2023年高考数学专项练习圆锥重难点专题突破.pdf

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1、1 专题01直线与椭圆的位置关系 22 专题02椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题113 专题03椭圆中的参数问题204 专题04椭圆中的定点、定值、定直线问题305 专题05椭圆中的向量问题426 专题06直线与双曲线的位置关系517 专题07双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题608 专题08双曲线中的参数范围及最值问题699 专题09双曲线中的定点、定值、定直线问题7910 专题10双曲线中的向量问题 9011 专题11直线与抛物线的位置关系10012 专题12抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题10913 专题13抛物线中的参数问题11814 专题14抛物线中的定点、定值、定直线问题12715 专

2、题15圆锥曲线新定义问题13716 专题16圆锥曲线与重心问题14817 专题17圆锥曲线与内心问题16018 专题18圆锥曲线与外心问题17219 专题19圆锥曲线与垂心问题18320 专题20圆锥曲线中的轨迹问题19521 专题21圆锥曲线的综合应用圆锥重难点专题突破2041专题0101直线与椭圆的位置关系1 已知曲线C上任意一点P x,y满足x2+y2+2y+1+x2+y2-2y+1=2 2，则曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是()A.23,-23B.63,-63C.32,94D.-63,63【解析】x2+y2+2y+1+x2+y2-2y+1=2 2 x2+y+12+x

3、2+y-12=2 2 设F10,-1,F20,1则 F1F2=2,x2+y+12+x2+y-12=2 2 PF1+PF2=2 2 F1F2=2P点的轨迹是以F10,-1，F20,1为焦点的椭圆.c=1,a=2,b2=1曲线C的方程是：x2+y22=1设与直线2x-y-4=0平行且与曲线C相切的直线方程为2x-y+t=0.由2x-y+t=0 x2+y22=1 得2x+t=y2x2+y2=2 6x2+4tx+t2-2=0，=16t2-24(t2-2)=0，t=6，当t=6 时，x=-63，y=63；当t=-6 时，x=63，y=-63；又2x-y+t=0中靠近2x-y-4=0的点应该在椭圆的下方，

4、曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是63,-63.故选：B2 直线x-y+1=0被椭圆x23+y2=1所截得的弦长|AB|等于()A.3 22B.2C.2 2D.3 2【解析】由x-y+1=0,x23+y2=1,得交点为(0,1)，-32,-12，则|AB|=322+1+122=3 22.故选：A.3 椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.2 33C.9 32D.2 327【解析】联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b 1-x2=1，a+bx2-2bx+b-1=0，A x1,y1，B x2,y2，

5、x1+x2=2ba+b，y1+y2=1-x1+1-x2=2-2ba+b=2aa+b，AB中点坐标：ba+b,aa+b，AB中点与原点连线的斜率k=aa+bba+b=ab=32故选：A4 已知F是椭圆x225+y29=1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF面积的最大值为()A.6B.15C.20D.12【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，由x=my9x2+25y2=225 消去y得：(9m2+25)y2=225，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆对称性，不妨令y1=159m2+25,y2=-159m2+25，焦点F(4,0)，ABF

6、的面积SABF=12|OF|y1-y2|=2309m2+25=609m2+2512，当且仅当m=0时取“=”，所以ABF面积的最大值为12.故选：D5 已知椭圆C:x22+y2=1，直线l:y=x+3，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为()A.3-32B.2+32C.3+32D.2【解析】设与直线l:y=x+3平行的直线l1：y=x+b，联立y=x+bx22+y2=1，消y可得3x2+4bx+2b2-2=0，=16b2-24 b2-1=0，解得b=3，所以所求直线为y=x+3 或y=x-3，直线l:y=x+3与直线y=x+3 的距离为d=3-32.直线l:y=x+3与直线y=x-3 的距离为

