吃透中考数学29个几何模型18 双A字形相似模型.docx

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1、更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学专题18 双A字形相似模型一、单选题 1如图，ABO的顶点A在函数y（x0）的图象上，ABO90，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q若ANQ的面积为1，则k的值为（）A9B12C15D18【答案】D【分析】易证ANQAMPAOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出ANQ的面积，进而可求出AOB的面积，则k的值也可求出【详解】解：NQMPOB，ANQAMPAOB，M、N是OA的三等分点，四边形MNQP的面积为3，SANQ=1，SAOB=9，k=2SAOB=18，故选：D【点睛】本题考

2、查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出SANQ=1是解题的关键2如图，ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形若DE=2cm，则AC的长为 ( )AcmB4cmCcmDcm【答案】D【解析】点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=BC，DE=2cm，BC=4cm，AB=AC，四边形DEFG是正方形BDGCEF，BG=CF=1，EC=，AC=2cm故选D3如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE/BD，且交AB于点E，GF/AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）ABCD【答案】

3、D【分析】根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理，逐一判断选项，即可得到答案【详解】AEGABDDFGDCAA错误，B错误，DFGDCA， AEGABD，C错误，D正确，故选D【点睛】本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理，掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的关键4如图在ABC中，DEBC，B=ACD，则图中相似三角形有（）A2对B3对C4对D5对【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】B=ACD，A=A，ACDABC，DEBC，ADEABC，ACDADE，DEBC，EDC=DCB，B=DCE，CDEBCD，故共4对，故选：C【点睛】本题考

4、查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似5如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据相似三角形的性质得出，代入求出即可【详解】解：ADEABC，AD：AB1：3，ABC的面积为9，SADE1，故选：A【点睛】二、解答题6如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4，0)、B(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作交AC于点P，连结MP（1）直接写出OA、AB的长度；（2）试说明；

5、（3）在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出时，运动时间t的值 【答案】（1）；（2）见解析；（3），2【分析】（1）根据点A、B的坐标即可得；（2）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得；（3）先根据矩形的性质、线段的和差可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此可得的AM边上的高为，然后利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，最后解一元二次方程可得的值【详解】（1），；（2），；（3）由题意得：，且，则，四边形OABC是矩形，即，解得，的AM边上的高为，即，当时，解得，故的值为2【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质

6、、求二次函数的自变量等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键7如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，顶点在轴的正半轴上，（1）求的长度（2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围（3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标【答案】（1）10；（2）时，；t10时， ；（3）当时，；当t10时，【分析】（1）由勾股定理解得AO的长，即可求得AC的长；（2）分两种情况讨论：当时或当t10时，根据三角形面积公式解题即可；（3）分两种情况讨论，当时，作作，交D

7、G于N，交BC于M，由等腰三角形三线合一的性质，解得，进而证明，根据相似三角形对应边成比例的性质，设DN=m，解得AD=，OD=，当时根据勾股定理解得BH、DH的长，在中，由勾股定理得，即可解得m的值，从而解得AD的长，即可求得t的值，最后由，结合面积比等于相似比的平方，即可解得点G的坐标；当t10时，方法同上【详解】（1）在中（2）由于D在x轴上，故以CD为底边，高h=OB=6当时，CD=AC-AD=10-t，；当t10时，CD=AD-AC=t-10, ；（3）如图：当时，作，交DG于N，交BC于M，又设DN=m，则AD=OD=，当时BH=，同理在中，即解得(舍去)或当t10时，如图：作，交

8、DG于N，交BC于M，又设DN=m，则AD=OD=，当时BH=，同理在中，即解得或(舍去)综上所述，当时，；当t10时，【点睛】本题考查一次函数综合，其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键8如图已知正方形DEFG的顶点D、E在ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上如果BC=4，ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_【答案】【分析】过点A作AMBC于M，由ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长【详解】如图，过点A作AMBC于M

9、，ABC的BC边上的高是3，AM=3，四边形DEFG是正方形，GD=FG,GFBC,GDAM，AGFABC，BGDBAM，GF=故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键9（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容（定理证明）请根据教材内容，结合图，写出证明过程（定理应用）如图，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BFO为AC的中点，连结EF、OE、OF（1）EF与AC的数量关系为_（2）与的面积比为_【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用

10、】（1）EF与AC的数量关系为；（2）与的面积比为【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得，设，再根据三角形的面积公式分别求出与的面积，由此即可得出答案【详解】定理证明：点D、E分别是AB、AC的中点，在和中，且；定理应用：（1），在和中，即；（2）如图，过点O作于点M，作于点N，四边形ABCD是矩形，即，点O是AC的中点，、是的两条中位线，设，则，即与的面积比【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质

11、等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键10如图，在中，点分别在上，且（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EFBC，于是可得AEGABD，AGFADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论【详解】解：（1）在AEF和ABC中，AEFABC；（2）AEFABC，AEF=ABC，EFBC，AEGABD，AGFADC，,，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质

