P的运动路径长为;线段PC的取值范围为【答案】(1)E=45;(2)FH2+GE2=HG2,理由见解析;(3)6,0PC6【分析】(1)先证明AE=AF,由等腰直角三角形的性质可求解;(2)如图2,作辅助线,构建全等三角形,先证明AGHAGK,得GH=GK,由AFHAEK,得AEK=AFH=45,FH=EK,利用勾股定理得:KG2=EG2+EK2,根据相等关系线段等量代换可得结论:FH2+GE2
19、=HG2;(3)如图3,先证明FPE=FAE=90,根据90的圆周角所对的弦是直径可得:点P的运动路径是:以BD为直径的圆,如图4,可得PC的取值范围【详解】(1)四边形ABCD是正方形,AD=AB,DAB=90,BE=DF,AD+DF=AB+BE,即AF=AE,又FAE=90,E=F=45;(2)FH2+GE2=HG2,理由是:如图2,过A作AKAC,截取AK=AH,连接GK、EK,CAB=45,CAB=KAB=45,在AGH和AGK中,AGHAGK(SAS),GH=GK,由旋转得:FAE=90,AF=AE,HAK=90,FAH=KAE,在AFH和AEK中,AFHAEK(SAS),AEK=A
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