7、d=3+32.所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为d=3+32，故选：C6 直线y=kx-1被椭圆C:x25+y2=1截得最长的弦为()A.3B.52C.2D.5【解析】联立直线y=kx-1和椭圆x25+y2=1，可得(1+5k2)x2-10kx=0，解得x=0或x=10k1+5k2，则弦长l=1+k210k1+5k2，令1+5k2=t(t1)，则l=101+t-15t-15t=21+3t-4t2=2-41t-382+2516，当t=83，即k=33，l取得最大值254=52，故选：B7 已知F是椭圆x2+y22=1的下焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则AOB面积的取

8、值范围是()A.0,12B.12,22 C.0,22 D.22,1 【解析】由椭圆的方程可得a2=2，b2=1，所以c2=a2-b2=1，所以下焦点F 0,-1，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx-1，设A x1,y1，B x2,y2，联立x2+y22=1y=kx-1，整理可得：2+k2x2-2kx-1=0，可得：x1+x2=2k2+k2，x1x2=-12+k2，所以SAOB=12OFx1-x2=12x1+x22-4x1x2=124k22+k22+42+k2=128 1+k21+1+k22，设t=1+k21，则SAOB=128t1+t2=128t+1t+2，因为t1，所以y=t+

9、1t单调递增，所以t+1t2，所以SAOB1282+2=22，故选：C.8 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的一个顶点为A 2,0，离心率为22，直线y=k x-1与椭圆C交于不同的两点M，N.当AMN的面积为103时，则k的值为()A.2B.3C.1D.5【解析】由ab知椭圆焦点在x轴上，故a=2,c=2，b=2，椭圆方程为x24+y22=1，设B(1,0)，则B在直线y=k(x-1)上，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立x24+y22=1y=k(x-1)，化简得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0，则x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-41+2k2，则A

10、MN的面积为12AB y1-y2=12k x1-x2=12kx1+x22-4x1x2=12k4k21+2k22-42k2-41+2k2=k6k2+41+2k2=103，解得k=1，故选：C.9 已知F为椭圆C：x24+y22=1的左焦点，直线l：y=kx k0与椭圆C交于A，B两点，AEx轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则()A.1AF+4BF的最小值为2B.ABE面积的最大值为2C.直线BE的斜率为12kD.PAB为钝角【解析】对于A，设椭圆C的右焦点为F，连接AF，BF，则四边形AFBF为平行四边形，AF+BF=AF+AF=2a=4，1AF+4BF=14AF+BF1AF+4BF

11、=145+BFAF+4 AFBF94，当且仅当 BF=2 AF时等号成立，A错误；对于B，由x24+y22=1y=kx 得x=21+2k2，yA-yB=4 k1+2k2，ABE的面积S=12xAyA-yB=4 k1+2k2=41k+2 k2，当且仅当k=22时等号成立，B正确；对于C，设A x0,y0，则B-x0,-y0，E x0,0，故直线BE的斜率kBE=0+y0 x0+x0=12y0 x0=12k，C正确；对于D，设P m,n，直线PA的斜率额为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPAkPB=n-y0m-x0n+y0m+x0=n2-y20m2-x20，又点P和点A在椭圆C上，m24+n2

12、2=1，x204+y202=1，-得n2-y20m2-x20=-12，易知kPB=kBE=12k，则kPA12k=-12，得kPA=-1k，kPAkAB=-1kk=-1，PAB=90，D错误.故选：BC.10 若直线l被圆M:x2+y2=4所截得的弦长不小于2 3，则在下列曲线中，与直线l一定会有公共点的曲线是()A.y2=4xB.x22+y2=1C.x24-y2=1D.x+12+y2=9【解析】设直线l的方程为Ax+By+C=0，由题知，圆M的圆心到直线l的距离为CA2+B222-(3)2=1，对于A，抛物线y2=4x，开口向右，顶点在原点，取直线l为x=-1，易知直线与抛物线无交点，故A错