12、是解题关键11陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手裁种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39，然后着DM方向走了19米到达点F处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF1.7米，测得FG3米，测倾器的高度CD0.8米，已知ABBG，CDBG，EFBG请你根据以上信息，计算银杏树AB的高度（参考数据：sin390.6，cos390.8，tan390.8）【答案】40.8米【分析】由题意过C作CHA

13、B于N，则四边形BDCN是矩形，根据矩形的性质得到CNBD，BNCD08，设BDCNx，则BG22+x，根据三角函数的定义得到ANCNtan3908x，求得AB08x+08，根据相似三角形的性质求出x，即可得到结果【详解】解：过C作CHAB于N，如图所示：则四边形BDCN是矩形，CNBD，BNCD08，设BDCNx，则BGBD+DF+FGx+19+322+x，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39，ACN39，在RtACN中，ANCNtan3908x，ABAN+BN08x+08，ABBG，EFBG，EFAB，EFGABG，即，解得：x50，AB40.8（米）【点睛】本题考查解直角

14、三角形的应用-仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题12如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.（1）求抛物线的表达式；（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.当为何值时，得面积最小？是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2） ；【分析】（1）根据点B的坐标可得

15、出点A，C的坐标，代入抛物线解析式即可求出b，c的值，求得抛物线的解析式；（2）过点Q、P作QFAB、PGAC，垂足分别为F、G，推出QFACBA，CGPCBA，用含t的式子表示OF，PG，将三角形的面积用含t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可【详解】解：（1）由题意知：A(0,3),C(4,0)， 抛物线经过A、B两点，解得，抛物线的表达式为：(2) 四边形ABCD是矩形，B=90O， AC2=AB2+BC2=5；由，可得，D（2,3）过点Q、P作QFAB、PGAC，垂足分别为F、G，

16、FAQ=BAC， QFA=CBA，QFACBA，同理：CGPCBA，当时，DPQ的面积最小.最小值为 由图像可知点D的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC的解析式为：三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：当时，根据勾股定理可得出：，整理，解方程即可得解；当时，可知点G运动到点B的位置，点P运动到C的位置，所需时间为t=3；当时,同理用勾股定理得出：；整理求解可得t的值由此可得出t的值为：,【点睛】本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键13（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P，求证：；（2） 如

17、图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DMEN【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析【分析】（1）易证明ADPABQ，ACQADP，从而得出；（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高，根据ADEABC，求出正方形DEFG的边长从而，由AMNAGF和AMN的MN边上高，AGF的GF边上高，GF=，根据 MN：GF等于高之比即可求出MN；可得出BGDEFC，则DGEF=CFBG；又DG=GF=EF，得GF2=CFBG，再根据（1），从而得出结论

18、【详解】解：（1）在ABQ和ADP中，DPBQ，ADPABQ，同理在ACQ和APE中，；（2）作AQBC于点QBC边上的高AQ=，DE=DG=GF=EF=BG=CFDE：BC=1：3又DEBCAD：AB=1：3，AD=，DE=，DE边上的高为，MN：GF=：，MN：=：，MN=故答案为：证明：B+C=90CEF+C=90，B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFC，DGEF=CFBG，又DG=GF=EF，GF2=CFBG，由（1）得，GF2=CFBG，MN2=DMEN【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大14矩形ABCD中，AB8，AD12将矩形折叠

19、，使点A落在点P处，折痕为DE（1）如图，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长【答案】（1）；（2）BF3【分析】（1）如图中，取DE的中点M，连接PM证明POMDCP，利用相似三角形的性质求解即可（2）如图中，过点P作GHBC交AB于G，交CD于H设EG=x，则BG=4-x证明EGPPHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在RtPHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明EGPEBF，利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：（1）如图中，取DE的中点M，连接PM

20、四边形ABCD是矩形，BADC90，由翻折可知，AOOP，APDE，23，DAEDPE90，在RtEPD中，EMMD，PMEMDM，3MPD，13+MPD23，ADP23，1ADP，ADBC，ADPDPC，1DPC，MOPC90，POMDCP，（2）如图中，过点P作GHBC交AB于G，交CD于H则四边形AGHD是矩形，设EGx，则BG4xAEPD90，EGPDHP90，EPG+DPH90，DPH+PDH90，EPGPDH，EGPPHD，PG2EG3x，DHAG4+x，在RtPHD中，PH2+DH2PD2，（3x）2+（4+x）2122，解得：x（负值已经舍弃），BG4，在RtEGP中，GP，G

21、HBC，EGPEBF，BF3【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题15如图，在中，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值【答案】（1）4；（2）【分析】（1）分别求出CD，BC，BD，证明，根据相似性质即可求解；（2）先证明，再证明，根据相似三角形性质求解即可【详解】解：（1）平分，在中，在中，（2）点是线段的中点，【点睛】本题考查了含30角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并