13、误.对于B，满足到圆M的圆心距小于等于1的点的轨迹为单位圆x2+y2=1围成的封闭区域，直线l一定过这个单位圆内的一点，椭圆x22+y2=1的a=2，b=1，所以单位圆一定在椭圆内部，故直线l一定与椭圆相交，故B正确.对于C，双曲线x24-y2=1的顶点坐标为 2,0，开口向左右两边，同样取直线l为x=-1，易知直线与双曲线无交点，故C错误.对于D，单位圆圆心(0,0)到圆(x+1)2+y2=9的圆心的距离为1，小于两圆半径差，故两圆呈内含关系，直线l一定过圆(x+1)2+y2=9内一点，故直线l一定与圆(x+1)2+y2=9相交.故D正确.故选：BD.11 已知P是椭圆E:x24+y2m=1

14、(m0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM,PN的斜率分别为k1，k2k1k20，若 k1+k2的最小值为1，则下列结论正确的是()A.椭圆E的方程为x24+y2=1B.椭圆E的离心率为12C.曲线y=log3x-12经过E的一个焦点D.直线2x-y-2=0与E有两个公共点【解析】设P x0,y0,M x1,y1,x0 x1,y0y1，则N-x1,-y1,x204+y20m=1,x214+y21m=1，所以y20=m-m4x20,y21=m-mx214,k1k2=y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21=-m4.于是 k1+k22k1 k

15、2=2k1k2=2-m4=m，当且仅当 k1=k2时取等号，依题意，得m=1，解得m=1，故E的方程为x24+y2=1，A正确；离心率为32，B错误；焦点为(3,0)，曲线y=log3x-12经过焦点(3,0)，C正确；直线2x-y-2=0过点(1,0)，且点(1,0)在E内，故直线2x-y-2=0与E有两个公共点，D正确.故选：ACD.12 已知椭圆C：x24+y22=1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y=kx k0与C交于A，B两点，AEx轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是A.四边形AF1BF2为平行四边形B.F1PF290【解析】对A,根据椭圆的对称性可

16、知,OF1=OF2,OA=OB.故四边形AF1BF2为平行四边形.故A正确.对B,根据椭圆的性质有当P在上下顶点时,OP=b=2=c.此时F1PF2=90.由题意可知P不可能在上下顶点,故F1PF20k-1x1+x2=4k+8k2x1x2=4k2，因为AB的中点横坐标为2，所以k-1x1+x22=2k+4k2=2 k=2，所以x1+x2=4x1x2=1，则 AB=1+4|x1-x2|=5 x1+x22-4x1x2=2 15.15 已知x2+y2+(x-8)2+(y-6)2=20，则|3x-4y-100|的最值为.【解析】满足题设的点P(x,y)的轨迹是定点A(0,0)，B(8,6)的距离之和为

17、定长20的椭圆，此椭圆的中心在M(4,3)、长半轴a满足2a=20，即a=10.线段AB长为82+62=10，即c=5，所以椭圆的短半轴长b=5 3.又椭圆长轴所在直线方程为y=34x.如图可知，使得椭圆与直线y=34x+m有公共点的m的取值范围是原点到直线y=34x+m的距离不超过5 3.即|30-40+4m|55 3，解得-25 34m25 34.椭圆上任意一点P(x,y)均满足-25 34y-34x25 34.由-25 3-1003x-4y-10025 3-100b0)经过点 0,3，离心率为12，左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(1)求椭圆的方程(2)斜率为-12的直线

18、l与椭圆交于A，B两点，当 AB=552时，求直线l的方程【解析】(1)因为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点 0,3，离心率为12，所以b=3，ca=12，因为a2=b2+c2，所以得c=1,a=2，所以椭圆方程为x24+y23=1，(2)设直线l为y=-12x+m，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=-12x+mx24+y23=1 ，得x2-mx+m2-3=0，由=m2-4(m2-3)0，得-2mb0)，因为椭圆过点P(5,2)，可得25a2+4b2=1，又由c=6及a2=b2+c2，解得a2=45，b2=9，所以椭圆的方程为x245+y29=1.方法二：由题意，椭圆与双曲

19、线x220-y216=1有相同的焦点为(6,0)，所以2a=(5+6)2+22+(5-6)2+22=6 5，得a=3 5，所以b2=(3 5)2-62=9，所以椭圆的方程为x245+y29=1.(2)当直线与x轴重合时不满足题意；当直线与x轴不重合时，设直线方程为x=my-6，由x=my-6x245+y29=1，消x化简得 m2+5y2-12my-9=0，设A x1,y1,B x2,y2，得y1+y2=12mm2+5，因为弦AB中点在直线y=14，所以12mm2+5=12解得m=12139，所以直线l的方程为x-(12-139)y+6=0或x-(12+139)y+6=0.19 设椭圆E：x2a

20、2+y2b2=1 ab0的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33(1)求椭圆E的方程；(2)设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆E交于点C，D两点，且AC DB+AD CB=527，求k的值【解析】(1)设F(-c，0)，由ca=33，知a=3c过点F且与x轴垂直的直线为x=-c，代入椭圆方程有(-c)2a2+y2b2=1，解得y=6b3，于是2 6b3=4 33，解得b=2，又a2-c2=b2，从而a=3，c=1，所以椭圆的方程为x23+y22=1(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(-1，0)得直线CD的方程为

21、y=k(x+1)，由方程组y=k(x+1),x23+y22=1 消去y，整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0求解可得x1+x2=-6k22+3k2，x1x2=3k2-62+3k2因为A(-3，0)，B(3，0)，所以AC DB+AD CB=(x1+3，y1)(3-x2，-y2)+(x2+3，y2)(3-x1，-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2由已知得6+2k2+122+3k2=527，解得k=220 已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆C经

22、过点A-3,32，B 1,-32(1)求椭圆C的标准方程(2)设过点F 1,0的直线l与C交于M，N两点，点Q在x轴上，且 MQ=NQ，是否存在常数使 MN=QF？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由【解析】(1)设椭圆C的标准方程为x2m+y2n=1(m0,n0,mn)，因点A-3,32，B 1,-32在椭圆C上，则有3m+34n=11m+94n=1，解得m=4，n=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(2)显然点F 1,0为椭圆的右焦点，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)，由y=k(x-1)3x2+4y2-12=0 消去y并整理得：4k2+3x2-8k2x

23、+4k2-12=0，设M x1,y1，N x2,y2，则x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，于是得|MN|=1+k2x1+x22-4x1x2=12(k2+1)4k2+3，而y1+y2=k(x1+x2-2)=k8k24k2+3-2=-6k4k2+3，则线段MN的中点坐标为4k24k2+3,-3k4k2+3，因为点Q在x轴上，且 MQ=NQ，则Q为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，当k=0时，|MN|=4，|QF|=1，则|MN|=4|QF|，当k0时，线段MN的垂直平分线方程为y+3k4k2+3=-1kx-4k24k2+3，令y=0，得x=k24k2+3，即Qk24k

24、2+3,0，则有|QF|=1-k24k2+3=3(k2+1)4k2+3，于是得|MN|=4|QF|，当直线l的斜率不存在时，|MN|=3，取Q14,0或Q74,0能满足|MN|=4|QF|，综上所述，存在实数=4满足题意.21 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的上顶点A与下顶点B在直线l：x-2y+1=0的两侧，且点B到l的距离是A到l的距离的3倍(1)求b的值；(2)设C与l交于P，Q两点，求证：直线BP与BQ的斜率之和为定值【解析】(1)由椭圆的方程可得A 0,b，B 0,-b，由题意可得2b+15=3-2b+15，解得b=1或b=14当b=14时，点A，B都在直线l的下方，不符

25、合题意，故b=1(2)联立x2a2+y2=1,x-2y+1=0,消去y可得 4+a2x2+2a2x-3a2=0，设P x1,y1，Q x2,y2，则x1+x2=-2a24+a2，x1x2=-3a24+a2直线BP与BQ的斜率之和kBP+kBQ=y1+1x1+y2+1x2=12x1+32x1+12x2+32x2=1+321x1+1x2=1+32x1+x2x1x2=1+322a24+a23a24+a2=2因此直线BP与BQ的斜率之和为定值222 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0)，圆O:x2+y2=a2+b2的面积为5(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点C(0,1)

26、作互相垂直的两条直线l1,l2，其中l1与圆O相交于A、B两点，l2与椭圆E的一个交点为D(不与C重合)，求ABD的最大面积【解析】(1)由圆O:x2+y2=a2+b2的面积为5，可得a2+b22=5，即a2+b2=5；又椭圆的右焦点为F(3,0)，故a2-b2=3，联立方程组，解得a2=4,b2=1，所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2)当直线l1的斜率k存在且不为0时，可设l1:y=kx+1、l2:y=-1kx+1，联立方程组y=kx+1x24+y2=1，整理得 1+4k2x2+8kx=0，解得x1=0，x2=-8k1+4k2，所以|CD|=1+k2x1-x2=8|k|1+k21+4k2

27、，而圆心O(0,0)到直线l2的距离d=11+-1k2=|k|1+k2，AB=2 r2-d2=2 4k2+51+k2，所以SABD=12|CD|AB|=8|k|4k2+51+4k2=24|k|4k2+51+4k216k2+4k2+51+4k2=5，当且仅当4|k|=4k2+5，即k=156时取等号；当直线l1的斜率不存在时，CD=2,AB=4，可得SABD=4b0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为()A.a2bB.2a2bC.b2aD.2b2a【解析】将x=c或x=-c代入椭圆的标准方程得c2a2+y2b2=1，y2b2=1-c2a2=a2-c2a2=b2a2，解得y=b2a，因此，过焦点且垂直

28、于长轴的弦长是2b2a.故选：D.25 已知F是椭圆x225+y29=1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF面积的最大值为()A.6B.15C.20D.12【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，由x=my9x2+25y2=225 消去y得：(9m2+25)y2=225，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆对称性，不妨令y1=159m2+25,y2=-159m2+25，焦点F(4,0)，ABF的面积SABF=12|OF|y1-y2|=2309m2+25=609m2+2512，当且仅当m=0时取“=”，所以ABF面积的最大值为12.故选：

29、D26 设F1，F2是椭圆x216+y24=1的左右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则AF2+BF2的最大值为()A.14B.13C.12D.10【解析】因为 AF1+AF2+BF1+BF2=4a=16，所以AB+AF2+BF2=16，所以当AB取最小值时，AF2+BF2有最大值，当ABx轴时，此时AB取最小值，且AB=2b2a=84=2，所以AF2+BF2的最大值为16-2=14，故选：A.27 已知椭圆x29+y2=1，过点P12,12的直线与椭圆相交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A.9x+y-5=0B.9x-y-4=0C.x+9y-5=0D.x-9y+4

30、=0【解析】设点A x1,y1、B x2,y2，由已知可得x1+x2=1y1+y2=1，因为点A、B都在椭圆上，则x219+y21=1x229+y22=1，两式作差可得x1-x2x1+x29+y1-y2y1+y2=0，即x1-x29+y1-y2=0，所以，直线AB的斜率为kAB=y1-y2x1-x2=-19，因此，直线AB的方程为y-12=-19x-12，即x+9y-5=0.故选：C.28 已知椭圆G:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F 3 2,0，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为2,-2，则G的方程为()A.x232+y214=1B.x238+y220=1C.x248

31、+y230=1D.x236+y218=1【解析】设点A x1,y1、B x2,y2，则x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1，两个等式作差得x21-x22a2+y21-y22b2=0，整理可得y21-y22x21-x22=-b2a2，设线段AB的中点为M2,-2，即kABkOM=y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-b2a2，另一方面kAB=kMF=23 2-2=12，kOM=-1，所以，-b2a2=12-1=-12，所以，c2=a2-b2=18a2=2b2，解得a2=36b2=18，因此，椭圆G的方程为x236+y218=1.故选：D.29 过椭圆x2a2+y2b2=1(

32、ab0)的焦点F c,0的弦中最短弦长是()A.2b2aB.2a2bC.2c2aD.2c2b【解析】显然过椭圆焦点F c,0的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，由x=my+cb2x2+a2y2=a2b2 消去x并整理得：(b2m2+a2)y2+2b2cmy-b4=0，设直线l与椭圆交于点M(x1,y1),N(x2,y2)，则有y1+y2=-2b2cmb2m2+a2,y1y2=-b4b2m2+a2，则有 MN=1+m2y1+y22-4y1y2=1+m2-2b2cmb2m2+a22-4-b4b2m2+a2=2b21+m2c2m2(b2m2+a2)2+1b2m2+a2=2b21

33、+m2c2m2+b2m2+a2(b2m2+a2)2=2b2am2+1b2m2+a2=2b2a1b2+a2-b2m2+12b2a1b2+(a2-b2)=2b2a，当且仅当m=0时取“=”，于是，当m=0，即直线l垂直于x轴时，|MN|min=2b2a，所以过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点F c,0的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是2b2a.故选：A30 过椭圆T:x22+y2=1上的焦点F作两条相互垂直的直线l1、l2，l1交椭圆于A,B两点，l2交椭圆于C,D两点，则 AB+CD的取值范围是()A.8 33,3 3 B.8 23,3 3 C.8 23,3 2 D.8 3

34、3,3 2 【解析】当直线l1、l2有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则直线l2斜率为0，此时 AB=2 2，CD=2b2a=22=2，所以 AB+CD=3 2，当直线l1、l2的斜率都存在且不为0时，不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为-1k，不妨设直线l1、l2都过椭圆的右焦点F(1,0)，所以直线l1:y=k(x-1)，直线l2:y=-1k(x-1)，联立l1与椭圆Ty=k(x-1)x22+y2=1，可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0，=(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-2)=8k2+80，x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2

35、k2，所以 AB=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k24k21+2k22-42k2-21+2k2=2 2(1+k2)1+2k2，同理 CD=2 2 1+-1k21+2-1k2=2 2(1+k2)k2+2，所以 AB+CD=2 2(1+k2)1+2k2+2 2(1+k2)k2+2，令1+k2=t，因为k0，所以t1，所以 AB+CD=2 2(1+k2)1+2k2+2 2(1+k2)k2+2=2 2t2t-1+2 2tt+1=6 2t2(2t-1)(t+1)=6 2t22t2+t-1=6 22+1t-1t2，令y=2+1t-1t2=-1t-122+94，因为t1，所以

36、1t(0,1)，所以y 2,94，所以1y49,12，所以 AB+CD=6 2 1y8 23,3 2，综上 AB+CD的取值范围是8 23,3 2 .故选：C31 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线y=x-3 过F2交C于A，B两点，若AF1B的周长为8，则()A.椭圆焦距为3B.椭圆方程为x24+y2=1C.弦长 AB=85D.SOAB=4 65【解析】因为AF1B的周长为8，所以4a=8，得a=2，因为y=x-3 过右焦点F2，所以c=3，所以b2=a2-c2=4-3=1，所以椭圆焦距为2 3，故A错误；所以椭圆方程为x24+y2=1，

37、故B正确；设A x1,y1,B x2,y2，由x24+y2=1y=x-3 得5x2-8 3x+8=0，解得x1+x2=8 35,x1x2=85，AB=x1-x22+y1-y22=2 x1-x22=2x1+x22-4x1x2=28 352-485 =85，故C正确；原点到直线y=x-3 的距离为d=-32=62，所以SOAB=12d AB=126285=2 65，故D错误.故选：BC.32 已知椭圆x2a2+y2b2=1的焦距为6，短轴为长轴的74，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB的中点为M(2,1)，则直线l的方程为()A.7x+8y-22=0B.7x-8y-6=0C.32x-7y-103=

38、0D.32x+7y-71=0【解析】由已知可得椭圆x2a2+y2b2=1的c=3，又长轴为短轴的74，故椭圆方程为x216+y27=1或x27+y216=1，设弦的两端点为A x1,y1，B x2,y2，当椭圆方程为x216+y27=1时，则有x1216+y127=1x2216+y227=1，两式相减得x1-x2x1+x216+y1-y2y1+y27=0，整理得y1-y2x1-x2=-78，弦所在的直线的斜率为-78，其方程为y-1=-78(x-2)，整理得7x+8y-22=0；当椭圆方程为x27+y216=1时，则有x127+y1216=1x227+y2216=1，两式相减得x1-x2x1+

39、x27+y1-y2y1+y216=0，整理得y1-y2x1-x2=-327，弦所在的直线的斜率为-327，其方程为y-1=-327(x-2)，整理得32x+7y-71=0.故选：AD.33 设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两点，M为线段AB的中点下列结论正确的是().A.直线AB与OM垂直；B.若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x+y-3=0；C.若直线方程为y=x+1，则点M坐标为13，43D.若直线方程为y=x+2，则 AB=432.【解析】对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kABkOM=-42=-2-1，所以A项不正确；

40、对于B项，根据kABkOM=-2，所以kAB=-2，所以直线方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y=x+1，点M13,43，则kABkOM=14=4-2，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y=x+2，与椭圆方程x22+y24=1联立，得到2x2+(x+2)2-4=0，整理得：3x2+4x=0，解得x1=0,x2=-43，所以 AB=1+12-43-0=4 23，所以D正确；故选BD.34 已知椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线l1，l2，l1与椭圆C相交于点A，B，l2与椭圆C相交于点C，D，则下列叙述正确的

41、是()A.存在直线l1，l2使得 AB+CD值为7B.存在直线l1，l2使得 AB+CD值为487C.弦长 AB存在最大值，且最大值为4D.弦长 AB不存在最小值【解析】当直线l1，l2一个斜率为零一个斜率不存在时，可得AB即为长轴，CD为通径，则|AB|+|CD|=7，则A是正确的；当直线l1，l2的斜率都存在时，不妨令直线l1的斜率为k(k0)，由题意知l1的直线方程为y=k(x-1)，联立方程x24+y23=1，y=k(x-1)，消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理知：x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-12

42、3+4k2，所以|AB|=1+k2|x1-x2|=12(1+k2)3+4k2，同理 CD=12(1+k2)3k2+4，特别地当k2=1时，AB=CD=247，即|AB|+|CD|=487，则B正确；由 AB=12(1+k2)3+4k2=3+33+4k2，故当k=0时，|AB|取到最大值4，则C正确；由 AB=3+33+4k23，但当弦AB的斜率不存在时，|AB|=3，故|AB|存在最小值3，故D选项不对，故选：ABC35 直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A，B两点若AB的中点横坐标为2，则弦长 AB为【解析】设A x1,y1,B x2,y2，易知k=0不合题意，将直线y=kx-2代入抛物线

43、方程得：k2x2-4k+8x+4=0，所以=4k+82-16k20k-1x1+x2=4k+8k2x1x2=4k2，因为AB的中点横坐标为2，所以k-1x1+x22=2k+4k2=2 k=2，所以x1+x2=4x1x2=1，则 AB=1+4|x1-x2|=5 x1+x22-4x1x2=2 15.36 已知椭圆x25+y24=1的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交于A，B两点，则ABF2的面积为【解析】由椭圆x25+y24=1，则a2=5，b2=4，所以c=a2-b2=1，所以椭圆的左、右焦点F1-1,0，F21,0，即 F1F2=2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交于A，B两点

44、，易知x=-1与椭圆交于A，B两点，将x=-1代入椭圆x25+y24=1，解得y=4 55，所以 AB=8 55，即SABF2=12ABF1F2=8 55.37 椭圆x24+y22=1的右焦点为F，M，N为y轴上的两个动点，若MF NF=0，则MNF面积的最小值为【解析】不妨设点M 0,m，N 0,nmn由题知，F2,0，又MF NF=0，2,-m2,-n=0，即mn=-2，所以m0设MNF的面积为S，mn=-2，则n=-2mm0，S=122 m-n=22m+2m222m2m=2，当且仅当m=2 时等号成立，所以MNF面积的最小值为238 已知F1、F2是椭圆x29+y26=1的左、右焦点，P

45、在椭圆上运动，当1PF1+4PF2的值最小时，PF1F2的面积为【解析】由椭圆定义可知，|PF1|+|PF2|=2a=6，所以|PF1|+|PF2|1|PF1|+4|PF2|=5+|PF2|PF1|+4|PF1|PF2|5+2|PF2|PF1|4|PF1|PF2|=9，1|PF1|+4|PF2|96=32，当且仅当|PF2|PF1|=4|PF1|PF2|，即|PF1|=2,|PF2|=4时取“=”.又c2=a2-b2=3c=3，所以|F1F2|=2 3.所以|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，由勾股定理可知：PF1F1F2，所以SPF1F2=122 3 2=2 3.39 已知椭圆的短轴

46、长为2 3，焦点坐标分别是-1,0和 1,0.(1)求这个椭圆的标准方程；(2)直线l与椭圆交于PQ两点，且PQ中点为 1,1，求直线l的方程.【解析】焦点坐标分别是-1,0和 1,0，椭圆的焦点在x轴上，中心为原点，故可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，且c=1，又椭圆的短轴长为2 3，2b=2 3，又a2=b2+c2，a2=4，b2=3椭圆的标准方程为x24+y23=1，(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2),P，Q都在椭圆x24+y23=1上，x214+y213=1，x224+y223=1，相减可得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)3=0，又PQ

47、中点为 1,1，x1+x2=2,y1+y2=2，y1-y2x1-x2=-34，即直线l的斜率为-34，直线l的方程为y-1=-34(x-1)，即3x+4y-7=0.40 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，离心率为22，点P(2,0)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若F1(-1,0),F2(1,0)，过F1的直线l交椭圆C于MN两点，且直线l倾斜角为45，求MF2N的面积.【解析】(1)由题设，2a2=1ca=22 ，则a2=2c2=1，故b2=a2-c2=1，椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)由题设易知：直线l为y=x+1，联立椭圆并整理得：3x2+4x=0，x

48、M+xN=-43，xMxN=0，则 MN=1+1 xM-xN=4 23，F2到MN的距离为d=|1-0+1|2=2，SMF2N=12d|MN|=4341 椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点 0,3，离心率为12，左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(1)求椭圆的方程(2)斜率为-12的直线l与椭圆交于A，B两点，当 AB=552时，求直线l的方程【解析】(1)因为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点 0,3，离心率为12，所以b=3，ca=12，因为a2=b2+c2，所以得c=1,a=2，所以椭圆方程为x24+y23=1，(2)设直线l为y=-12x+m，设A(x1,

49、y1),B(x2,y2)，由y=-12x+mx24+y23=1 ，得x2-mx+m2-3=0，由=m2-4(m2-3)0，得-2mb0)的一个顶点为 2,0，离心率为32，直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B.(1)求椭圆C的方程；(2)求OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程.【解析】(1)由题意得a=2ca=32，解得a=2,c=3，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由y=x+mx24+y2=1 得，5x2+8mx+4m2-4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=-8m5，x1x2=4m2-45，AB=1+12 x1-x2=2 x1+x22-4x

50、1x2=2-8m52-44m2-45=4 10-2m25，又点O(0,0)到直线y=x+m的距离为d=m1+12=m2.所以OAB的面积为S=12 ABd=124 10-2m25m2=2(5-m2)m255-m2+m25=1，当且仅当5-m2=m2即m=102时，OAB的面积有最大值为1，此时直线l的方程为y=x102.43 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32，直线l过点M(0,-b)和N(a,0)，且坐标原点O到直线l的距离为4 55.(1)求|MN|的长；(2)过点E(3,0)的直线m与椭圆C交于A、B两点，当AOB面积大时，求|OA|2+|OB|2的值【解析】(