22、根据相似性质解题16如图，在中，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接（1）求证：直线与相切；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）9【分析】（1）连接，利用，证得，易证，故为的切线；（2）证得，求得，利用求得答案即可【详解】证明： 连接ODAB=AC，B=C，OD=OC，ODC=C，ODC=B，ODAB，DFAB，ODDF，点D在O上，直线DF与O相切；（2）解：四边形ACDE是O的内接四边形，AED+ACD=180，AED+BED=180，BED=ACD，B=B，BEDBCA，ODAB，AO=CO，又AE=7，BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2=9【点睛】此题考查了

23、切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可17如图，在ABC中，AB=，B=45，C=60（1）求BC边上的高线长（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将AEF折叠得到PEF如图2，当点P落在BC上时，求AEP的度数如图3，连结AP，当PFAC时，求AP的长【答案】（1）4;（2）90；【分析】（1）如图1中，过点A作ADBC于D解直角三角形求出AD即可（2）证明BE=EP，可得EPB=B=45解决问题如图3中，由（1）可知：AC=，证明AEFACB，推出，由此求出AF即可解决问题【详解】解：（1）

24、如图1，过点A作ADBC于点D，在RtABD中，=4. （2）如图2，AEFPEF，AEEP. 又AEBE ，BEEP，EPBB45，AEP90. 如图3，由（1）可知：在RtADC中，. PFAC，PFA90.AEFPEF，AFEPFE45，则AFEB.又EAFCAB， EAFCAB，即，AF,在RtAFP中，AFPF，则AP. 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型三、填空题18如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则_【答案】

25、108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可【详解】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，DE/BC，IG/AB，FH/AC，四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，FDPIPEPGHABC，FP：IE：PH=1：2：3，AI：IE：EC=1：2：3，AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，SABC：SFDP=36：1，SABC=363=108故答案为:108【点睛】本题考查相似三角形的性质，

26、相似三角形面积比等于相似比的平方19已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则_【答案】； 【分析】由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，AB/CD，EAFHDF,HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，AB/CD，CHGAEG，AG：CG=AE：CH，AB=CD=2AE，CH=CD+DH=2AE+AE=AE，AG：CG=2：5，AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG

27、：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，AB/CD，EAFHDF，HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，AB/CD，AG：CG=AE：CHAB=CD=2AE，CH=CD-DH=2AE-AE=AE，AG：CG=2：3，AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5故答案为：或【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序20在平面直角坐标系中，已知，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，

28、则的最小值为_【答案】【分析】根据AC为直角边可分CAB=90和ACB=90两种情况进行讨论【详解】为直角三角形，为直角边，当时，又，、四点共圆，且为直径，为中点，则为圆心，连接，则为圆的一条弦，圆心一定在的垂直平分线上，取中点，过做直线，则的运动轨迹为直线，当时，取得最小值，的解析式为，又为中点，的解析式可设为，代入，得：，的解析式为，令，得，又，当时，点交于轴原点处不符合题意，故的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆的有关性质求解是解题关键21如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前

29、走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_【答案】4.5【分析】设之间的距离为x米，根据题意可得，即，代入数值解得x=2，进而求得AB，即可求得路灯的高度【详解】如图，设之间的距离为x米，根据题意可得，即，解得，经检验是所列方程的解，解得，经检验是所列方程的解，故路灯的高为4.5米故答案为：4.5【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键22如图，在中，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F若，则_【答案】2【分析】过D作DH垂直AC于H点，过D作DGAE交

30、BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，其次利用CDGCBD,求出CG的长，得出BG的长，最后利用BDGBAE，求出BE的长，最后得出答案【详解】解：过D作DH垂直AC于H点，过D作DGAE交BC于G点，在直角三角形ABC中，AB=，又，AD= ，在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2，CH=62=4，在RtCHD中，CD=，AEDG，CFE=CDG=45，B=45，CDG=B，又DCG=BCD，CDGCBD， ，即20=6CG，CG= ，BG=BCCG=6=，又DGAE，BDGBAE，又，又BG=，BE=BG=4，CE=64=2，故答案为：2【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质

31、及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案23如图，在中，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对应点为点，设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为_【答案】3【分析】如图：连接PP交BC于O，利用等腰直角三角形的性质得；设，则，可得，CQ=9-t，然后由菱形的性质得，；然后再利用PO/AC可得，最后得到关于t的方程并求解即可【详解】解：如图：连接PP交BC于O，ACB=90，AC=BC=9cm，又设，则，CQ=9-t四边形为菱形PO/AC，即，解得t=3故答案为3【点睛】本题考查了对称变换、菱形的性质和平行线分线段成比例定理，掌握、菱形的性质和平行线分线段成比例定理是解答本题的关键微信公众号：数学三剑客微信公众号：数学第六感微信公众号：ABC数学如需查看更多内容，请微信扫上方二维码获取更多见QQ群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher